高中语文反证法及其应用课件人教版必修一
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与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
Fra Baidu bibliotek
成立
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
几点注意： 1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。
高二数学 选修1-1（文）
反证法及其应用
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
﹁ p且﹁ q
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立 P且q
﹁ p或﹁ q
p或q
练习1 证明：如果a b 0, 则 a b
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
(1)若 a < b a a b a
a b b b a < b， 与已知a b 0矛盾
练3.
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论， 有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
2、导出矛盾有四种可能： （1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。 （4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
3、反证法的使用范围：
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题；
（4）否定性或肯定性命题。
练习 2、 证明:“若 a b 2a 4b 3 0 , 则 a b 1 .”为真命题.
2 2
证明:假设 a b 1 , 2 2 则 a b 2a 4b 3 = (a b)(a b) 2(a b) 2b 3 = a b 1 =0 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.
所以假设错误，故原命题
a b
Fra Baidu bibliotek
成立
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
几点注意： 1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。
高二数学 选修1-1（文）
反证法及其应用
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x, 成立
﹁ p且﹁ q
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立 P且q
﹁ p或﹁ q
p或q
练习1 证明：如果a b 0, 则 a b
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
(1)若 a < b a a b a
a b b b a < b， 与已知a b 0矛盾
练3.
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论， 有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
2、导出矛盾有四种可能： （1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。 （4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
3、反证法的使用范围：
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题；
（4）否定性或肯定性命题。
练习 2、 证明:“若 a b 2a 4b 3 0 , 则 a b 1 .”为真命题.
2 2
证明:假设 a b 1 , 2 2 则 a b 2a 4b 3 = (a b)(a b) 2(a b) 2b 3 = a b 1 =0 ∴原命题的逆否命题正确， 所以原命题也正确.