浅析常微分方程的常数变易法
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研究与开发
浅析常微分方程的常数变易法
高菲菲
（内蒙古财经大学统计与数学学院， 呼和浩特 010051）
摘 要： 常数变易法是解决一阶非齐次线性微分方程通解的有效方法，但是多数教材只讲解了使用 方法，而没有给出此法的由来。 讨论常数变易法的由来，并对其进行推广，从而加深对常数 变易法的理解和掌握。
关键词：常微分方程； 常数变易法； 通解； 特解
x+
1 6
x3）ex
其中 C1，C2 为任意常数。 但是求解二阶常系数非齐次线性微分方程（8）的特
解，一般多采用待定系数法。 因为对于一些方程，使用
常 数 变 易 法 套 用 方 程 组 （15）时 ， 往 往 会 由 于 积 分 C1′ （x）和 C2′（x）得到 C1（x）和 C2（x）很困难，而影响到常数 变易法的使用，这是常数变易法的局限性。 但是对大多
y'+2ytanx=C'（x）cos2x=3x2cos2x
即： C'（x）=3x2 积分得 C（x）=x3+C，于是，所求方程的通解为： y=（x3+C）cos2x 其中 C 为任意常数。
4 常数变易法应用推广
既然常数变易法适用于一阶非齐次线性微分方
程， 那么就会想到此法是否能用来解决高阶非齐次线
性微分方程的通解问题[3]？ 由于涉及面较广，这里只讨
!C1′（x）＋xC2′（x）＝0
C1′（x）＋C2′（x）（1+x）＝x 解得：
C1′（x）=-x2，C2′（x）=x 积分得：
C1（x）=-
1 3
x3，C2（x）=
1 2
x2
故原非齐次方程的特解为：
y=- 1 x3ex+ 1 x3ex= 1 x3ex
3
2
6
从而原非齐次方程的通解为：
y=
（C1+C2
论用常数变易法求解二阶常系数线性微分方程。
形如：
y″+py′+qy=f（x）
（8）
的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中 p 和 q 为常数，f（x）是已知函数。 若 f（x）=0，则（8）变
为：
y″+py′+qy=0
（9）
称为二阶常系数齐次线性微分方程[1]。
方程（9）的通解为：
y=C1y1（x）+C2y2（x）
C'（x）=Q（x）e
积分后得：
乙 乙P（x）dx
C（x）= Q（x）e dx+C
其中 C 是任意常数，再将 C（x）代入（4）中，得到非 齐 次 方 程 （1）的 通 解 为 ：
收稿日期：2012-06-12 修稿日期：2012-07-12 作者简介：高菲菲，女，内蒙古呼和浩特人，讲师，硕士研究生，研究方向为微分方程与系统仿真
例 2 求方程 y″-2y′+y=xex 的通解
解：先求原方程对应的齐次方程的通解。 由于其特
征方程
r2-2r+1=0
有重根为 r1=r2=1，故齐次方程的通解为：
y=（C1+C2 x）ex
其中 C1，C2 为任意常数。 设非齐次方程的特解为：
y=C1（x）ex+C2（x）xex
代入方程组（15），有：
因为 y1（x）和 y2（x）是方程（9）的两个特解，所以有：
C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）=f（x）
即为使（11）是方程（8）的一个特解，C1（x）和 C2（x）
现代计算机 2012.07 下 髾
研究与开发
应满足方程组：
!C1′（x）y1（x）＋C2′（x）y2（x）＝0
C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）＝f（x）
（15）
关 于 C1′（x）和 C2′（x）的 线 性 方 程 组 ，因 y1（x）和 y2
（x）线性无关，所以方程组有唯一解 C1′（x）和 C2′（x），再
分 别 积 分 得 到 C1（x）和 C2（x），从 而 确 定 （8）的 一 个 特
解。 即得到方程（8）的通解为此特解加上通解（10）。
由 此 可 得 出 ，将 一 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 （2） 的 通 解
（3）中 的 任 意 常 数 C 变 易 为 待 定 函 数 C（x），即 为 一 阶
非齐次线性微分方程（1）的通解的形式。 这就是“常数
变易法”名称的由来。
例 1 求方程 y'+2ytanx=3x2cos2x 的通解。
髽 现代计算机 2012.07 下
研究与开发
乙 乙- P（x）dx
乙P（x）dx
y=e
［ Q（x）e dx+C］
（5）
