上海高中数学向量

一、概念梳理（一）向量的基本概念1、什么叫向量？2、什么是向量方向与模？3、什么是相反向量？什么是平行向量？（二）向量的加法1、向量的加法定义向量加法的定义：如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

2、向量加法的法则：（1）向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。

运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。

零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

（2）向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则）如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

3、向量a，b的加法也满足交换律和结合律：①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。

②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。

③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。

其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。

④如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。

因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。

如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。

特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。

（三）用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回归物理问题，从而解决物理问题。

（四）向量的减法由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。

于是-(-a)=a。

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。

所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。

1、平行四边形法则图1如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b。

又b+BC=a，所以BC=a-b。

由此，我们得到a-b的作图方法。

图22、三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ，即a -b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。

与数x 的相反数是-x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a 。

（2）向量减法的定义。

我们定义a -b =a +(-b )， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

规定：零向量的相反向量是零向量。

(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现。

（五）实数与向量相乘我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |=|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反。

由(1)可知，λ=0时，λa =0。

根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。

实数与向量的积的运算律： 设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa )=(λμ)a ； (2)(λ+μ)a =λa +μ； (3)λ(a +b )=λa +λb .特别地，我们有(-λ)a =-(λa )=λ(-a )，λ(a -b )=λa -λb 。

向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b =λa 。

共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量； (2)两个都为零向量； (3)同向且模相等； (4)同向且模不等； (5)反向且模相等； (6)反向且模不等。

数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定。

它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小。

向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形。

(六) 向量的线性运算1、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。

对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、1μ、2μ，恒有λ(1μa ±2μb )=λ1μa ±λ2μb 。

2、一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c=x a ＋y b 的形式，其中x 、y 是实数。

3、平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。

（即，可以作EMNC ABDGEDABC出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。

二、应用拓展例1、 化简：(1)BC +AB (2)DB +CD +BC (3)AB +DF +CD +BC +FA例2 、若AC =a +b ，DB =a -b①当a 、b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a +b |=|a -b |？ ③当a 、b 满足什么条件时，a +b 平分a 与b 所夹的角？ ④a +b 与a -b 可能是相等向量吗？例3、已知：平行四边形ABCD ，点M ，N 分别是边DC,BC 的中点，射线AM 与BC 相交于点E 。

设：AB =a ，AD =b ， 分别求向量AM ，AN ，AE 关于a ，b 的分解式。

例4、在三角形ABC 中，已知AB =a ，BC =b ，G 是重心，请写出AG 关于a ，b 的分解式。

例5、已知：在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点．求证：)(21BC AB EF +=三、巩固练习1、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，AC =c ，BC =b ，则|a+b+c|为( )。

A.0B.3C.2D.222、设a =(AB +CD )+(BC +DA )，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。

①a ∥b ； ②a +b =a ； ③a +b =b ； ④|a +b |＜|a |+|b |； ⑤|a +b |=|a |+|b |。

A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤ 3、下列等式中，正确的个数是( )。

①a +b =b +a ②a -b =b ③0-a =-a ④-(-a )=a ⑤a +(-a )=0 A.5 B.4 C.3 D.24、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -DB 等于( )。

A.FDB.FCC.FED.BE 5、下列式子中不能化简为AD 的是( )。

A.(AB +CD )+BCB.(AD +MB )+(BC +CM )C.BM AD MB -+D.OC -OA +CD6、已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的( )。

A.重心B.垂心C.内心D.外心7、31[21(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )。

A.2a -bB.2b-aC.b -aD.a -b8、设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1+e 2与e 1+k e 2共线，则k 的值为( )。

A.1 B.-1 C.±1 D.0 9、若向量方2x-3(x-2a )=0，则向量x 等于( )。

A.a 56 B.-6a C.6a D.- a 5610、设向量a ，b 都不是零向量：(1)若向量a 与b 同向，则a +b 与a 的方向_________，且|a +b |_________|a |+|b |； (2)若向量a 与b 反向，且|a |＞|b |，则a +b 与a 的方向__________，且|a +b |_________|a |-|b |。

11、如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则1AC =__ __。

(用a 、b 、c 表示)12、在△ABC ，AE =51AB ，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB =a ，AC =b ，则BF 用a 、b表示的形式BF =_____。

13、在△ABC ，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA +OC OB +=31e 1-21e 2，则OP ON OM ++=________。

14、某人在静水中游泳，速度为34km/h ，如果他径直游向对岸，水流速度为4 km/h ，则他实际以多大的速度沿何方向游?15、在中心为O 的正八边形A1A2…A8中，a 0=18A A ，ai=1+i i A A (i=1，2，…，7)，bj=OA j(j=1，2，…，8)，试化简a 2+a 5+b 2+b 5+b 716、已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，求证：|AB |2=|DB +DA |2+|DC +DA |217、已知两向量a 和b ，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直。

18、已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，求证：OG =31(a +b +c )四、全课小结本次课你有哪些收获？还有什么问题？五、课后作业（见附页）课 后 记学生课堂亮 点对学生或家长建议教学反思学生家长签字教务部门签章平面向量复习课后作业一、填空题1、 若a 是非零向量，则a k 的方向是：当0<k 时，a k 与a _______方向2、 如果两个非零向量b a 、满足b a λ=(λ是非零实数)，那么a 和b 一定是___________；当1=λ时，它们是__________的向量；当1-=λ时，它们是___________的向量3、 设k 是非零实数，b a 、是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________4、 如果b a 、是两个不平行的向量，那么b a 52--叫做b a 、的______________________ 5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0a ，那么向量a 可以记作____________6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，且满足23=ex ，请用e 表示x ：________________ 7、 如果,c b a 32=+,b a 02=+则=ba _____________________8、 在四边形ABCD 中，设a AB =，b CD =，如果,a b 2=那么四边形一定是_________（填四边形的名称）9、 已知ABC ∆的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，设a OP =，试用a 表示PD PC PB PA +++：________________________________ 二、选择题11、 下列式子中，错误的是（ ）A. a a a 2=+B. ()0=-+a aC.()b a b a --=+- D. a b b a -=- 12、 向量()()OM BC BO MB AB ++++化简后的结果等于( )A. BCB. ABC. ACD. AM 13、 点C 在线段AB 上，且AB AC 53=，若BC m AC =，则m 的值等于（ ） A.32 B. 23 C. 32- D. 23- 14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.315、 已知一个单位向量e ，设b a 、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ） A.a e a = B. b b e = C. e a a=1 D.=a a1b b1三、解答题 16、 计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-a b b a 2131323217、 已知向量关系式(),x b a 062=-+，试用向量b a 、表示x 。