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高三第一学期期中考试数学试题

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河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。

上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

上海市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题2024.11一、填空题(本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分.满分54分)1.已知集合，则______________2.设复数，则______________3.函数的最小正周期为______________4.角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______________5.若实数x 、y 满足，则的最小值为______________6.已知，则在方向上的投影为______________7.方程的解集为______________8.若函数在区间[0，a ]上是严格减函数，则实数的最大值为______________9.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间[a ，b ]上是连续不断的；②在区间（a ，b ）上都有导数.则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值.函数在区间的“拉格朗日”中值______________10.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点A 、B 在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是______________11.如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设，若，则数列的通项公式______________(0,4),[2,5]A B ==A B ⋂=(1i)2i z -=||z =π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭αx (3,4)-sin(π)α+=1xy =223x y +(2,3),(1,0)a b =-= a b|21||22|3x x ++-=cos sin y x x =-a ()y f x =(,)a b t ()()()()f b f a f t b a '-=-t sin y x =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =O M O O MA MB ⋅12n A A A 、、、、12n B B B 、、、、O n n A B 11n n n n A B B A ++n n OA a =121,2a a =={}n a n a =12.设函数是奇函数，当时，.若对任意的，不等式都成立，则实数的取值范围为______________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.已知，则“”是“”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若函数在处的导数等于，则的值为（ ）A.0B.C. D.2a15.已知函数，实数，下列选项中正确的是（ ）A.若，函数关于直线对称B.若，函数在上是增函数C.若函数在上最大值为1，则D.若，则函数的最小正周期是16.已知，集合，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.（ ）()y f x =0x ≥()2221()232f x x a x a a =-+--x ∈R (1)()f x f x -≤a x ∈R 1x >21x >()y f x =0x x =a ()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆12a aπ(),()2sin 6y f x f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭0ω>2ω=()y f x =5π12x =12ω=()y f x =[0,π]()y f x =[π,0]-43ω≤1ω=|()|y f x =2π()sin f x x =ππ,,{(,)2()()0,,}22D x y f x f y x y D ⎡⎤=-Γ=+=∈⎢⎥⎣⎦∣{(,)2()()0,,}x y f x f y x y D Ω=+≥∈∣ΓΩ25π12A.①真命题，②假命题B.①假命题，②真命题C.①真命题，②真命题D.①假命题，②假命题三、解答题（本大题满分76分）17.已知，且.（1）求向量与的夹角大小；（2）求.18.设常数.（1）若是奇函数，求实数的值；（2）设中，内角的对边分别为若，求的面积.19.已知递增的等差数列的首项，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足为数列的前项和，求.20.为了助力企业发展，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的，经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.（1）已知某企业纳税额为4万元，计算该企业将获得的补助款；（2）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（3）求同时满足条件①、②的参数的取值范围.21.已知.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；（3）若，数列满足.求证：当时，.||1,||2a b == ()(2)6a b a b +⋅-=-a b|2|a b +2,()cos cos ,k f x k x x x x ∈=+∈R R ()f x k 1.k ABC = A B C 、、a b c 、、，()1,f A a ==3b =ABCS {}n a 11a =124a a a 、、{}n a n a {}n b 2(1),n a n n n n b a T =+-{}n b n 2n T ()f x x x 50%()44x bf x x=-+b 12b =b ()ln 1f x a x ax =---0a =()y f x =(1,1)P ()y f x =12x x 、()()120f x f x +>1,()()a g x f x x ==+{}n a ()11(0,1),n n a a g a +∈=2n ≥212n n n a a a +++>2024学年第一学期高三年级数学期中考试参考答案一、填空题（本大题共12题，第题每题4分，第题每题5分.满分54分）1.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10.[2，3]12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分.13.A14.D15.C16.A三、解答题（本大题满分76分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）；（218.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.解（1）；（2）.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解（1）由题可知，且，即，可得（2）.20.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题8分.解（1）（2）因为当时，，所以当时不满足条件②.（3）由条件①可知，在[3，6]上单调递增，在恒成立，在恒成立，所以1~67~12[2,4)π245(2,0)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3π42arccos π⎡⎢⎣2π30k =S =10,1d a >=2142a a a ⋅=()()21113a a d a d ⋅+=+2*111,1,(1),n a d d a d a a n d n n N ===∴=+-⋅=∈()12222(1),222[1234(21)2]nnnn n b n T n n =+-=++++-+-+---+ ()2212122212n n n n +-=+=+--(4)54bf =-12b =33(3)42f =<12b =()44x bf x x=-+22214()044b x b f x x x '+⇒=+=≥[3,6]x ∈24x b ⇒≥-[3,6]x ∈94b ≥-由条件②可知，，即不等式在[3，6]上恒成立，等价于，当时，取最小值，所以综上，参数的取值范围是.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）当时，所以曲线在点处的切线方程为…………………………………………4分（2）由，令，则原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根所以，解得………………………………………………………3分所以因为，所以，所以 (6)分（3）由题意，，所以当时，，所以函数在区间上严格减，当时，，所以函数在区间上严格增，………………3分因为，所以，以此类推，当时，，………………………………………………4分()2x f x ≥44x bx+≤22114(8)1644b x x x ≤-+=--+3x =21(8)164y x =--+394394b ≤b 939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0a =()(1)1f x f ''==()y f x =(1,1)P y x =()0f x '=0aa x--=t=0t >20at t a -+=12t t ==214010a a⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩102a <<()()()()1212122ln ln 2f x f x a x x a x x +=+-+-+-()()()222212121212ln 222t t a t t a t t a a=+--+-=+-102a <<12220a a+->->()()120f x f x +>()ln 1g x x =--()g x '=(0,1)x ∈()0g x '<()y g x =(0,1)(1,)x ∈+∞()0g x '>()y g x =(1,)+∞101a <<()()2132(1)1,(1)1a g a g a g a g =>==>=2n ≥()1(1)1n n a g a g +=>=又，所以函数在区间上严格减，当时，，所以，.....................................7分所以，即，故. (8)分2131124()2102f x x x'⎫---⎪⎝⎭=⨯--=<()y f x =(0,)+∞2n ≥()()(1)0n n n f a g a a f =-<=1n n a a +<()()1n n f a f a +>211n n n n a a a a +++->-212n n n a a a +++>。

天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案

天津市部分区2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案

天津市部分区2024~2025学年度第一学期期中练习高三数学（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，练习用时120分钟。

使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上：不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上。

第Ⅰ卷（共45分）注意事项：本卷共9小题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,3M =，{}3,4N =，则()U M N = ð（）A ．{}0,2,3,5B ．{}0,1,3,4C ．{}0,1,2,3,5D ．{}0,2,3,4,52．已知()1,2a =- ，()1,1b = ，则a b -=（）A B ．1C ．D ．53．若x ，y ∈R ，则“22x y =是“33xy=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若918S =，则28a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．15．函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()()e e sin x xf x x -=-B ．()()e e cos x xf x x -=-C ．()()e e sin xx f x x--=D ．()()e e cos xx f x x--=6．已知cos cos sin ααα=+，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．1-B ．12-C ．1D ．1-7．已知0.13a =，b =，3log 1.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<8．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-有极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(),0-∞C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为（）A ．47,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．47,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷注意事项：本卷共11小题，共105分。

海淀区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案

海淀区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案

海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()1,3B．⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数20252025i z =-在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．π2B ．2C．π6D ．π13+4．已知a是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“//a b ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614SS =，则1236S SS =+（）A ．43B ．8C ．9D ．167．菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（）A ．0B ．2-C ．2D ．4-8．已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，当∈0,1，()31xf x =-，则()3log 32f 的值为().A ．31B ．5932C ．4932D ．21132二、多选题9．函数π()2sin()(1)3f x x ωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到函数()2cos()6πg x x =+D ．若方程(2)f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m 的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1mm n+的最小值为3B C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411．已知函数1()(0)x f x x x =>，则下列说法中正确的是（）A ．方程1()()f x f x=有一个解B ．若()()g x f x m =-有两个零点，则1e0e m <<C ．若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D ．若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln bc <<三、填空题12．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14．已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-=，则12a c - 的最小值为四、解答题15．在ABC V 中，a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b = ABC 周长的最大值.16．已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角△ABC 中，已知()32f A =-，2133AD AB AC =+，cos 3B =，求tan BAD ∠.18．已知数列{}n a 满足13a =,11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数（N n *∈）.(1)记232n n b a =-（N n *∈），证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；(3)设12121n n n b c b +-=-（N n *∈），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3ln 131n n n T n -<--（N n *∈）.19．已知函数ln ()e sin ,(0,)x a f x x x -=-∈+∞.(1)当e a =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，求证：12ππ2x x <+<.。

2024-2025学年江苏省常州市高三上学期期中数学试题及答案

2024-2025学年江苏省常州市高三上学期期中数学试题及答案

常州市2024—2025学年第一学期高三期中质量调研数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3,1,0,2,3|A x x B =<=--，则A B = （ ）A ．{}1,0- B ．{}0,2 C ．{}3,1,0-- D ．{}1,0,2-2．已知a ，b ∈R ，则“a b e =”是“ln a b =”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足22i 10z z --=，则z z -= （ ）A ．2i -B ．2iC ．0D ．24．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（ ）A ．42种B ．72种C ．78种D ．120种5．已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线l α⊥的是（ ）A ．,l αββ⊥∥B ．,l a a α⊥∥C ．,l a a α⊥∥D ．,,,l a l b a b αα⊥⊥⊂⊂6．已知函数()co ()s 0f x x ωω=>的最小正周期为T ．若2π4πT <<，且曲线()y f x =关于点3π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，中心对称，则()πf =（ ）A ．12B ．12-C ．D ．T ．已知(),0,παβ∈，且()cos ααβ=+=，则cos β=（ ）A B ． C D ．8．已知函数()()log 2a f x ax =-（0a >，且1a ≠）．[]1,2x ∃∈，使得()1f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]2,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面内两个单位向量,a b 的夹角为θ，则下列结论正确的有（）A ．()()a b a b +⊥- B ．a b + 的取值范围为[]0,2C ．若a b -= ，则π3θ=D ．a 在b 上的投影向量为a b10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为()01p p <<，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）A ．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是()232p p -B ．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是()351p p -C ．若0.6p =，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大D ．若0.6p =，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是311．已知函数()()()()2f x x a x b a b =--<，2为()f x 的极大值点，则下列结论正确的有（ ）A ．2a =B ．若4为函数()f x 的极小值点，则4b =C ．若()f x 在2,3b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最小值，则b 的取值范围是8,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．若()40f x +=有三个互不相等的实数解，则b 的取值范围是()5,+∞三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知正数x ，y 满足24xy x y =+，则xy 的最小值为__________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()cos ,sin P αα，将线段OP 绕原点O 按顺时针方向旋转π2至线段OP '．若1cos 3α=，则点P '的纵坐标为__________．14．已知一个母线长为1，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r =________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某研究性学习小组为研究两个变量x 和y 之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：x23456y 47121314（1）求y 关于x 的经验回归方程；（2）请估计 3.5x =时，对应的y 值．附：在经验回归方程ˆˆˆy a bx =+中，()1221ˆˆˆ,n i i i n i i x y nxy b ay bx xn x ==-==--∑∑，其中y x 为样本平均值．16．（15分）在锐角ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知1cos 24sin sin sin A A B C -=．（1）求11tan tan B C+点的值；（2）若2a =，求ABC △的面积．17．（15分）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验．先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程．（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率．18．（17分）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，()()2x f x e x =+．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()yf x =在2x =处的切线方程；（3）若12,x x ∀∈R ，都有()()12f x f x m -≤，求实数m 的最小值．19．（17分）如图，在四棱柱1111A B C D ABCD -中，已知1CD ⊥底面ABCD ，,,222AB CDAB AD AB AD CD ⊥===∥，1AA =E 是线段1BD 上的动点．（1）求证：11BC ∥平面1B C D ；（2）求直线AB 与1BB 所成角的余弦值的最大值；（3）在线段1BD 上是否存在与B 不重合的点E ，使得二面角B AE C --的正弦值为BE 的长；若不存在，请说明理由．。