单说求解方法，此方法特别简单，也很容易掌握。 但从另一方面看，这个方法相当巧妙，而且没有解释其 来源， 有的学生会问怎么想到只要把任意常数 C 变易 为待定函数 C（x）就可以解决问题，是否为某一题目的 巧合？ 不把这个疑问解释清楚， 必然会使学生产生疑 惑。
（11）
则：
y′=C1′（x）y1（x）+C1（x）y1′（x）+C2′（x）y2（x）+C2（x）y2′（x） （12）
为了确定 C1（x）和 C2（x），假定：
C1′（x）y1（x）+C2′（x）y2（x）=0
则（12）化为：
y′=C1（x）y1′（x）+C2（x）y2′（x） 再求导得：
（13）
y
y
（6）
（6）式 右 端 第 一 个 积 分 中 含 有 未 知 函 数 y，也 是 x
的函数，即这个积分是 x 的函数，可记为 F（x），即：
乙 lny=F（x）- P（x）dx
乙 F（x） - P（x）dx
y=e ·e
（7）
令
C（x
F（x）
）=e
，则
（7）式
变
成
：
乙- P（x）dx
y=C（x）e
1 定义
形如：
y'+P（x）y=Q（x）
（1）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 P（x）
和 Q（x）为 x 的已知函数，Q（x）称为非齐次项。 若 Q（x）
=0，则（1）变为：
y'+P（x）y=0
（2）
称为一阶齐次线性微分方程[1]。 关于一阶非齐次线 性 微 分 方 程 （1）的 解 法 ，一 般 常 微 分 方 程 教 材 中 所 采 用
解：使用常数变易法求解。 先求齐次方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
y'+2ytanx=0
的通解。 分离变量 1 dy=-2tanxdx，再积分得： y
lny=2lncosx+lnC
即齐次方程的通解为：
y=Ccos2x
设非齐次方程的解为 y=C（x）cos2x，则：
y'=C'（x）cos2x-2C（x）cosxsinx
将 y，y' 代入原方程，得：
数方程，常数变易法还是非常有效的。
参考文献 [1]王高 雄. 常微 分 方 程（第 3 版 ）[M]. 北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，
1978 [2]季 红 蕾. 微 分 方 程 常 见 解 法 之 管 见[J]. 中 国 农 业 银 行 武 汉
管 理 干 部 学 院 学 报 ，1999，S2 [3]唐朝江. 常数 变 易 法的 应 用 推广[J]. 西 南 民族 学 院 学报 （自
（10）
其中 C1，C2 是任意常数，y1（x）和 y2（x）是方程（9）的
两个线性无关的特解。 把这个通解中的任意常数 C1，C2
变易为待 定 函 数 C1（x）和 C2（x），使 其 满 足 方 程 （8），从
而求出 C1（x）和 C2（x）。 为此，令：
y=C1（x）y1（x）+C2（x）y2（x）
的多是所谓的常数变易法。
2 常数变易法
常数变易法的具体方法如下[1]：
由于一阶齐次线性微 分 方 程 （2）是 可 分 离 变 量 方
程，通过分离变量得到它的通解是：
乙- P（x）dx
y=Ce
（3）
其中 C 是任意常数。 将这个通解中的任意常数 C
变易为待定函数 C（x），使其满足一阶非齐次线性微分
3 常数变易法名称的由来
在 研 究 非 齐 次 方 程 （1）的 解 法 时 ， 提 出 了 所 谓 的 “常数变易法”，是如何提出的呢[2]？ 对于一阶非齐次线 性常微分方程（1）可改写成：
dy = Q（x） dx-P（x）dx yy 两端同时积分，可得：
乙 乙 乙 dy =lny= Q（x） dx- P（x）dx
方程（1），从而求出待定函数 C（x），因此，令：
乙- P（x）dx
y=C（x）e
（4）
代入非齐次方程（1）的左端，得到：
乙- P（x）dx
乙- P（x）dx
y'+P（x）y=C'（x）e
-C（x）P（x）e
+C（x）P（x）
乙- P（x）dx
乙- P（x）dx
e
=C'（x）e
=Q（x）
即：
乙P（x）dx
0 引言
在计算机的相关教学和研究中， 为了研究某一个 问题，经常需要先建立数学模型再加以研究．而建模就 是要确定变量间的函数关系．在很多情况下，必须建立 不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导 数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关 系， 即微分方程。 因此求微分方程的解就显得尤为重 要。 而求解常微分方程的有效方法之一就是常数变易 法，可是对这个十分重要的方法，在许多教材中只是一 笔带过，根本就没有相关的说明或论述，只是强调了如 何套用其结果去计算。 这使得学生在学习求解微分方 程时感到十分费劲， 特别是方法中把任意常数 C 变易 成待定函数当作一阶线性非齐次微分方程的解， 更是 特别困惑。 因此，本文主要讨论这种方法的由来。
