高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式高效整合

第三讲 柯西不等式与排序不等式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1．若a ，b ∈R ，且a 2

＋b 2

＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]

D ．[－5，5]

解析： 由(a 2

＋b 2

)(1＋1)≥(a ＋b )2

， 所以a ＋b ∈[－25，25]，故选A. 答案： A

2．若x 2

1＋x 2

2＋…＋x 2

n ＝1，y 2

1＋y 2

2＋…＋y 2

n ＝1，则x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n 的最大值是( ) A ．2

B ．1

C ．3

D.

3

3

3

解析： 由(x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n )2

≤(x 2

1＋x 2

2＋…＋x 2

n )(y 2

1＋y 2

2＋…＋y 2

n )＝1，故选B. 答案： B

3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )

A ．300元

B ．360元

C ．320元

D ．340元

解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C. 答案： C

4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

a

2＋1b

2＋1c 2的最小值为( )

A ．7

B ．9

C ．12

D ．18

解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

a

2＋1b

2＋1c 2

≥⎝

⎛⎭

⎪⎫a ·1

a ＋

b ·1b

＋c ·1c 2

＝(1＋1＋1)2

＝9， ∴所求最小值为9，故选B.

5．设a ，b ，c ≥0，a 2

＋b 2

＋c 2

＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( ) A ．0

B ．1

C ．3

D.

3

33

解析： 由排序不等式a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C. 答案： C

6．表达式x 1－y 2

＋y 1－x 2

的最大值是( ) A ．2 B ．1 C. 2

D.32

解析： 因为x 1－y 2

＋y 1－x 2

≤

x 2＋1－x 2

1－y 2＋y

2

＝1，故选B.

答案： B

7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )

A ．2

B ．4 C. 2

D ．16

解析： 由(x ＋y )⎝

⎛⎭

⎪⎫1x ＋1y

≥(1＋1)2

＝4，

因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，

即a ≤4，故应选B. 答案： B

8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3

D.3

2

解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2

＋(b )2

＋(2c )2

＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2

·13

，

∴(a ＋b ＋2c )2

≤3，即所求为 3.

9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，

z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( )

A ．x

B ．y

C ．x

D ．z

解析： 因a >d 且b >c ， 则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )， 得x b 且c >d ， 则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )， 得y

10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1

D.12 解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．

答案： A

11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2

＝163，则a 的最大

值为( )

A ．16

B ．10

C ．4

D ．2

解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0， 球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163

－a 2

，

则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3

≤

163

－a 2

， 即a 2

－2a ≤0，解得0≤a ≤2， 故实数a 的最大值是2. 答案： D

12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2

＋12y 2

＋5z 2

＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( ) A ．9 B ．10 C ．14

D ．15