河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

河北省唐山市玉田县2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

河北省玉田县第一中学2024-2025学年度第一学期高三期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}N 10,42,N A x x B x x n n =∈≤==-∈，则A B = （ ）A. ∅B. {}2,6,10C. {}2,2,6,10- D. {}0,2,4,6,8,10【答案】B【解析】【分析】列举法写出集合A ，其中2,6,10满足42,N n n -∈，利用交集概念求出答案.【详解】{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，其中2,6,10满足42,N n n -∈，故{}2,6,10A B = .故选：B 2. 已知向量()0,1a =- ，()2,1b =r ，若()a b a λ-⊥ ，则λ=（ ）A. 1- B. 1 C. 13 D. 13-【答案】A【解析】【分析】先表示出a b λ- 的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果.【详解】因为()()()0,12,12,1a b λλλλ-=--=--- ，且()a b a λ-⊥ ，所以()()20110λλ-⨯+--⨯-=，解得1λ=-，故选：A.3. 若()f x 与()g x 均为定义在R 上的奇函数，则函数()()()h x f x g x =的部分图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分析ℎ(x )的奇偶性，然后直接判断即可.【详解】因为()f x 与()g x 均为定义在R 上的奇函数，所以()()()()()(),,000f x f x g x g x f g -=--=-==，又因为()()()h x f x g x =的定义域为R 且关于原点对称，且()()()()()()()()h x f x g x f x g x f x g x h x ⎡⎤⎡⎤-=--=--==⎣⎦⎣⎦，所以ℎ(x )为偶函数，故图象关于y 轴对称且()()()0000h f g ==，符合要求的只有选项B ，故选：B.4. 当0x >时，函数2221log 2xf x a x x -⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且(1)6f >，则a 的取值范围是（）A. (2,2)- B. (,2)(2,)-∞-+∞ C. (1,1)- D. (,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】D【解析】【分析】利用()22222112log 2522f f a a -⎛⎫⎛⎫=-=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎭+⎝，结合题中条件即可求解.【详解】令21x x -=，解得2x =，或1x =-，又0x >，则2x =，故()222262112g 5l 2o 22f f a a -⎛⎫⎛⎫=-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+>⎭，解得1a <-，或1a >，即a 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞ .故选：D.5. 已知cos()2sin(),tan tan m αβαβαβ+=-=，则tan tan αβ-=（ ）A. 12m - B. 13m - C. 12m- D. 13m-【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式化简，再利用商数关系弦化切，即可求解.【详解】因为cos()2sin()αβαβ+=-，所以cos cos sin sin 2sin cos 2cos sin αβαβαβαβ-=-，同时除以cos cos αβ，得1tan tan 2tan 2tan αβαβ-=-，即1tan tan 1tan tan 22m αβαβ---==，故选：C.6. 设1z 的实部与虚部相等，且实部不为0，2z 的虚部是实部的2倍，且2z 在复平面内对应的点位于第三象限，则“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”是“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”与“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】根据题意，不妨设()1i R,0z a a a a =+∈≠，()22i 0z b b b =+<，若1z 在复平面内对应的点位于第一象限，则0a >，则()()()()121i 12i i 1i 31i 2i 12i 12i 12i 55z a a a a a z b b b b b +-++⎛⎫==⋅=⋅=⋅- ⎪+++-⎝⎭，所以12z z 的实部305a b <，虚部05a b->，故对应点在第二象限，所以“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”；若12z z 在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知1231i 55z a z b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以3a 5b <0−a 5b >0且0b <，可得a >0，所以1z 在复平面内对应的点位于第一象限，所以“12z z 在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“1z 在复平面内对应的点位于第一象限”；由上可知，属于充要条件，故选：C.7. 函数π3πsin 3cos 4,[,22y x x x =-∈-的所有零点的和为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得.【详解】由sin 3cos 40y x x =-=可得sin 3cos 4x x =，则函数π3πsin 3cos 4,[,22y x x x =-∈-的零点即函数sin y x =与函数3cos 4y x =在π3π[,]22-上的交点的横坐标.对于函数3cos 4y x =，其最小正周期为π2，当ππ[,]24x ∈--时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,当π[,0]4x ∈-时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.类似可得函数3cos 4y x =在区间ππ3[0,],[,π],[π,π]222上的图象变化情况.如图分别作出sin y x =和3cos 4y x =在π3π[,]22-上的图象如下.由图可知，两函数在π3π[,]22-上的图象关于直线π2x =对称，故两者的交点,,,A B C D 与,,,H G F E 也关于直线π2x =对称，故A B C D E F G Hx x x x x x x x +++++++()()()()A H B G C F D E x x x x x x x x =+++++++ππππ22224π.2222=⨯+⨯+⨯+⨯=即函数π3πsin 3cos 4,,22y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的所有零点的和为4π.故选：C.8. 已知12,,,log m n n m n a n b m c m <<<===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c>> B. b a c >>C. c a b>> D. c b a>>【答案】A【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可.【详解】因为12m n <<<，所以,,log x x n y n y m y x ===在(0,+∞)上均单调递增，所以111,1,log log 1m n n n a n n b m m c m n =>>=>>=<=，即,a c b c >>，对于,a b ，构造函数()()2ln 1ln x x f x f x x x-='=⇒，易知e 0x >>时，f ′(x )>0，即此时函数单调递增，则()()ln ln m n f m f n m n <⇒<，所以ln ln ln ln n m n m m n m n <⇒<，因为ln y x =在(0,+∞)上单调递增，所以n m m n <，综上a b c >>.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若复数1z ，2z 是方程28170x x -+=的两个根，则（ ）A. 12z z -为纯虚数B. 1217z z =C. 1z =D. 12z z =【答案】ABD【解析】【分析】解方程28170x x -+=得12,z z ，通过计算逐一验证选项即可.【详解】方程28170x x -+=，()2418740-⨯∆=-=-<，方程28170x x -+=的根为82i 2±，即方程28170x x -+=的根为4i +，4i -，不妨设14i z =+，24i z =-，则122i z z -=为纯虚数，故A 正确；()()2124i 4i 16i 17z z +-=-==，故B 正确；1z ==C 错误；24i z =+，则12z z =，故D 正确.故选：ABD.10. 如图，在ABC V 中，3AB AC ==，2BC =，点,D G 分别边,AC BC 上，点,E F 均在边AB 上，设DG x =，矩形DEFG 的面积为S ，且S 关于x 的函数为()S x ，则（ ）A. ABC V 的面积为B. ()1S =C. ()S x 先增后减D. ()S x【答案】ACD【解析】【分析】根据面积公式即可求解A ，根据相似即可得CH DG CM AB ⋅==，MH =，进而可得()233)2S x x x ⎫=-+<<⎪⎭，根据二次函数的性质即可求解BCD.【详解】取BC 中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥，且AN ==所以ABC V的面积为122⨯⨯=A 正确.过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，设CH 与DG 交于点M ，由等面积法可得12AB CH ⋅=，则CH =由CM DG CH AB =，得CH DG CM AB ⋅==，则MH CH CM =-=，所以())22333)2S x DG DE DG MH x x x x ⎫=⋅=⋅=-=-<<⎪⎭，则()1S =，则()S x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()S x，B 错误，C ，D 均正确.故选：ACD11. 已知0x >，0y >，且不等式()()()2221140x x y y m m xy +++--≥恒成立，则（ ）A. m的最小值为2- B. m的最大值为2+C. m的最小值为2- D. m的最大值为2+【答案】AB 的.。

广东省梅县东山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

广东省梅县东山中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

广东梅县东山中学2024-2025学年度第一学期高三中段考试试卷（数学科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 已知集合(){}ln 10A x x =-³，集合{}230B x x x =-<，则A B =U （）A. (]0,2 B. [)2,3 C. ()0,¥+ D. [)2,+¥【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，由并集的定义求解即可.【详解】由()ln 10x -³可得：2x ³，所以[)2,A ¥=+，由230x x -<可得：03x <<，所以()0,3B =，所以A B =U (0,+∞).故选：C .2. 若12x -££是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 2a ³ B. 2a >C. 2a £ D. 2a <【答案】B 【解析】【分析】利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由12x -££是2x a -<<的充分不必要条件，得{|12}x x -££ {|2}x x a -<<，则2a >，所以实数a 的取值范围是2a >.故选：B.3. 若复数z 满足(13i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（ ）A.35B. 1C.D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.【详解】由(13i)3i z -=-，得()()()()223i 13i 3i 39i i 3i 68i 34i 13i 13i 13i 19i 1055z -+-+--+=====+--+-，1=故选：B.4. 已知0.43a =，0.5log 4b =，πcos 18c æö=-ç÷èø，则（ ）A. c b a >> B. b a c>> C. c a b>> D. a c b>>【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可.【详解】由0.40331a =>=，0.50.5log 4log 10b =<=，ππcos cos 1818c æö=-=ç÷èø，由于ππ0182<<，所以01c <<，所以a c b >>.故选：D.5. 若数列{}n a 满足()()()11112,2n n n a n a n a --=+³=，则4a =（ ）A. 2 B. 6C. 12D. 20【答案】D 【解析】【分析】由已知条件变形可得111n n a n a n -+=-，然后累乘法可得n a ，即可求出4a 【详解】由()()111n n n a n a --=+得111n n a n a n -+=-，32112134512(1)1231n n n a a a n a a n n a a a n -+\=××´´=´´´´´=+-L L (2)n ³，.44(41)20a \=+=.故选：D6. 如图所示，在ABC V 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点，2AG GM =uuu r uuuu r，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 于P ，Q 两点．设(0)AB xAP x =>uuu r uuu r ，(0)AC y AQ y >=uuu r uuu r ，则4121x y +++的最小值为（ ）A.34B.32C. 3D. 6【答案】B 【解析】分析】由中点和三等分点得到1()3AG AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，结合(0)AB xAP x =>uuu r uuu r，(0)AC y AQ y >=uuu r uuu r ，得到33x y AG AP AQ =+uuu r uuu r uuu r ，由三点共线得到3x y +=，利用均值不等式中“1的代换”求得4121x y +++的最小值.【详解】因为M 为线段BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+uuuu r uuu r uuu r ，又因为2AG GM =uuu r uuuu r，所以21()33AG AM AB AC ==+uuu r uuuu r uuu r uuu r ，又(0)AB xAP x =>uuu r uuu r，()0AC y AQ y =>uuu r uuu r ，则33x y AG AP AQ =+uuu r uuu r uuu r ，而P ，G ，Q 三点共线，所以133x y+=，即3x y +=，则()()()414114112121415216216126y x x y x y x y y x ééù+æö+éù+=++++=+++³+=êêúç÷ëû++++++èøëûë，【当且仅当24(1)12x y y x ++=++，即2x =，1y =时取等号．故选：B ．7. 若直线y kx b =+是曲线e 1x y =-和1e x y -=的公切线，则实数k 的值是（ ）A. 1e - B. eC. 0D. 1【答案】D 【解析】【分析】设直线y kx b =+与曲线e 1x y =-、1e x y -=分别相切于点11(,e 1)xA x -、212(,e)x B x -，利用导数求出曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程，以及曲线1e x y -=在点B 处的切线方程，可得出关于1x 、2x 的方程组，解出这两个量的值，即可求得k 的值．【详解】设直线y kx b =+与曲线e 1x y =-、1e x y -=分别相切于点11(,e 1)xA x -、212(,)x B x e -，对函数e 1x y =-求导得e x y ¢=，则1e x k =，曲线e 1x y =-在点A 处的切线方程为111e 1e ()xxy x x -+=-，即111e (1)e 1x xy x x =+--，对函数1e x y -=求导得1e x y -¢=，则21e x k -=，曲线1e x y -=在点B 处的切线方程为22112ee ()x x y x x ---=-，即22112e (1)e x x y x x --=+-，所以，12121112e e (1)e 1(1)e x x x x k b x x --ì==í=--=-î，化简可得12110x x k b =ìï=ïí=ïï=î．故选：D.8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()21y f x =+的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）①13044f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø②13022f f æöæö+=ç÷ç÷èøèø③()f x 的一个对称中心为(1,0) ④()f x 的一条对称轴为12x =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.【详解】因为()21y f x =+的最小正周期为1，所以()()()21121f x f x ++=+；即()()2321f x f x +=+，所以2是()f x 的周期；因为()f x 为奇函数，所以131102222f f f f æöæöæöæö+=+-=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø，②正确；131515444444f f f f f f æöæöæöæöæöæö+=+-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，不一定为零，①不正确；因为()2()()f x f x f x +==--，所以()f x 的一个对称中心为(1,0)，③正确；通过题目条件无法得出()f x 的一条对称轴为12x =，④不正确；故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. u ()1,2a =r，(),1b m =-r ，则（ ）A. 当2m =时，a b r r ∥B. 当3m =时，()5a a b^-r r rC. 当3m =-时，a r在b r 上的投影向量为12b -r D. 当2m <时，a r，b r 的夹角为钝角【答案】BC 【解析】【分析】由题意，根据向量a r 、b r 的坐标，利用平面向量的坐标运算法则、投影向量的概念，对各选项逐一加以分析，即可得到本题的答案．【详解】对于A ，若2m =，则(2,1)b =-r ，则()112250´--´=-¹，则,a b rr 不平行，故A 不正确；对于B ，若3m =，则5(1a b -=rr,2)5(3-,1)(14-=-,7)，可得(5)14270a a b ×-=-+´=r r r ，所以(5)a a b ^-r r r，故B 正确；对于C ，若3m =-，则325a b ×=--=-r r ，向量a r在b r 上的投影向量为21(2a b b b b×=-r r r r r ，故C 正确；对于D ，若12m =-，即1(,1)2b =--r ,此时12a b =-r r ，可知,a b rr 的夹角为π，不是钝角，故D 错误．故选：BC ．10. 已知函数()π3πsin cos 22f x x x æöæö=+-+ç÷ç÷èøèø，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B. ()f x 图像关于点π,04æöç÷èø对称C. ()f x 在区间π0,2éùêúëû上单调递减D. 若π,02a æöÎ-ç÷èø，()5cos 2f a a =，则7cos 225a =【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，化简函数()f x ，根据图像平移判断A ；利用整体代入法可判断B 和C ；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求cos 2a 的值，从而判断D 选项【详解】()π3ππsin cos cos sin 224f x x x x x x æöæöæö=+-+=-=+ç÷ç÷ç÷èøèøèø，将y x =的图象向左平移π4个单位所得图象对应函数为()πcos sin 4y x x x f x æö=+=+¹ç÷èø，故A 错；因为ππ042f æö==ç÷èø，所以()f x 图像关于点π,04æöç÷èø对称，故B 对；令π2π2ππ,Z 4k x k k <+<+Î，所以π3π2π2π,Z 44k x k k -<<+Î，所以()π4f x x æö=+ç÷èø的递减区间是π3π2π,2πZ 44k k k éù-+Îêúëû，令0k =，所以π3π,44éù-êúëû是()π4f x x æö=+ç÷èø的一个递减区间，又ππ3π0,,244éùéùÍ-êúêúëûëû，所以()f x 在区间π0,2éùêúëû上单调递减，故C 对；()()()()22cos sin 5cos 25cos sin 5cos sin cos sin f a a a a a a a a a a =-==-=-+，因为π,02a æöÎ-ç÷èø，所以cos sin 0a a ->，则()5cos sin 1a a +=，即1cos sin 5a a +=，平方得221cossin 2cos sin 25a a a a ++=g ，则242cos sin 25a a =-g ，所以()2222449cos sin cos sin 2cos ·sin 12525a a a a a a -=+-=+=，则7cos sin 5a a -=，所以()()22177cos 2cos sin cos sin cos sin 5525a a a a a a a =-=-+=´=，故D 对；故选：BCD11. [x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[0.5]1-=-，[]1.11=，已知函数()[]f x x =，下列结论正确的有（ ）A. 若()0,1x Î，则()()1144f x f x éù-+<-+êúëûB. ()()()f x y f x f y +<+C. 设()()220x g x f f æö=+ç÷èø，则()201401k g k ==åD. 所有满足()()14,0,3f m f n m n æöéù=Îç÷êúëûèø的点(),m n 组成的区域的面积和为409【答案】AD 【解析】分析】A ，由题目信息计算()f x ，()f x -即可得答案；B ，通过举特例可判断选项正误；C2.236»结合题目信息可判断选项正误；D ，由信息画出(),m n 所在坐标系区域即可判断选项正误.【。