然 科 学 版 ），1991,02
Analysis of Variation of Constants Method of Ordinary Differential Equations
GAO Fei-fei
（College of Statistics and Mathematics, Inner Mongolia University of Finance and Economics, Hohhot 010051) Abstract: The variation of constants method is an effective way to solve the first-order linear non-homogeneous differential equation, but most textbooks only explain the use of method, did not give the origin of this method. Discusses the origin of the variation of constants method, promotes and enhances the understanding and grasp of the variation of constants method.
Keywords: Ordinary Differential Equations; Variation of Constants Method; General Solution; Special Solution
趤趭 现代计算机 2012.07 下
y″=C1′（x）y1′（x）+C1（x）y1″（x）+C2′（x）y2′（x）+C2（x）y2″（x） （14）
将（11）、（13）和（14）代入（8）的左端，整理得到
C1（x）［y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）］+C2（x）［y2″（x）＋py2′（x）＋qy2 （x）］+C1′（x）y1′（x）+C2′（x）y2′（x）=f（x）
浅析常微分方程的常数变易法
高菲菲
（内蒙古财经大学统计与数学学院， 呼和浩特 010051）
摘 要： 常数变易法是解决一阶非齐次线性微分方程通解的有效方法，但是多数教材只讲解了使用 方法，而没有给出此法的由来。 讨论常数变易法的由来，并对其进行推广，从而加深对常数 变易法的理解和掌握。
关键词：常微分方程； 常数变易法； 通解； 特解
x+
1 6
x3）ex
其中 C1，C2 为任意常数。 但是求解二阶常系数非齐次线性微分方程（8）的特
解，一般多采用待定系数法。 因为对于一些方程，使用
常 数 变 易 法 套 用 方 程 组 （15）时 ， 往 往 会 由 于 积 分 C1′ （x）和 C2′（x）得到 C1（x）和 C2（x）很困难，而影响到常数 变易法的使用，这是常数变易法的局限性。 但是对大多
y'+2ytanx=C'（x）cos2x=3x2cos2x
即： C'（x）=3x2 积分得 C（x）=x3+C，于是，所求方程的通解为： y=（x3+C）cos2x 其中 C 为任意常数。
4 常数变易法应用推广
既然常数变易法适用于一阶非齐次线性微分方
程， 那么就会想到此法是否能用来解决高阶非齐次线
性微分方程的通解问题[3]？ 由于涉及面较广，这里只讨
!C1′（x）＋xC2′（x）＝0
C1′（x）＋C2′（x）（1+x）＝x 解得：
C1′（x）=-x2，C2′（x）=x 积分得：
C1（x）=-
1 3
x3，C2（x）=
1 2
x2
故原非齐次方程的特解为：
y=- 1 x3ex+ 1 x3ex= 1 x3ex
3
2
6
从而原非齐次方程的通解为：
y=
（C1+C2
论用常数变易法求解二阶常系数线性微分方程。
形如：
y″+py′+qy=f（x）
（8）
的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中 p 和 q 为常数，f（x）是已知函数。 若 f（x）=0，则（8）变
为：
y″+py′+qy=0
（9）
称为二阶常系数齐次线性微分方程[1]。
方程（9）的通解为：
y=C1y1（x）+C2y2（x）
C'（x）=Q（x）e
积分后得：
