求解线性规划的单纯形法(1)

Simplex Method 第二节 单纯形法
单纯形法思路
求解线性规划的单纯形法
开始
找到初始的基本可行解
最优性检验
当前的CPF是最优解吗？
YES 停止
NO
找到相邻的基本可行解
关键问题
求解线性规划的单纯形法
Q1：初始基本可行解如何找？
◦ 标准型 ◦ 基本解
Q2：怎样判断最优？
◦ 最优性条件
(Ⅲ)
x2
+ x4 = 2 ①
x2、 x1不 受x3限制！
x2 = 2-x4>=0
x1 -x3 + x4 = 1 ② x1 = 1+ x3 -x4>=0
得
X* = ( 1, 2, 0, 0 )T
z* = 5
求解线性规划的单纯形法
X2
2
B
A
1
-1 O
12
X1
目标函数无界的线性规划问题
求解线性规划的单纯形法
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解？
◦ 确定移动的方向 ◦ 确定在何处停下 ◦ 确定新的基本可行解
求解线性规划的单纯形法
例：用单纯形法求解以下线性规划问题
求解线性规划的单纯形法 首先将模型转化成标准形式
求解线性规划的单纯形法
Q1：确定初始的基本可行解
• 选择原点：
– 令决策变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1


(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B


0
1


(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
Z*=6+ x1/2- 3x4/2＝6
求解线性规划的单纯形法
• 第2次迭代 － 确定进基变量x1 － 确定离基变量
x1/2
x3 - x4/2 1
x1/2 + x2
+ x4/2 =2
非基变量 x4=0
x3 1 x1 / 2 x4 / 2 0 x2 2 x1 / 2 x4 / 2 0
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
x1 2
x1 2
－
x1 4
初等行变换
x3

0
确定x3为离基变量
Z*=7,X*=(2,1,0,0)
非基变量系 数>0，最优！
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
初等 行变换
Z x1
+ x3 + x4 =7 2x3 - x4 2 x2 - x3 + x4 =1
• 离基变量的选择：
– 最小比值法
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤3：确定新的基本可行解
非基变量（Non-basics） 基变量（Basics）
原方程
初始BF解 x1 =0，x2 =0 x3 =3，x4 =4
Z 2x1 -3x2
=0
x1 + x2 x3
确定离基变量
x1 + x2 x3
3 x3 3 x2
x1 + 2x2
+ x4 =4 x4 4 2x2
– 所有变量非负
x3 3 x2 0 x4 4 2x2 0
x2
3 3 1
x2
4 =2 2
最小比值法
• 令x2 =2，从而 x4 =0
=1 ①
x1 0
-x3 + x4 = 1 ②
得 X1 = ( 0, 1, 0, 1 )T 称为单纯形法的一次迭代。
z0 = 2
求解线性规划的单纯形法
z-3x1
+2x3
= 2 0 比值
(Ⅱ) - x1 + x2 +x3
=1 ① -
来自百度文库
1x1
-x3 + x4 = 1 ② 1 min
参数<0! 进基！
z
-x3 +3x4 = 5 0
(Ⅰ)
z - x1 -2x2
=0 0
- x1 + x2 +x3
=1 ①
x2
+x4 = 2 ②
进基（最小检验数规则）： 在负检验数中选择最小的进基。
min{σ j︱σj<0 } = σk → xk 进基 min{ -1，-2} = -2= σ2 → x2 进基
x1仍为非基变量，其值为0。 由① ② 有
3
x1 + 2x2
+ x4 =4
初等数学 变换
新的BF解 x1 =0，x4 =0 x3 =？1 ，x2 =2
新方程
Z x1/2
+ 3x4 /2 =6
x1/2 + x3 - x4 / 2 1
x1/2 + 2x2 + x4 /2 =2
非最优解！
• 寻找新的基本可行解：
– 初等数学变换
非基变量 x1的系数 X*=（0, 2, 1, 0） 是正数！
求解线性规划的单纯形法 目标函数无界的情况
用单纯形法求解以下线性规划模型。
min z= -x1 -2x2
s.t. -x1 +x2 ≤1
x2 ≤2
x1,
x2 ≥0
求解线性规划的单纯形法
首先标准化，令z’=-z，引入松弛变量x3, x4
max z’= x1 +2x2
s.t.
-x1 +x2 +x3
x2
按最小比值规则确定主方程和主元素，以及离基变量。
进基
z - x1 - 2 x2
= 0 比值
(Ⅰ)
- x1 + 1 x2 +x3 离基 = 1 1 min
主方程
1 x2 +x4
主列 主元
=2 2
以主列中正值元素为分母，同行右端常数为分子，求比值；
求解线性规划的单纯形法
(Ⅰ)
用换基运算
将X0 转化为
另一个基本
可行解 X1。
(Ⅱ)
z- x1 -2x2 - x1+ 1 x2 +x3
= 0 0 换基运算——
=1
①
方程组的初等变换 目的是把主列变为
1 x2
+x4 = 2 ② 单位向量：主元变
为1，其余变为0。
X0 = ( 0, 0, 1, 2)T
z0 = 0
z-3x1 0 +2x3
=2 0
-x1 +1x2 +x3
• 练习：用单纯形法求解下列线性规划问题
max z = 3x1+5x2
x1
+x3
=8
s.t.
2x2 3x1 + 4x2
+x4 = 12 +x5 = 36
x1 ， x2 ，x3，x4，x5 ≥ 0
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
xx33 = 1 -x2 ≥=0 → x2 ≤ 1/1
x4 = 2 -x2 ≥ 0 → x2 ≤ 2/1
离基（最小比值规则） ：
x2 ≤ min {1/1，2/1 } = 1 x2 = min {1/1，2/1 } = 1
x3为离基变量
X1 = ( 0, 1, 0, 1)T
求解线性规划的单纯形法