朝阳区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案

朝阳区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案

北京市朝阳区2024-2025 学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2024.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A {x 0 x 2}，集合B {x 1 x 3}，则A （）A.{x 1 x 2}B.{x 0 x 2}C.{x 0 x 3}D.{x 1 x 3}2.若函数4f (x) x (x 0)在x a 处取得最小值，则a （）xA.1B. 2C.2D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间(,0) 上单调递增的是（）A. y 2xB. y ln | x |C. y tan xD.y x 2 x4.如图，在△ABC 中，1BD BC ，31AE AC ，则（）2A.BD AB ACB.3 3B D AB AC3 3C.D E AB ACD.3 6D E AB AC3 65.已知单位向量i ，j 满足i j 0 ，设向量c i 2 j ，则向量c 与向量i 夹角的余弦值是（）2 5 5C. 5 A.B.5 5 5D.2556.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这 5 天中，织布超过 1 尺的天数共有（）A.1 天B.2 天C.3 天D.4 天7.已知α，β 均为第二象限角，则“sin sin ”是“cos cos ”的（）高三数学试卷第1页共4页A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数f (x)x xe , 0,若直线y x m 与函数y f (x)的图象有且只有一个公共点，则实2 x 1, x 0.数m 的取值范围是（）A. (,1]B.(,1)C. (,0]D.(,0)9.在三棱锥O-ABC 中，棱OA，OB，OC 两两垂直，点P 在底面ABC 内，已知点P 到OA，OB，OC 所在直线的距离分别为 1，2，2，则线段OP 的长为（）A.3 22B.3 32C.3D.9210.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记S 为集合S 的元素个数，(S) 为集合S 的子集个数，若集合A，B，C 满足：①A 99 ，B 100 ；②A B C A ，则A 的最大值是（）A.99B.98C.97D.96第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5 小题，每小题5 分，共25 分.2i 11.计算1 i________.12.在△ABC 中，已知cos3A ，则sin A __________；tan(π A ) ________.513.已知数列a 的前n 项和为S An 2 Bn （A，B 为常数），写出一个有序数对A, B ________，n n使得数列a 是递增数列.n14.某种灭活疫苗的有效保存时间T（单位：h）与储藏的温度t（单位：℃）满足函数关系T e kt b （k，b 为常数，其中e 2.71828 ）.已知该疫苗在 0℃时的有效保存时间是 1440h，在 5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在 10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列a ，若存在常数M 0，对任意的n N* ，都有不等式na a a a a M 成立，则称数列a 具有性质P.给出下列四个结论：2 13 2 n n①存在公差不为0 的等差数列a 具有性质P；n高三数学试卷第2页共4页②以 1 为首项，q(| q | 1) 为公比的等比数列a 具有性质P；n③若由数列 a 的前n 项和构成的数列S 具有性质P，则数列a 也具有性质P；n n n④若数列 a 和 b 均具有性质P，则数列a b 也具有性质P.n n n n其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6 小题，共85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题 13 分）在△ABC 中，a cos C c cos A 2a .（I）求ba的值；（II）若πA ，c 3 ，求b 及△ABC 的面积.617.（本小题 15 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD 平面ABCD，AB//CD ，AD CD ，AB AD 2 ，CD PD 3 .（I）求证：AB 平面P AD；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面P AB 与平面PCD 的交线为l.试判断直线AB 与l 的位置关系，并说明理由.18.（本小题 13 分）已知函数f (x) ax ln(x 1)(a R) .（I）若a 1，求f (x) 的最小值；（II）若f (x) 存在极小值，求a 的取值范围.19.（本小题 14 分）设函数f (x) sin 2x cos 2 cos2 x sin 0,| |π2.，求f ππ的值；（I）若 1，6 2高三数学试卷第3页共4页（II）已知f (x) 在区间π π,6 3 上单调递增，且πx 是函数y f (x)的图象的对称轴，再从条件①、3条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x) 存在，求ω，φ 的值.条件①：当πx 时，f (x) 取到最小值；6条件②：f π 53 2；π π条件③：f (x) 在区间,3 6上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题 15 分）已知函数f (x ) e x cos x .（I）求曲线y f (x)在点(0, f (0)) 处的切线方程；（II）讨论f (x) 在区间(π,) 上的零点个数；（III）若f (m ) n ，其中m 0 ，求证：n m 2 .21.（本小题 15 分）若有穷正整数数列A：a ，1a ，a ，…，2 3a n 满足如下两个性质，则称数列A 为T 数列：2n ( 3)①a 2 1 a 2 2 (i 1, 2,3, ；ii i②对任意的i {1, 2, 3, ，都存在正整数j i ，使得.a a a ai 1 j j 1 j 2 j)（I）判断数列A：1，1，1，3，3，5 和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12 是否为T 数列，说明理由；（II）已知数列A：a ，1a ，2a ，…，a n 是T 数列.2n ( 3)3（i）证明：对任意的i {2, 3, ，a i2 与a 2i 不能同时成立；2 3 2 2 1 3 2i i（ii）若n 为奇数，求a a a 的最大值.2 4 6（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）高三数学试卷第4页共4页。

海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)

海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。

山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案

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2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。

江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1i1i z-=+，则z =（）ABC ．1D ．22．已知集合401xA x x ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，(){ln 2}B x y a x ==-∣，若{}|12A B x x ⋂=<<，则a =（）A ．6B ．4C ．6-D ．4-3．已知直线a ，b 与平面α满足b α⊂，a α⊄，对于下列两个命题：①“a b ”是“a αP ”的充分不必要条件；②“a b ⊥”是“a α⊥”的必要不充分条件.判断正确的是（）A ．①，②都是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①，②都是假命题4．函数()2cos 1ln e e x x xf x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭的部分图象大致为（）A ．B．C．D ．5．已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，()2cos 3αβ+=-，则sin β=（）A ．83515-B．815C．1215-D．8156．已知平面向量(),3a m = ，()1,2b =- ，m ∈R ，若()-⊥a b b r r r ，则b 在a上的投影向量为（）A ．(1,2)B ．(1,3)C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知函数()3log ,0,3,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩若函数()()()()2224g x f x m f x m ⎡⎤=-++⎣⎦恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．[1,)+∞D ．3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 是等比数列，且12a =，24a ，32a ，4a 成等差数列．若()21nn n b a =+⋅-，且1n n b b λ+<对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．（0，1）B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知实数a ，b ，c 满足01c b a <<<<，则（）A ．a b c c >B ．c c a b >C ．12log b <D ．tan tan c b<10．若函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将()f x 的图像向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图像，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()g x 在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上有两个极值点C ．()f x 的图像与()g x 的图像关于直线π6x =-对称D ．直线220x y +=是曲线()y f x =的切线11．已知函数()5323f x x x x =++，函数()g x 的定义域为R ，且()g x 在区间(,0]-∞上单调递减，若()2g x +的图像关于直线2x =-对称，则（）A ．()()g f x 的图像关于y 轴对称B ．()()f g x 的图像关于原点对称C ．若()()()()2232g f x x g f a ++>-恒成立，则0a <或4a >D ．)()()()2ln 3f gf g >三、填空题12．已知正数,a b 满足131a b+=，则ab 的最小值为．13．用铁水灌注上、下底面的边长分别为2cm 和6cm 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为cm ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）14．设π02θ<<，且()()22cos sin cos sin cos sin 1m θθθθθθ++-=++，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点．(1)证明：E ，B ，F ，1D 四点共面；(2)求平面1EBFD 与平面ABCD 夹角的正弦值．16．如图，在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，33CD AD ==，=BC cos B =(1)求四边形ABCD 的周长；(2)求四边形ABCD 的面积．17．已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211n n n a S S ++=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n a b -=，记数列的前n 项和为n T ，证明：94nT <．18．已知函数()1ln 1f x x x=--+．(1)证明：()f x 的图象与x 轴相切；(2)设()()()e 1xa g x f x a x=+-∈R ．（i ）当0a >时，求函数()g x 的单调区间；（ii ）若()11g x x x≤--在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．19．定义：多面体M 在点P 处的离散曲率为()1223111Φ12πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -=-∠+∠++∠+∠ ，其中P 为多面体M 的一个顶点，i Q （1,2,,i k = ，3k ≥且*k ∈N ）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ 、平面23Q PQ 、L 、平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2CD =，DP =(1)求四棱锥P ABCD -在顶点C 处的离散曲率；(2)求四棱锥P ABCD -内切球的表面积；(3)若Q 是棱PB 上的一个动点，求直线CQ 与平面ABCD 所成角的取值范围．。