乙 乙P（x）dx
C（x）= Q（x）e dx+C
其中 C 是任意常数，再将 C（x）代入（4）中，得到非 齐 次 方 程 （1）的 通 解 为 ：
收稿日期：2012-06-12 修稿日期：2012-07-12 作者简介：高菲菲，女，内蒙古呼和浩特人，讲师，硕士研究生，研究方向为微分方程与系统仿真
例 2 求方程 y″-2y′+y=xex 的通解
解：先求原方程对应的齐次方程的通解。 由于其特
征方程
r2-2r+1=0
有重根为 r1=r2=1，故齐次方程的通解为：
y=（C1+C2 x）ex
其中 C1，C2 为任意常数。 设非齐次方程的特解为：
y=C1（x）ex+C2（x）xex
代入方程组（15），有：
因为 y1（x）和 y2（x）是方程（9）的两个特解，所以有：
C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）=f（x）
即为使（11）是方程（8）的一个特解，C1（x）和 C2（x）
现代计算机 2012.07 下 髾
研究与开发
应满足方程组：
!C1′（x）y1（x）＋C2′（x）y2（x）＝0
C1′（x）y1′（x）＋C2′（x）y2′（x）＝f（x）
（15）
关 于 C1′（x）和 C2′（x）的 线 性 方 程 组 ，因 y1（x）和 y2
（x）线性无关，所以方程组有唯一解 C1′（x）和 C2′（x），再
分 别 积 分 得 到 C1（x）和 C2（x），从 而 确 定 （8）的 一 个 特
解。 即得到方程（8）的通解为此特解加上通解（10）。
由 此 可 得 出 ，将 一 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 （2） 的 通 解
（3）中 的 任 意 常 数 C 变 易 为 待 定 函 数 C（x），即 为 一 阶
非齐次线性微分方程（1）的通解的形式。 这就是“常数
变易法”名称的由来。
例 1 求方程 y'+2ytanx=3x2cos2x 的通解。
髽 现代计算机 2012.07 下
研究与开发
乙 乙- P（x）dx
乙P（x）dx
y=e
［ Q（x）e dx+C］
（5）
单说求解方法，此方法特别简单，也很容易掌握。 但从另一方面看，这个方法相当巧妙，而且没有解释其 来源， 有的学生会问怎么想到只要把任意常数 C 变易 为待定函数 C（x）就可以解决问题，是否为某一题目的 巧合？ 不把这个疑问解释清楚， 必然会使学生产生疑 惑。
（11）
则：
y′=C1′（x）y1（x）+C1（x）y1′（x）+C2′（x）y2（x）+C2（x）y2′（x） （12）
为了确定 C1（x）和 C2（x），假定：
C1′（x）y1（x）+C2′（x）y2（x）=0
则（12）化为：
y′=C1（x）y1′（x）+C2（x）y2′（x） 再求导得：
（13）
y
y
（6）
（6）式 右 端 第 一 个 积 分 中 含 有 未 知 函 数 y，也 是 x
的函数，即这个积分是 x 的函数，可记为 F（x），即：
乙 lny=F（x）- P（x）dx
乙 F（x） - P（x）dx
y=e ·e
（7）
令
C（x
F（x）
）=e
，则
（7）式
变
成
：
乙- P（x）dx
y=C（x）e
1 定义
形如：
y'+P（x）y=Q（x）
（1）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 P（x）
和 Q（x）为 x 的已知函数，Q（x）称为非齐次项。 若 Q（x）
=0，则（1）变为：
y'+P（x）y=0
（2）
称为一阶齐次线性微分方程[1]。 关于一阶非齐次线 性 微 分 方 程 （1）的 解 法 ，一 般 常 微 分 方 程 教 材 中 所 采 用
解：使用常数变易法求解。 先求齐次方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
y'+2ytanx=0
的通解。 分离变量 1 dy=-2tanxdx，再积分得： y
lny=2lncosx+lnC
即齐次方程的通解为：
y=Ccos2x
设非齐次方程的解为 y=C（x）cos2x，则：
y'=C'（x）cos2x-2C（x）cosxsinx
将 y，y' 代入原方程，得：
数方程，常数变易法还是非常有效的。
参考文献 [1]王高 雄. 常微 分 方 程（第 3 版 ）[M]. 北 京：高 等 教 育 出 版 社 ，
1978 [2]季 红 蕾. 微 分 方 程 常 见 解 法 之 管 见[J]. 中 国 农 业 银 行 武 汉