山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =-≤，{}28xB x =<，则A B = （）A ．[]2,4-B ．(]2,4-C ．[]2,3-D ．[)2,3-2．以下有关不等式的性质，描述正确的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．若22ac bc <，则a b <C ．若0a b c <<<，则a a cb b c+<+D ．若0a >，0b >，4a b +<，4ab <，则2a <，2b <3．已知向量()1,2a =- ，(),1b m = ，若a b +与3a b - 平行，则m =（）A ．12-B ．14-C ．32D ．724．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3136a a +=，1517a =，则22S =（）A ．180B ．200C ．220D ．2405．已知p ：x a ≤，q ：1202xx -≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．2a <-B ．2a ≤-C ．12a <D ．12a ≤6．已知关于x 的函数()212log 1y x ax a =++-在[]3,2--上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤B ．4a <C ．3a ≤D ．3a <7．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程()12f x =在区间()0,2π上恰有3个实数根，则ω的取值范围是（）A ．2531,2424⎛⎫⎪⎝⎭B ．3137,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3147,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3161,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数()122ln ,282x f x x x ≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 21,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 21,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 21,22e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．ln 21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．1cos 2cos x x+≥B ．()0,3x ∀∈，()934x x -≤C ．若0x >，0y >，2x yy x +≥D[)2,+∞10．已知函数()()221f x x x =-，则（）A ．函数()f x 有两个零点B ．13x =是()f x 的极小值点C ．11,55f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心D ．当34x <<时，()()123f x f x +>-11．已知数列{}n a 的各项均为负数，其前n 项和n S 满足()11,2,4n n a S n ⋅==⋅⋅⋅，则（）A．214a =B ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等比数列D ．{}n a 存在大于11000-的项三、填空题12．已知正三角形ABC 的边长为2，O 为BC 中点，P 为边BC 上任意一点，则AP AO ⋅=.13．设()2π2sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13f x =-，则cos 2x =.14．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()113f x f x f -++=，()22f x -+为偶函数，且312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20251112k k f k =⎛⎫+-=⎪⎝⎭∑.四、解答题15．已知ABC V 中的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足sin cos a B A =.(1)求A ；(2)若A 的角平分线AD 交BC 于D ，2AD =，求ABC V 面积的最小值.16．某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量()q x （单位：台）与每台设备的利润x （单位：元，0x >）满足：()25252250,225x q x a x x <≤=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩（a ，b 为常数）.当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为200台.(1)求函数()q x 的表达式；(2)当x 为多少时，总利润()f x （单位：元）取得最大值，并求出该最大值.17．在数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且()()1111n n n n nS S n S a ----=-+（2n ≥且*n ∈N ）.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足213n n n b a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ，若()()23931n n n T n n λ-≤+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围.18．已知函数()()()12ln 1e x f x x ax a +=+-∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a <时，求()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 存在正零点0x ，求a 的取值范围.19．已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、…第m i 项()12m i i i <<⋅⋅⋅<，顺次排列构成数列{}k b ，其中k k i b a =，1k m ≤≤，则称新数列{}k b 为{}n a 的长度为m 的子列.规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的子列.(1)写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列；(2)若数列{}n a 满足31n a n =-，*n ∈N ，其子列{}k b 长度4m =，且{}k b 的每一子列的所有项的和都不相同，求12341111b b b b +++的最大值；(3)若数列{}n a 为等差数列，公差为d ，0d ≠，数列{}k b 是等比数列，公比为q ，当1a d为何值时，数列{}k i 为等比数列.。

安徽省黄山市屯溪2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题含答案

安徽省黄山市屯溪2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题含答案

屯溪2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）命题人：（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,4,1,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}2,3 B.{}1,3,4 C.{}1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义直接求解即可.【详解】由{}{}0,1,2,3,4,0,1,4U A ==，得{2,3}U A =ð，而{}1,3B =，所以{}3()1,2,U B A = ð.故选：C2.已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（）A.21,1x x ∃<-≤B.21,1x x ∀≥->C.21,1x x ∀<->D.21,1x x ∃≤-≤【答案】A 【解析】【分析】运用全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词即可解题.【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词.则G ∀<−1,2>1，则p ⌝是21,1x x ∃<-≤.故选：A.3.设各项均为正数的等比数列{}n a 满足41082a a a ⋅=，则()2121011log a a a a 等于（）A.102B.112 C.11D.10【答案】C 【解析】【分析】等比数列中若+,,,N m n p q ∈，m n p q +=+，则m n p q a a a a ⨯=⨯.我们先根据此条性质和已知条件求出6a 的值,最后运用对数性质计算即可.【详解】在等比数列{}n a 中，8462108a a a a a ==⋅，得62a =.根据等比数列性质，2211121039485762a a a a a a a a a a a ======.所以1210111112103948576()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a = 5116262()a a ==⨯，1121210112log ()log (2)11a a a a == .故选：C.4.若()()220,cos 2,cos 2m n m n αβαβ-≠-=+=，则tan tan αβ=（）A.2m nm n +- B.m n m n +-C.2m n m n-+ D.m n m n-+【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的余弦展开式求出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，再由同角的三角函数关系求解即可；【详解】因为()()cos cos cos sin sin 2,cos cos cos sin sin 2m n αβαβαβαβαβαβ-=+=+=-=，所以cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．故选：D.5.已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象的一部分如图所示，则关于函数()()e xf xg x =的单调性说法正确的是（）A.在(1,1)-单调递减B.在(0,2单调递减C.在[2单调递减 D.在[1,2]单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据图象判断出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，求导得到()()()exf x f xg x '-'=，()g x在(1,2x ∈-上单调递减，在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，得到答案.【详解】从图象可以看出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，()()()e xf x f xg x '-'=，当(1,2x ∈-时，()()0f x f x '-<，故()0g x '<，()()ex f x g x =在(1,2x ∈-上单调递减，当2x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()0f x f x '-≥，故()0g x '≥，()()ex f x g x =在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，ACD 错误，B 正确，故选：B6.若对任意实数b ，关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，则实数a 的取值范围是（）A.02a <≤B.01a <≤ C.10a -≤< D.11a -≤≤且0a ≠【答案】B 【解析】【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数b 的不等式恒成立，即可求解.【详解】关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，即方程()2120ax b x b +-+-=有两个实根，所以()()210Δ1420a b a b ≠⎧⎪⎨=---≥⎪⎩，即()20212810a b a b a ≠⎧⎨-+++≥⎩对任意实数b 恒成立，所以()()220Δ4124810a a a ≠⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，即200a a a ≠⎧⎨-≤⎩，得01a <≤.故选：B.7.直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，则ω=（）A.13B.23C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，再结合条件，即可求解.【详解】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到π1sin 62x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，又直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，显然最小值在一个周期内取到，不妨取0k =，得到0x =或2π3x ω=，所以2ππ3ω=，解得23ω=，故选：B.8.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(()()xf yf x xf y y=-，且当1x >时，()0f x >，则（）A.2()2()f x f x ≥B.322()()()f x f x f x ≥C.2()2()f x f x ≤D.322()()()f x f x f x ≤【答案】D 【解析】【分析】应用赋值法构造出23(),(),()f x f x f x 的等量关系，再结合不等式性质判断即可.【详解】由题意，0,0x y >>，()()()x f yf x xf y y=-.赋值1x y ==，得1(1)(1(1)1(1)01f f f f ==⋅-⋅=；赋值1x =，得1(1)1()()f yf f y f y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，则11x >，所以1()0f f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即()0f x <；赋值2x y =，得()222()()y f f y yf y y f y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得21()()f y y f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；AC 项，由21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x >，得()212()2()f xf x x f x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，其中由0x >，可知1220x x +-≥=，当1x >时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫>+-≥ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≥；当01x <<时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≤；故AC 错误；BD 项，21,x x y x ==，得232222111()()()()1x f f x f x x f f x x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；又21()()f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3222211()()()1()f x f x x f x x f x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则322222222211()()()1()2()()0f x f x f x x f x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故322()()()f x f x f x ≤，且()f x 不恒为0，故B 错误，D 正确.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.给出下列四个关系式，其中正确的是（）A.2024∈RB.0∈∅C.∈Z QD.∅{}【答案】AD 【解析】【分析】根据R,Z,Q 表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可.【详解】因为2024是实数，因此选项A 正确；因为空间集中没有元素，显然0∈∅不正确，因此选项B 不正确；因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C 不正确；因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确，故选：AD10.（多选）下列说法不正确的是（）A.已知{}{}260,10A xx x B x mx =+-==-=∣∣，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C.()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D.不等式20ax bx c ++>解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，考虑B =∅时，0m =，满足要求，可判断A ；B 选项，考虑0k =时，0k ≠两种情况讨论可得充要条件为30k -<≤，可判断B ；C 选项，由1212x -<-<，可求定义域判断C ；D 选项，根据不等式的解集得到0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，由韦达定理得到的关系,,a b c ，计算可判断D.【详解】A 选项，{}2,3A =-，又{}10B xmx =-=∣，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当12m =时，{}2B =，满足B A ⊆，当13m =-时，{}3B =-，满足B A ⊆，综上，m 组成集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，A 说法不正确；B 选项，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得20342()08k k k <⎧⎪⎨-⨯⨯-<⎪⎩，解得30k -<<，综上所述：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；C 选项，因为()f x 的定义域为()1,2-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故()21f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，C 说法不正确；D 选项，不等式20ax bx c ++>解集为−∞,−2∪3,+∞，则0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故23,23b c a a-+=--⨯=，则,6b a c a =-=-，故60a b c c a ++==-<，D 说法不正确.故选：ACD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和−1,1均在L 上B.点PC.O 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：2x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以2x =时，y 最大，最大值为22+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos231351sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 512+=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．【答案】2-【解析】【分析】根据函数为奇函数，利用()()f x f x -=-求解.【详解】由题意得，(2)2222f =-=+.∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(2)(2)2f f -=-=-．故答案为:2-.13.函数()sin cos f x x x =+在()0,2π上的极小值点为：__________.【答案】5π4【解析】【分析】法一，由辅助角公式得π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用函数()f x 与π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的平移关系可得所求；法二，利用导函数，求出导函数的零点按零点分区间，分析导函数符号与原函数单调性即可求解极值点.【详解】法一：()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，()0,2πx ∈，由()f x 的图象向右平移π4个单位可得到函数π4f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π9π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象.而函数y x =在π9π,44⎛⎫⎪⎝⎭的极小值点为3π2，故函数()f x 的极小值点即为3ππ5π244-=.法二：()sin cos f x x x =+，()0,2πx ∈，则π()cos sin 4f x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，由()0,2πx ∈，则ππ9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得ππ42x +=或3π2，解得π4x =或5π4x =.则(),()f x f x '的变化情况如下表：xπ0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π4π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭5π45π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x极大值极小值()f x 在()0,2π上的极小值点为5π4.故答案为：5π4.14.函数,0ky k x=>与ln yx =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =________．【答案】【解析】【分析】由对称性可得21ex x =，利用导数求切线1l 和2l 的斜率，得tan β和tan α，由2βα=解出1x ，再由11ln kx x =求出k 的值.【详解】函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则111ln k y x x ==，222e x ky x ==，函数,0ky k x=>的图象关于直线y x =对称，函数ln y x =和e x y =的图象也关于直线y x =对称，所以11(,)A x y ，22(,)B x y 两点关于直线y x =对称，有221e xy x ==，函数ln y x =的导数为1y x'=，函数e x y =的导数为e x y '=，则11tan x α=，2tan e x β=，由2βα=，有22tan tan tan 21tan αβαα==-，即211212e 1x x x x ==-，由1>0x ，解得1x =所以11l n k x x ==.【点睛】关键点点睛：本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到21e x x =.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【解析】【分析】（1）根据()*12n n a a n +=+∈N 得到{}na 为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出21n a n =-，再设{}nb 的公比为q ，列出方程，求出2q =，得到通项公式；（2）化简得到32n c n =-，故{}n c 为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【小问1详解】因为()()**1122n n n n a a n a a n ++=+∈⇒-=∈N N ，故{}n a 为公差为2的等差数列，所以()()12112121n a a n n n =+-=+-=-，又1b ，2b ，31b -成等差数列，故21321b b b =+-，设{}n b 的公比为q ，其中22b =，则2421q q =+-，解得2q =或12，当2q =时，11b =，此时1112n n n b b q --==，为递增数列，满足要求，当12q =时，14b =，此时31112n n n b b q --⎛⎫== ⎪⎝⎭，为递减数列，舍去，综上，21n a n =-，12n n b -=；【小问2详解】212log 1322n n c n n -=+--=，则13n n c c +-=，故{}n c 为公差为3的等差数列，故()2121323143222n n n n n n T c c c n +--=+++=+++-== .16.记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 1.a C b =+（1）求证：2;C B =（2）若3cos 4B =，6c =，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证2C B =；（2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案.【小问1详解】由正弦定理sin sin a b A B =，知sin sin a A b B =，所以2cos 1a C b =+，即为sin 2cos 1sin A C B =+，所以sin 2sin cos sin A B C B =+，即()sin 2sin cos sin B C B C B +=+，所以()sin sin cos cos sin sin .B BC B C C B =-+=-因为0πB <<，ππC B -<-<，所以B C B =-或()πB C B +-=，即2C B =或πC =（舍去）；【小问2详解】由2C B =，得21cos cos22cos 18C B B ==-=，所以52cos 14a C b =+=，即5.4a b =由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22225513621648b b b =+-⨯⨯，解得=4，所以 5.a =又由1cos 8C =，可得π0<2<C ，得37sin 8C ==，所以ABC V 的面积1137157sin 54.2284S ab C ==⨯⨯⨯=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，224,AD AB BC AB ===⊥,,AD AB BC E ⊥是AD 的中点，PC BE ⊥．（1）证明：BE ⊥平面PAC ．（2）若PA PC ==B PA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.7【解析】【分析】（1）连接CE ，通过四边形ABCE 是正方形，得到BE AC ⊥，进而可求证；（2）作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .先证明PA ⊥平面BEH ，得到BHE ∠是二面角B PA D --的平面角，在判断四棱锥P ABCE -为正四棱锥，求得2EH BH ==，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】证明：连接CE ．因为E 是AD 的中点，所以2AD AE =．分因为224AD AB BC ===，且,AB AD AB BC ⊥⊥，所以四边形ABCE 是正方形，则BE AC ⊥．因为,,PC BE PC AC ⊥⊂平面PAC ，且PC AC C ⋂=，所以BE ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .由（1）可知BE ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，所以PA BE ⊥．因为,BH BE ⊂平面BEH ，且BH BE B = ，所以PA ⊥平面BEH ．因为EH ⊂平面BEH ，所以PA EH ⊥，则BHE ∠是二面角B PA D --的平面角．记AC BE O =I ，连接OP ，则O 是AC 的中点．因为PA PC =，且O 是AC 的中点，所以OP AC ⊥．因为BE ⊥平面PAC ，且OP ⊂平面PAC ，所以BE OP ⊥．连接PE ．因为,AC BE ⊂平面ABCE ，且AC BE O =I ，所以OP ⊥平面ABCE ，则四棱锥P ABCE -为正四棱锥，故PA PB PE ===．因为PAB 的面积1122S AB PA BH ==⋅，即11222BH ⨯=⨯，所以2BH =．同理可得2EH BH ==．在BEH △中，由余弦定理可得2221cos 27BH EH BE BHE BH EH +-∠==-⋅，则sin 7BHE ∠=，即二面角B PA D --的正弦值为718.已知函数()e xx f x =.（1）求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值；（2）若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点.（ⅰ）证明：2ln20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数.【答案】（1）最大值为1e -，最小值为22e -；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在[]22-,上的性，再计算最值得到答案；（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，∈0,π三种情况，构造()e sin xF x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【小问1详解】()e x x f x =，1()e xx f x -'=，令1()0e x x f x -'==得到1x =，当()2,1x ∈-时，′>0，函数单调递增，当()1,2x ∈时，′<0，函数单调递减，又()22222e e f ---==-，()1111e e f -==，()22222e ef -==，故()f x 在区间[]22-,上的最大值为1e -，最小值为22e -；【小问2详解】（ⅰ）()()()sin sin e e a xa x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<；（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g <=-+'='，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当∈0,π时，()1()sin e sin e e x x x x g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()esin cos 1x F x x x =+-'，设()()esin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当∈0,0时，()0k x >，单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项n a（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k -=--（2）()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101k k a q a a a q -++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。

江苏省盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

江苏省盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)

盐城市2025届高三年级第一学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1. 已知集合{}1,1A =-，(){},,B x y x A y A =ÎÎ，则A B =I （ ）A. A B. BC. ÆD. R【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知集合B 表示点集，而集合A 表示数集，即可根据交集的定义求解.详解】由(){},,B x y x A y A =ÎÎ可得()()()(){}11111,1,1,1B =----,,,,,故A B =I Æ，故选：C2. 已知复数1i z =+，则z z ×=（ ）A. 1B.C. 2D. 【答案】C 【解析】【分析】依题写出复数z 的共轭复数，利用复数的乘法计算即得.【详解】(1i)(1i)2z z ×=+-=.故选：C.3. 在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4. 若()sin 1a b +=，则sin 2a =（ ）A. sin 2b B. cos 2bC. sin 2b- D. cos 2b-【答案】A 【解析】【分析】由题意可得出π2π,Z 2k k a b +=+Î代入利用诱导公式化简即可得出答案.【详解】由()sin 1a b +=可得：π2π,Z 2k k a b +=+Î，所以π2π,Z 2k k a b =-+Î，所以()()πsin 2sin 22πsin π24πsin π2sin 22k k a b b b b éùæö=-+=-+=-=ç÷êúèøëû.故选：A .5. 已知数列{}n a 满足14a =，142n na a +=-，则{}n a 的2024项的和为（ ）A. 2024 B. 2025C. 2026D. 2027【答案】D 【解析】【分析】求出数列{}n a 的周期，利用数列的周期性求和.【详解】由已知得21421a a =-=，32422a a =-=-，43424a a =-=，由此可知数列{}n a 是周期为3的周期数列，由于1233a a a ++=，则()2024123126746743412027S a a a a a =++++=´++=，故选：D .6. 若实数x ，y 满足2291x y +=，则3x y +的最小值为（ ）A. 1 B. 1-C.D. 【答案】D 【解析】【分析】利用三角换元有π3cos sin )4x y q q q +=+=+，即可求其最小值.【详解】由题设，令cos ,3sin x y q q ==且[0,2π)q Î，所以π3cos sin 4x y q q q +=+=+，显然3x y +的最小值为，当且仅当π3π5π424q q +=Þ=，即x y ==时取最小值.故选：D7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，定义余弦相似度为()cos ,cos ,A B OA OB =uuu r uuu r，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()cos ,sin A a a，)1B -，若A ，B 的余弦距离为13，则πcos 23a æö+=ç÷èø（ ）A. 79-B. 19-C.19D.79【答案】B 【解析】【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得π2cos()63a +=，再应用倍角余弦公式求结果.【详解】由题设()cos ,sin OA a a =uuu r，1OB=-uuu r ，所以()1cos ,cos ,sin 2A B OA a a ==-uuu r uuuπππcos cos sin sin cos()666a a a =-=+，由()π1π21cos ,1cos(cos()6363A B a a -=-+=Þ+=，所以2ππ1cos 22cos (1369a a æö+=+-=-ç÷èø.故选：B8. 已知点O 为ABC V 的外心，且向量()1AO AB AC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，R l Î，若向量BA uuu r 在向量BC uuu r上的投影向量为15BC uuur ，则cos B 的值为（ ）A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】由题可得CO CB l =uuu r uuu r，从而得到ABC V 为直角三角形，由投影向量的概念2cos 11cos 55BA B B BC=Þ=uuu ruuu r求解.【详解】因为(1)AO AB AC AB AC AC l l l l =+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()CA AO AB CA CA AB l l l +=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，即CO CB l =uuu r uuu r，所以O 在BC 上，故ABC V 的外接圆以O 为圆心，BC 为直径，所以ABC V 为直角三角形，且AC AB ^，O 为BC 中点，因为向量BA uuu r 在向量BC uuu r 上的投影向量为15BC uuur ，故2cos 111cos cos 555BA B BC BA B BC B BC BC=Þ=Þ=uuu r uuu ruuu r uuu r uuur uuu r ,由于B为锐角，所以cos B =故选：B ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 在正项等比数列{}n a 中，44a =，616a =，则（ ）A. 数列{}1n n a a +的首项为12B. 数列{}1n n a a +是公比为2的等比数列C. 数列{}1n n a a +是公比为4的等比数列D. 数列{}1n n a a +的前n 项和为()1416n-【答案】ACD 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比2q ==，即可求解4424422n n n n a a q ---==´=，利用等比数列的定义即可求解BC ，由等比求和公式即可求解D.【详解】由正项等比数列{}n a 中，44a =，616a =，所以公比2q ==，因此4424422n n n n a a q ---==´=，对于A ，{}1n n a a +的首项为1121222a a -=´=，A 正确，对于B ，21231222n n n n n a a ---+==，因此()21321212323122422n n n n n n n n a a a a +--++--+===，因此{}1n n a a +是公比为4的等比数列，B 错误，C 正确，对于D ，由于{}1n n a a +是公比为4，首项为12的等比数列，故前n 项和为()()1141241146n n -=--，D 正确，故选：ACD10. 下列向量运算，一定正确的有（ ）A. ()()22a b a b a b+×-=-r r r r r r B. 2222a a b b a b+=++×r r r r r r C. 22a b a b a b+-=-r r r r r rD. ()33a b a b+=+r r r r 【答案】AB 【解析】【分析】对于A,B,利用向量数量积的运算律和向量模的定义计算即可判断；对于C,D,通过举反例排除即可.【详解】对于A ，()()2222a b a b a a b b a b a b +×-=-×+×-=-r r r r r r r r r r r r ，故A 正确；对于B ，2222()2a b a b a a b b +=+=+×+r r r r r r r r ，故B 正确；对于C ， 不妨取(0,1),(1,0)a b ==r r ，则(1,1),(1,1)a b a b +=-=-r r r r，221,1a b ==r r ，则2a b a b +-==r rr r ，而22|||11|0a b -=-=r r ，故C 错误；对于D,不妨取(0,1),(1,0)a b ==r r ，则(1,1),a b +=r r ||a b +=r r 3||a b +=r r ，而2232()()()(2)()2()(2,2)a b a b a b a a b b a b a b +=+×+=+×+×+=+=r r r r r r r r r r r r r r，故D 错误.故选：AB.11. 已知函数()e e 2x x f x -+=，函数()e e 2x xg x --=，R x Î，则（ ）A. 对任意实数x ，()()221fx g x -=B. 存在实数x ，使得()()2f x g x >C. 对任意实数x ，y ，()()()()22g x y g x y gx g y +-=+D. 若直线y t =与函数()y f x =和()y g x =的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则(123ln 1x x x ++>+.【答案】ABD 【解析】【分析】代入化简即可求解ABC ，根据函数的单调性可大致判断函数y =f (x )和y =g (x )的图象，且y =f (x )为偶函数，结合图象可判断120x x +=，且1t >，再解不等式即可判断D.【详解】()()2222e e e e 122x x x xf xg x --æöæö+--=-=ç÷ç÷èøèø,故A 正确，若()()2f x g x >，则222e e e e x x x x--+->´，即e 3e x x -<，只要满足0x £，都有e 3e x x -<，故B 正确，()()2222e e e e e e e e 224x y x y x y x y x y y xg x y g x y +----+------++-==，而()()22222222e e e e e e e e 4224x x y y x y y x g x g y ----æöæö--+++-+=+=ç÷ç÷èøèø，故C 错误，令()e e 02x xf x --¢==，得0x =，当0x >，()()0,f x f x ¢>单调递增；当0x <，f ′(x )<0，()f x 单调递减，所以()f x 在0x =处取得极小值1，当x ®+¥，()f x ¥®+；当x ®-¥，()f x ¥®．e e ()02x xg x -+¢=>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，当x ®+¥，()g x ¥®+；当x ®-¥，()g x ¥®-．所以()f x 、()g x 的大致图象如图所示，不妨设123x x x <<，由()f x 为偶函数可得120x x +=，直线y t =与图象有三个交点，显然1t >，令()e e 12x xg x t --==>，整理得2e 2e 10x x -->，解得e 1x >+e 1x <-（舍去），所以ln(1x >+，即3ln(1x >+，又因为120x x +=，所以123ln(1x x x ++>+．D 正确，故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上.12. 函数()2ln 2y x x =-+的定义域为______.【答案】()0,2【解析】【分析】根据对数式有意义的条件求解.【详解】函数()2ln 2y x x =-+的定义域为220x x -+>，解得02x <<，所以该函数的的定义域为(0,2).故答案为：(0,2).13. 已知点C 在以AB 为直径的圆上，点D 为BC 的中点，若8AB =，4AC =，则DA DB ×uuu r uuu r的值为______.【答案】12-【解析】【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得21124DA DB CB CA CB ×=×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，结合已知求值即可.详解】由211111()()22224DA DB DC CA CB CA CB CB CB CA CB ×=+×=-×=×-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，由题意222||8448CB =-=uuu r 且BC AC ^，则1048124DA DB ×=-´=-uuu r uuu r .故答案为：12-14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知46a =，520S =，设1sin 2cos cos n n n b a a +=，则5a =______，数列{b n }的前n 项和为______（用n 表示）.【答案】 ①. 8②. tan 2n【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出等差数列的通项，即可求出5a ；利用两角差的正弦【公式和叠加法即可求数列{b n }的前n 项和.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则113651020a d a d +=ìí+=î ，解得102a d =ìí=î，则()1122n a a n d n =+-=-，所以52528a =´-=；()111sin sin 2cos cos cos cos n n n n n n n a a b a a a a +++-==111sin cos cos sin cos cos n n n n n n a a a a a a +++-=1tan tan n n a a +=-，设数列{b n }的前n 项和为n T ，121tan tan b a a =-，232tan tan b a a =-，……1tan tan n n nb a a +=-将这n 个式子叠加得12111tan tan tan n n n n T b b b a a a ++=++×××+=-=tan 2n =.故答案为：8；tan 2n .【点睛】形如()1n n a a f n +=+这种形式的递推公式可以利用叠加法求数列{}n a 通项公式.四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 设函数()()e esin xxf x k x -=+，R x Î.（1）若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）当0k =且[]2π,2πx Î-时，解不等式()()0f x f x +->.【答案】（1）1k =- （2）()()π,00,π-È【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质可得()()1e e0xxk -++=，即可求解，（2）对x 的范围分类讨论，即可求解.【小问1详解】由于()()e esin xxf x k x -=+为偶函数，故()()()()()e e sin e e sin xx x x f x k x k x f x ---=+-=-+=，因此()e ee e sin 0x xx x k k x --+++=对任意的R x Î恒成立，故()()1e e0xxk -++=，故101k k +=Þ=-，【小问2详解】当0k =时，()e sin xf x x =，则()()()()e sin e sin e sin e sin e e sin 0x x x x x x f x f x x x x x x ---+-=+-=-=->，当()0,πx Î时，sin 0x >，则()e esin 0ee 00xxxx x x x x --->Þ->Þ>-Þ>，故此时不等式的解为()0,π，当()π,2πx Î时，sin 0x <，则()e esin 0ee 00xxxx x x x x --->Þ-<Þ<-Þ<，故此时不等式的解为Æ，当()π,0x Î-时，sin 0x <，则()e esin 0ee 00xxxx x x x x --->Þ-<Þ<-Þ<，故此时不等式的解为()π,0-，当()2π,πx Î--时，sin 0x >，则()e esin 0ee 00xxxx x x x x --->Þ->Þ>-Þ>，故此时不等式解为Æ，综上可知：不等式的解为()()π,00,π-È16. 设函数()sin cos f x x x =+，R x Î，ABC V 的内角A 满足()f A =.（1）求A 的值；（2）若212AB BC BC ×=-uuu r uuu r uuur ，且边BC 的长为1，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2【解析】【分析】（1）函数化简得()π4f x x æö=+ç÷èø，由()f A =，利用正弦函数的特殊值，即可求得A的值；的。