管 理 干 部 学 院 学 报 ，1999，S2 [3]唐朝江. 常数 变 易 法的 应 用 推广[J]. 西 南 民族 学 院 学报 （自
（10）
其中 C1，C2 是任意常数，y1（x）和 y2（x）是方程（9）的
两个线性无关的特解。 把这个通解中的任意常数 C1，C2
变易为待 定 函 数 C1（x）和 C2（x），使 其 满 足 方 程 （8），从
而求出 C1（x）和 C2（x）。 为此，令：
y=C1（x）y1（x）+C2（x）y2（x）
的多是所谓的常数变易法。
2 常数变易法
常数变易法的具体方法如下[1]：
由于一阶齐次线性微 分 方 程 （2）是 可 分 离 变 量 方
程，通过分离变量得到它的通解是：
乙- P（x）dx
y=Ce
（3）
其中 C 是任意常数。 将这个通解中的任意常数 C
变易为待定函数 C（x），使其满足一阶非齐次线性微分
3 常数变易法名称的由来
在 研 究 非 齐 次 方 程 （1）的 解 法 时 ， 提 出 了 所 谓 的 “常数变易法”，是如何提出的呢[2]？ 对于一阶非齐次线 性常微分方程（1）可改写成：
dy = Q（x） dx-P（x）dx yy 两端同时积分，可得：
乙 乙 乙 dy =lny= Q（x） dx- P（x）dx
方程（1），从而求出待定函数 C（x），因此，令：
乙- P（x）dx
y=C（x）e
（4）
代入非齐次方程（1）的左端，得到：
乙- P（x）dx
乙- P（x）dx
y'+P（x）y=C'（x）e
-C（x）P（x）e
+C（x）P（x）
乙- P（x）dx
乙- P（x）dx
e
=C'（x）e
=Q（x）
即：
乙P（x）dx
0 引言
在计算机的相关教学和研究中， 为了研究某一个 问题，经常需要先建立数学模型再加以研究．而建模就 是要确定变量间的函数关系．在很多情况下，必须建立 不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导 数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关 系， 即微分方程。 因此求微分方程的解就显得尤为重 要。 而求解常微分方程的有效方法之一就是常数变易 法，可是对这个十分重要的方法，在许多教材中只是一 笔带过，根本就没有相关的说明或论述，只是强调了如 何套用其结果去计算。 这使得学生在学习求解微分方 程时感到十分费劲， 特别是方法中把任意常数 C 变易 成待定函数当作一阶线性非齐次微分方程的解， 更是 特别困惑。 因此，本文主要讨论这种方法的由来。
然 科 学 版 ），1991,02
Analysis of Variation of Constants Method of Ordinary Differential Equations
GAO Fei-fei
（College of Statistics and Mathematics, Inner Mongolia University of Finance and Economics, Hohhot 010051) Abstract: The variation of constants method is an effective way to solve the first-order linear non-homogeneous differential equation, but most textbooks only explain the use of method, did not give the origin of this method. Discusses the origin of the variation of constants method, promotes and enhances the understanding and grasp of the variation of constants method.
Keywords: Ordinary Differential Equations; Variation of Constants Method; General Solution; Special Solution
趤趭 现代计算机 2012.07 下
y″=C1′（x）y1′（x）+C1（x）y1″（x）+C2′（x）y2′（x）+C2（x）y2″（x） （14）
将（11）、（13）和（14）代入（8）的左端，整理得到
C1（x）［y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）］+C2（x）［y2″（x）＋py2′（x）＋qy2 （x）］+C1′（x）y1′（x）+C2′（x）y2′（x）=f（x）