福建省福州十校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

福建省福州十校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(解析)

2024-2025学年第一学期期中考试高三数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数i(2i)z =+(其中i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ）A. 2i B. 2 C. 1- D. i-【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果.【详解】()2i 2i 2i i 12i z =+=+=-+，其虚部为2.故选：B2. 设集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若B A ⊆，则a =（）A. 2B. 1C. 2- D. 1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.【详解】由{}21,3,A a=，得21≠a，即1a ≠±，此时21,23a a +≠+≠，由B A ⊆，得22a a =+，而1a ≠-，所以2a =.故选：A3. 已知a和b 的夹角为150︒()2a b b +⋅= （ ）A. 9-B. 3-C. 3D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b +⋅=⋅+2cos1502a b b=⋅⋅︒+2223⎛=+⋅= ⎝故选：C4. 设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥B. 若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC. 若m αβ= ，//n α，//n β，则//m n D. 若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，对ABD 找到反例即可，对C 由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A ，若αβ⊥，//m α，//n β，直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对B ，若m α⊂，n β⊂，//m n ，平面,αβ可能相交或平行，故B 错误；对C ：如图，若m αβ= ，//n α，//n β，过直线n 作两个平面,γδ，,t l δαγβ== ，根据线面平行的性质可得可得//,//n t n l ，则//t l ，因为l β⊂，t β⊄，则//t β，又因为t α⊂，m αβ= ，则//t m ，则//m n ，故C 正确；对D ，若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，故D 错误.故选：C.5. 若πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ）A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】B 【解析】【分析】由两角和正切公式展开先求出tan θ，再利用“1”的代换与二倍角正弦公式将式子转化为“齐次比”形式，化弦为切代入求解可得.【详解】由πtan(24θ+=，得tan 121tan θθ+=-，解得1tan 3θ=，所以2222122cos sin 2tan 33sin 2cos sin 1tan 5113θθθθθθθ⨯====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：B.6. 设B ，2F 分别是椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的右顶点和上焦点，点P 在C 上，且222BF F P = ，则C 的离心率为（ ）A.B.C.12D.【答案】A 【解析】【分析】求出点2,B F 的坐标，借助向量坐标运算求出点P 坐标，代入椭圆方程求解即得.【详解】令椭圆半焦距为c ，依题意，2(,0),(0,)B b F c ，由222BF F P =，得21(,)(,)222b c F P c b =-=- ，则3(,)22b c P -，而点P 在椭圆上，于是2219144c a +⋅=，解得c e a ==所以C.故选：A7.已知函数ππ()sin 2266f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论不正确的是（ ）A. 函数()f x 的对称轴为,3x k k Zππ=+∈ B. 函数3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C. 函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 的最小值为2-【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式将()ππsin 2266f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数性质逐项分析判断.【详解】()πππππsin 222sin 22sin 266636f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于A:令ππ2π,62x k k Z -=+∈，得ππ,32kx k Z =+∈， 故A 错误；对于B ：ππππ2sin 22sin 22cos23362f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 偶函数，故B 正确；对于C ：x ∈ π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，πππ2,662x ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， π2sin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；对于D ：()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的最小值为-2，故D 正确.故选：A.8. 已知定义在[3,3]-上的函数()e e 21x x f x x -=---，若2()(2)20f m f m +-+£，则m 的取值范围是（ ）A [1,2]- B. [1,1]-C. [-D. [【答案】B是.【解析】【分析】根据()()1f x g x =-的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为2()(2)g m g m £-，即可求解.【详解】记()e e 2x x g x x -=--，则()()1f xg x =-所以所求解不等式为22()(2)2()(2)0f m f m g m g m +-+=+-£，()e e 2(e e 2)()x x x x g x x x g x ---=-+=---=-，()g x ∴是奇函数()e e 220,x x g x -¢=+-³=()g x ∴在[3,3]-上是增函数由2()(2)0g m g m +-£得2()(2)(2)g m g m g m £--=-22333232m m m m ⎧-≤≤⎪∴-≤-≤⎨⎪≤-⎩，化简得1521m m m ⎧≤≤⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩11m -££解得：，所以m 的取值范围是[1,1]-，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 一组样本数据的方差222212201[(3)(3)(3)]20s x x x =-+-++- ，则这组样本数据的总和为60B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大D. 若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据121021,21,,21x x x --- 的标准差为16【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；【详解】对于A ，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为32060⨯=，A 正确；对于B ，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，.从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故B 错误；对于C ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故C 错误．对于D ，样本数据1x ，2x ，L ，10x 的标准差为8，故数据121x -，221x -，L ，1021x -的标准差为16=，故D 正确；故选：AD ．10. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,BC CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线1A B 与EF 所成的角的大小为60oB. 直线1//AD 平面DEFC. 平面DEF ⊥平面11BCC BD. 四面体D EFC -外接球的体积与正方体1111ABCD A B C D -【答案】ABD 【解析】【分析】根据异面直线所成角可判定A 选项，根据线面平行的判定定理可判定B 选项，根据面面垂直的性质定理可判定C 选项，根据正方体的体积及外接球的体积公式可判定D 选项.【详解】解析：对于A ：连接111,BC C A ，如图，由正方体的结构特征知，1111BC A B AC ==，即11A BC V 为正三角形．又因为,E F 分别为1,BC CC 的中点，则1EF BC ∥，因此直线1A B 与EF 所成的角即为直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠或其补角，又1160A BC ∠=，所以直线1A B 与EF 所成的角的大小为60o ，A 正确；对于B ：因为1EF BC ∥，所以11,AD EF AD ⊄∥平面,DEF EF ⊂平面DEF ，故直线1//AD 平面DEF ，B 正确；对于C ：取EF 的中点为M ，连接DM ，显然,DE DF EF =的中点为M ，则DM EF ⊥，假设平面DEF ⊥平面11BCC B ，而平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，于是DM⊥平面11BCC B ，又DC ⊥平面11BCC B ，则DM DC ∥，与DM DC D = 矛盾，C 错误；对于D ：不妨设正方体的棱长为2a ，则正方体的体积为318V a =，又因为四面体C DEF -的三条侧棱,,CE CF CD 两两垂直，则它的外接球即为以,,CE CF CD 为棱的长方体的外接球，于是球的直径2R ==，体积为333244ππ33V R a ⎫==⨯=⎪⎪⎭，于是21:V V =D 正确，故选：ABD ．11. 已知定义域在R 上的函数()f x 满足以下条件：①对于任意的x ，R y ∈，()()2()()f x y f x y f x f y ++-=；②(0)0f ≠；③()0f k =，其中k 是正常数，则下列结论正确的是（ ）A. (0)1f =B. (2)1f k =C. ()f x 是偶函数 D. (2)()0f x k f x ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法逐项判断即可.【详解】对于A ，令0x y ==，可得()()22020f f =，由(0)0f ≠可得(0)1f =，A 正确；对于B ，令x y k ==，可得()()()22020f k f f k +==，所以(2)1f k =-，B 错误；对于C ，令0x =，可得()()2(0)()2()f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，C 正确；对于D ，将x k +代入x ，将k 代入y ，可得(2)()2()()0f x k f x f x k f k ++=+=，D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知函数()13log ,12,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩，则((3))f f =________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由分段函数解析式代入计算，即可得到结果.【详解】因为13(3)log 310f =-<=，所以11((3))(1)22f f f -=-==.故答案为：1213.已知点(A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，线段AF 与抛物线C 交于点M ，则MF =_________________.【答案】43##113【解析】【分析】将线段AF 的方程与抛物线的方程联立，求出点M 的坐标，然后利用抛物线的定义可求得MF 的值.【详解】易知抛物线2:4C y x =的焦点为()10F ,，线段AF的方程为()101x x =≤≤，联立()24101y x x x ⎧=⎪⎨+=≤≤⎪⎩，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13M ⎛ ⎝，由抛物线的定义可得14133MF =+=.故答案为：43.14. 已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，35a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列，则n a =__________.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]π3=，[]1.52-=-，记[]2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则100S =__________．【答案】 ①. 21n - ②. 573【解析】【分析】由已知条件可得关于d 的方程，即可求出{}n a 的通项公式；由数列{}n a 的通项公式可得数列{}n b 的通项公式和前n 项和公式，利用错位相减法即可求解.【详解】由数列{}n a 是等差数列，设其公差为()0d d ≠，因为2a ，5a ，14a 成等比数列，所以22145a a a =，即()()25511(52)d d d -+=+，解得2=d 或0d =，因为0d ≠，所以2=d ，所以()52321n a n n =+-=-，则100199a =；当122n n x +≤<时，[]2log x n =，即()()()1222log 21log 23log 21n n n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，共有12n -个n ，因为7821992<<，所以[][][]10012100222log 1log 3log 199S b b b =+++=+++ 015199127021222672-=+⨯+⨯++⨯+⨯ 012512223262367=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，令012512223262n T =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则1236212223262n T =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得01156222262n T -=++++-⨯ ，则6521n T =⨯+，所以6100521367573S =⨯++⨯=.故答案为：21n -；573.【点睛】关键点点睛：对[]x 的理解，当122n n x +≤<时，[]2log x n =，即()()()1222log 21log 23log 21n n n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，共有12n -个n ，[][][]10012100222log 1log 3log 199S b b b =+++=+++ 0150212226367=+⨯+⨯++⨯+⨯ ，利用错位相减法求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为S .已知222)S a c b =+-.（1）求B ；（2）若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC V 的周长.。

上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市华东师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

华东师大一附中2024学年第一学期高三年级期中考试数学试题一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分.1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x x =>，则A B = __________.2.直线10x y +-=的倾斜角为__________.3.已知i 34i z ⋅=-+，则||z =__________.4.双曲线22179y x -=的渐近线方程是__________.5.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，6c =，则sin A =__________.6.已知二项式5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为15，则a =__________.7.已知实数a ，b 满足24a b +=，则224a b +的最小值为__________.8.幂函数y x α=中，α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C =__________.9.数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，若19270k k k a a a +++++= ，则k =__________.10.如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆AOC 和半圆BOD 的直径均为2.8米，平面AOC 和平面BOD 均垂直于平面ABCD ，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米.（精确到0.1立方米）11.已知10ω>，20ω>，12()2sin cos f x x x ωω=，2()2cos g x x ω=，函数()y f x =和()y g x =的图像如图所示，其中5π4是这两个函数共同的零点，4π3是其中一个函数的零点，则12ωω+=__________.12.若三个正整数a ，b ，c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2，0，2，5，0，6，0，7，则称（a ，b ，c ）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足10a b c <<<的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为__________.二、选择题（本大题共4题，满分18分）.13、14题每题4分，15、16题每题5分.13.给出下列两个命题：1p ：设直线a 不在平面α上，若直线a 与平面α不平行，则平面α上不存在与a 平行的直线；2p ：设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α上，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.则（）A.1p 是真命题，2p 是假命题B.1p 是真命题，2p 是真命题C.1p 是假命题，2p 是真命题D.1p 是假命题，2p 是假命题14.慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，小温记录了六周的慢走里程（单位：公里），并由小到大排列为：11，12，m ，n ，20，27，其中这六周的慢走里程的中位数为16，若要使这六周的慢走里程的标准差最小，则m 的值为（）A.14B.15C.16D.1715.已知{}n a 是等比数列，1401a a <<=，则能使不等式12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数n 的值为（）A.5B.6C.7D.816.定义：若抛物线的顶点及抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图所示，直线1:3l y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭，一组抛物线的顶点()111,B y ，()222,B y ，()333,B y ，…，(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，…，()11,0n n A x ++（n 为正整数）.若1(01)x d d =<<，且这组抛物线中存在“美丽抛物线”，则d 的值为（）A.512或1112 B.512或712 C.712或1112D.712三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知()sin cos f x x x ωω=+，0ω>，（1）若2ω=，求函数()y f x =，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）已知0a >，且函数()y f x =的最小正周期为π，若函数π6y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]π,a 上恰有3个零点，求实数a 的取值范围.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB BC a ==，3AD a =，2DE PE a ==，E 是AD 上一点，PE AD ⊥.（1）若F 是PD 中点，证明：//CF 平面PBE ；（2）若AB ⊥平面PED ，求二面角A PD C --的大小.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.（1）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数；（3）若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图所示，由椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>和椭圆22222:1(0)y x C b t b t+=>>组合而成的曲线Γ，由图形特点，这里称曲线Γ为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”.（1）已知猫眼曲线Γ满足a ，b ，t 成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；（2）在曲线Γ中，若2a =，b =1t =，斜率为(0)k k ≠的直线l 不经过坐标原点，且l 与椭圆1C 相交所得弦的中点为M ，与椭圆2C 相交所得弦的中点为N ，证明：直线OM ，ON 的斜率之比OMONk k 为定值；（3）在（2）的条件下，若直线l的斜率k =，且l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 相交于A ，B 两点，Q 为椭圆1C 上异于A ，B 的任意一点，求ABQ △面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知3221()132f x x ax =-+，R a ∈.（1）若()y f x =是区间(0,1)上的严格减函数，是区间(1,3)上的严格增函数，求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间[1,3]上的最大值不大于1，求a 的取值范围；（3）记()(())g x f f x =，证明：当103a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()y g x =有且仅有三个零点.数学试题答案1.答案：{4，5}2.答案：135°3π4⎛⎫⎪⎝⎭3.答案：5【解】34i 5||||5i 1z z -+====. 4.答案：73y x =±3x ±=得73y x =±.5.答案：74【解】余弦定理得2536163cos 2564A +-==⨯⨯，在ABC △中，7sin 4A =.6.答案：3-【解】由515rrrr a T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭知，531r r r --=⇒=，可得115()15C a -=，则3a =-.7.答案：8222a b+≥=得2248a b +≥，当且仅当22a b ==时，取得最小值8.8.答案：11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解】如图：1y x=，0y x =，y =，y x =，2y x =，3y x =，当幂函数的值域与定义域相同时，则集合11,,1,32C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.9.答案：9【解】由题知，数列{}n a 为等差数列，22(1)2n a n n =+-=，则22(1)2(9)270k k k +++++= ，即20245270k +⨯=，故9k =.10.答案：3.7【解】由左图，2a =得a =（其中， 1.4r =米，AB =），根据“祖睢原理”，构造一个正四棱柱（底边为AB ，高为r ），并挖去一个正四棱锥，如右图所示，用平行于底面的任意一个平面（高度为[0,]d r ∈）去截中图和右图的两个几何体，所得截面的面积均为相等，所以该帐篷围成几何体的体积为：223141.4) 1.4 1.4) 1.4 1.4 3.733⨯-⨯=≈（立方米）.（1）（2）图3祖暅原理又名等幂等积原理，祖暅之《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异.”解释：是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理.西方文献一般称为卡瓦列里原理（17世纪意大利数学家）高中教科书《数学·必修三》11.4球——2、球的体积——高二期末数学（虹口区的统考）20240612-题11牟合方盖是我国魏晋期间数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法.在《九章算术》的“少广”章中有所谓“开立圆术”，其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称牟合方盖.牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”，可以利用牟合方盖推导计算出球体的体积.11.答案：175【解】由5π4是函数()y g x =的零点，可得25π2cos 04ω=，即225ππ424255k k ωπω=+⇔=+，k Z ∈，取0k =（正半轴的第一个零点）可得225ω=；又4π3是函数1sin y x ω=的零点，由14πsin 03ω=，得114π3π34n n ωω=⇔=，n Z ∈，取4n =（正半轴的第四个零点）得13ω=，所以，12175ωω+=.12.答案：591【解】因为10a b c <<<，所以有两类不同情形：（1）a 是两位数，b ，c 都是三位数.先不考虑b ，c 的大小，由于a ，b ，c 的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有35C 种排法，两个2有35C 种排法，其余三个数5，6，7有33P 种的排法，共有223553600C C P ⋅⋅=种不同的排法，又因为不可能有b c =，可知b c <与b c >的排法各占一半，所以，有300个满足条件的幸运数组；（2）a ，b 是两位数，C 是四位数.先不考虑b ，c 的大小，由于a ，b ，c 的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有35C 种排法，两个2有35C 种排法，其余三个数5，6，7有33P 种的排法，共有223553600C C P ⋅⋅=种不同的排法.如果a b =，则只有20a b ==，c 的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有33318P =种排法，此外，b c <与b c >的排法各占一半，即600182912-=，所以，有291个满足条件的幸运数组；综上，所求幸运数组的个数为591.13.答案：B【解】1p ：由条件知，a M α= ，即“平面α上不存在与a 平行的直线”，则真命题；2p ：由条件知，l l m α⊥⇒⊥且l n ⊥，反之，//m n 时不成立，即充分不必要条件，则真命题；故选：B 14.答案：C 【解】由题知，162m n +=得32m n +=，则均值11122027176m n x +++++==，要使得标准差s =取得最小值，162m n +≥=得22512m n +≥，当且仅当16m n ==时取得最小值，故选：C.15.答案：C 【解】由题知，111n ni i i i a a ==≤∑∑成立，设等比数列{}n a 的公比为q ，得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列1n a ⎧⎫⎨⎩⎭且公比为1q ，。

北京市2025届高三上学期期中考试数学试题含答案

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2024北京高三（上）期中数学（答案在最后）本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.设集合{}22M x x =<，{}13N x x =-≤≤，则M N ⋃=（）A.{1x x -≤< B.{}12x x -≤<C.{}3x x <≤ D.{}23x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求集合M ，进而根据并集运算求解.【详解】因为22x <，解得x <<，即{|M x x =<<，且{}13N x x =-≤≤，所以{}3M N xx =<≤∣ ．故选：C ．2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为（）A.9 B.5C.8- D.10【答案】A 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得解.【详解】由已知3113y x =+，则2y x '=，当3x =-时，()239y '=-=，即切线斜率9k =，故选：A.3.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是()()2,1,1,3--，则21z z 的模是（）A .5B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解.【详解】由题意知，12i z =-，213i z =-，所以()()()()2113i 2i 13i 55i 1i 2i 2i 2i 5z z -+--====---+所以21z z ==，故选：D.4.已知直线6x π=是函数()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴，则ω的值为（）A.3B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性可得,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，由此可得答案.【详解】依题意得()sin()1666f πππω=⋅+=±，所以,Z 662k k πππωπ⋅+=+∈，即62,Z k k ω=+∈，又08ω<<，所以2ω=.故选：C.5.若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c b a << D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c a b <<，故选：D.6.在ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点．则EB =（）A.3144AB AC -B.3344AB AC -C.3144AB AC +D.3344AB AC +【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC V 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，所以()1113122244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-，故选：A ．7.在长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面11AB D 平行的概率为A.314B.514C.328D.528【答案】C 【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】八个顶点任两点连线共有28C 28=条，其中直线与平面11AB D 平行的有BD ，1BC ， 共有3条，所以该直线与平面11AB D 平行的概率为328P =.故选：C .8.已知,a b 都大于零且不等于1，则“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】log 1ab >等价于1b a >>或01b a <<<，(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，然后可判断出答案.【详解】由log 1a b >可得log log a a b a >，所以可得1a b a >⎧⎨>⎩或01a b a <<⎧⎨<⎩，即1b a >>或01b a <<<(1)(1)0a b -->等价于11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩所以“log 1a b >”是“(1)(1)0a b -->”的充分不必要条件故选;：A9.已知函数()22,,x x x mf x x x m⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.1m ≥B.3m ≥C.13m ≤≤D.1m ≤或3m ≥【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的单调性及断点处左侧的函数值不大于右侧函数值得到不等式，解得即可.【详解】因为()22211y x x x =-=--在[)1,+∞上单调递增，y x =在R 上单调递增，又()22,,x x x mf x x x m ⎧-≥=⎨<⎩在R 上单调递增，所以212m m m m ≥⎧⎨≤-⎩，解得3m ≥，即实数m 的取值范围是3m ≥.故选：B10.核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A.36.9% B.41.5%C.58.5%D.63.4%【答案】C 【解析】【分析】由题意，0100n X X =代入解方程即可.【详解】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.函数y =______.【答案】()0,2【解析】【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得240x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，故定义域为()0,2.故答案为：()0,212.已知等差数列{}n a 的前n 项和为13,1,18n S a S ==，则6S =______.【答案】81【解析】【分析】运用等差数列的性质公式计算即可.【详解】根据题意，知道131,18a S ==，则231417a a a a +==+，则416a =，若公差为d ，所以41315a a d -==，则5d =.故1234561,6,11,16,,21,26.a a a a a a ======则6161116212681S =+++++=.故答案为：8113.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC V 的面积是______________.【答案】332【解析】【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积.【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++- ，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC V的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14.已知函数()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域是R ，则实数a 的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根据条件可得()f x 在[)0+∞，上的最小值小于或等于3，判断其单调性列出不等式得出a 的范围．【详解】当0x <时，1()43)(,3xf x ⎛⎫=- ∈-∞⎪⎝⎭．因为()f x 的值域为R ，则当0x ≥时，min ()3f x ≤．当0x ≥时，222(1)1y x x a x a =++=++-，故()f x 在[)0+∞，上单调递增，min ()=(0)3f x f ∴≤，即2log 3a ≤，解得08a <≤，即a 的最大值为8．故答案为：8．15.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】②③【解析】【分析】根据给定条件，作出平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，再逐一判断各个命题作答.【详解】在四棱锥P ABCD -中，PA =AB =4，取CD 中点，连接FG ，GH ，BD ，AC ，如图，因底面ABCD 为正方形，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，则////EH BD FG ，////EF PC GH ，EFGH 是平行四边形，令FG AC J ⋂=，有14CJ AC =，在PA 上取点I ，使14PI PA =，连接,,EI HI JI ，则////JI PC EF ，点J ∈平面EFH ，有JI ⊂平面EFH ，点I ∈平面EFH ，,EI HI ⊂平面EFH ，因此五边形EFGHI 是平面EFH 截四棱锥P ABCD -所得的截面多边形，②正确；因EF ⊂平面EFH ，PC ⊄平面EFH ，而//EF PC ，则//PC 平面EFH ，直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点，③正确；PA ⊥底面ABCD ，FG ⊂平面ABCD ，有PA FG ⊥，而BD AC ⊥，//BD FG ，则AC FG ⊥，又PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，因此FG ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，于是得FG PC ⊥，有FG EF ⊥，而122FG BD ==，22112322EF PC PA AC ==+，矩形EFGH 面积等于6EF FG ⋅=，3334JI PC ==，而JI EH ⊥，则IE H 边EH 上的高等于3JI EF -=1362IEH S EH == ，所以截面五边形EFGHI 面积为56.故答案为：②③【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、解答题（共6题，共85分）16.已知函数()()22sin cos 2cos f x x x x =+-，（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值【答案】（1）最小正周期π，单调递减区间3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2，最小值-1．【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值.【小问1详解】()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭,∴最小正周期2ππ2T ==，由ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 得单调递减区间为3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x -=时，()f x ；当ππ244x -=-时，()f x 的最小值为-1.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答.①22cos a b c B -=，②1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ ，m n ⊥.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC V 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选①由正弦定理结合和角公式得出角C ；选②由和角公式结合辅助角公式得出角C ；由数量积公式结合余弦定理得出角C ；（2）由余弦定理结合基本不等式得出ABC V 周长的取值范围.【小问1详解】选①由正弦定理及22cos a b c B -=，2sin sin 2sin cos A B C B -=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ ，1cos 2C ∴=，又(0,)C π∈，3C π∴=.选②由1sin cos 62C C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，311sin cos cos 222C C C +=+，即311sin cos 222C C -=，1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭.(0,)C π∈ ，5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，66C ππ∴-=，3C π∴=.选③(,)m a c b a =-- ，(,)n a c b =+ .m n ⊥.()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=.化简得222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-==.又(0,)C π∈ ，3C π∴=.【小问2详解】由余弦定理得2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，又2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤当且仅当a b =时等号成立.2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+，0a b ∴<+≤，当且仅当a b ==.a b c ∴++≤=又a b c +>，2a b c c ∴++>=ABC ∴周长的取值范围为.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB 所成角的正弦值为3，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）66（3）存在；BF 的长为32或94【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；（3）假设棱PB 存在一点F 使得BF BP λ= ，且EF EB BF =+uu u r uur uu u r，即可求出EF ，利用向量的夹角公式列出关于λ的方程求解即可.【小问1详解】连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，点E 是PC 的中点，点O 是AC 的中点，所以PA ∥OE ,OE ⊂平面EDB ,PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ；【小问2详解】如图，以向量DA ，DC ，DP为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，即()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，则()()1,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面EDB 的法向量(),,m x y z = ，则20DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-得2,1x z ==，所以平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面EDB 和平面PAD 的夹角为θ，则6cos cos ,66m n m n m n θ⋅====，所以平面EDB 和平面PAD 的夹角的余弦值为66；【小问3详解】由（2）知()0,0,0D ，()1,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()1,1,1EB =- ，()1,2,2BP =-- ，(),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<，()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+，由（2）知平面EDB 的法向量()2,1,1m =-，设直线EF 与平面EDB 的夹角为α，则6sin cos ,,013EF m αλ===<<整理得281030λλ-+=，解得12λ=或3,4λ=故当12λ=时，32BF =；当34λ=时，94BF =则BF 的长为32或94．19.某市A ，B 两所中学的学生组队参加信息联赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生.B 中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）设X 表示A 中学参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a ()*a ∈N，81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a 的取值范围（不要求过程）.【答案】（1）99100（2）分布列见解析，期望为32（3）{|738},5N a a a *<∈<【解析】【分析】（1）A 中学至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中学的学生，计算概率后，求对立事件的概率即可；（2）6名男队员中有A ，B 中学各3人，所以选3人来自A 中学的人数X 可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列出分布列，求期望；（3）根据平均数与方差的计算公式，结合题意即可得出a 的取值范围.【小问1详解】由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为33343366C C 1C C 100=.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1991100100-=.【小问2详解】根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======，()213336C C 92C 20P X ⋅===，()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P120920920120因此，X 的数学期望()199130123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为2224)043233-++=(，3名女生的比赛成绩为77，a ()*a ∈N，81，平均值为1583a +，所以222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-，代入检验，可知a 最小为74，最大84，故7385a <<，N a *∈即a 的取值范围{|738},5N a a a *<∈<.20.已知函数()211ln22f x a x x =--+（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若0a >，讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（Ⅲ）若()y f x =有两个极值点1x 、2x ，证明：()()129ln f x f x a +<-.【答案】（Ⅰ）10x y +--=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出()1f 和()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（Ⅱ）求得()2x af x x-+-'=，由20x a -+-=，分0∆>和0∆≤两种情况讨论，分析()f x '的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（Ⅲ）由题意可知，方程()0f x '=有两正根1x 、2x ，利用韦达定理得出12x x +=，12x x a =且()0,3a ∈，将所证不等式转化为ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，利用导数证明出当()0,3x ∈时，()0g x >即可.【详解】由题可知：函数()f x 的定义域为 t h（Ⅰ）因为a =时，()21122f x x x =--+，所以()f x x x'=--，那么()11f '=-，()1f =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()1y x -=--，即10x y +-=；（Ⅱ）因为()2a x af x x x x-+-'=--=，由20x a -+-=可得：①当1240a ∆=->，()0,3a ∈，时，有1x =+，2x =120x x >>，()20,x x ∈和()1,x x ∈+∞时()0f x '<，即函数()y f x =在(和)+∞上为减函数；()21,x x x ∈时，()0f x '>，即函数()y f x =在上为增函数；②当3a ≥时，0∆≤，()0f x '≤恒成立，所以函数()y f x =在 t h 为减函数.综上可知：当0<<3a 时，函数()y f x =在(和)+∞上为减函数，在上为增函数；当3a ≥时，函数()y f x =在 t h 上为减函数；（Ⅲ）因为()y f x =有两个极值点1x 、2x ，则()20x af x x-+-'==有两个正根1x 、2x ，则有1240a ∆=->，且12x x +=，120x x a =>，即()0,3a ∈，所以()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++若要()()129ln f x f x a +<-，即要ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，则()1ln g x x x'=-，易知()y g x '=在()0,3上为增函数，且()110g '=-<，()12ln 202g '=->，所以存在()01,2x ∈使()00g x '=即001ln x x =，且当()01,x x ∈时()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,2x x ∈时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.所以函数()y g x =在()1,2上有最小值为()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭，又因为()01,2x ∈则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()00g x >在()01,2x ∈上恒成立，即()()129ln f x f x a +<-成立.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.设n 为正整数，集合(){}{}12|,,,,0,1,1,2,,.n n i A a a a a i n αα==∈= 对于()12,,,n n a a a A α=∈ ，设集合(){}01,,1,2,,i t i P a t t n a a i n t +=∈≤≤-==⋯-N .（1）若()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==，写出集合()(),P P αβ；（2）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(),s t P α∈满足s t <，令()12,,,n s n s a a a A α--∈'= ，求证：()t s P α-∈'；（3）若()12,,,n n a a a A α=∈ ，且(){}1212,,,,3m m P s s s s s s m α=<<<≥ （），求证：()1221,2,,2k k k s s s k m ++≥+=- .【答案】（1）(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，即可直接写出(),()P P αβ；（2）由i s i a a +=可得j t j t s a a ++-=，结合j t j a a +=可得,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，即可证明；（3）若()t P α'∈且2t n s <-则2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，进而2()s t P α+∈，由（2）可知1()k k k s s P α+-∈，分类讨论12()k k k s s n s +-<-、12()k k k s s n s +-≥-时12k k s s +-与2k s +的大小关系，即可证明.【小问1详解】(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==；【小问2详解】因为()s P α∈，所以,1,2,,i s i a a i n s +==- ，当1j n t ≤≤-时，1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-，所以j t s s j t s a a +-++-=，即j t j t s a a ++-=，1,2,,j n t =- ，又因为()t P α∈，所以,1,2,,j t j a a j n t +==- ，所以,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ，所以()t s P α'-∈；【小问3详解】对任意()s P α∈，令12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ，若()t P α'∈且2t n s <-，则,1,2,,i t i a a i n s t +==-- ，所以2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ，因为()s P α∈，所以1,1,2,,j j a a j n s +==- ，所以22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- ，所以2()s t P α+∈.对1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- ，因为1k k s s +<，由（2）可知，令12(,,,)k k n s a a a α-= ，则1()k k k s s P α+-∈.若12()k k k s s n s +-<-，因为()k s P α∈，所以12()()k k k s s s P α++-∈，即12()k k s s P α+-∈，又因为11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->，所以122k k k s s s ++-≥.若12()k k k s s n s +-≥-，则122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥，所以122k k k s s s ++->.综上，122k k k s s s ++-≥即122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=- .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..。

2024-2025学年山东省菏泽市高三上学期期中数学试题及答案

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菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （ ）A. {}0,1 B. {}1 C. {}1,1- D. ∅2. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（ ）A. []1,2 B. []4,6 C. []5,9 D. []3,73. 已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（ ）A. 12-B.12C. 0D. 14. “函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（ ）A. 1B.3log 22C.ln33D.2log 36.6. 函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（ ）A. 1B. 0C. 3D. 27. 自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（ ）A. ①和④B. ③和④C. ③和②D. ①和②8. 已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（ ）A. 有最大值为1e -，最小值为1 B. 有最大值为0，最小值为1e-C. 有最大值为0，无最小值D. 无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac bc <B. 333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10. 已知函数()21,2,5,2xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（ ）A. 1a ≤- B. []1,4c ∈ C. ()20,5ad ∈ D. 222a b +=.11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（ ）A. π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()f x 的图象关于直线π3x =对称C. S 呈周期变化D. 6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13. 已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14. 已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 记ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16. 已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17. 记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；的（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18. 已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19. 已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．的是菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a - （2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。

盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)

盐城市2024-2025学年高三年级第一学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.1.已知集合{}1,1A =-，(){},,B x y x A y A =∈∈，则AB =（ ）A.AB.BC.∅D.R2.已知复数1z i =+，则z z ⋅=（ ）A. 1C. 2D.3.在ABC △中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若()sin 1αβ+=，则sin 2α=（ ） A.sin 2βB.cos 2βC.sin 2β-D.cos 2β-5.已知数列{}n a 满足14a =，142n na a +=-，则{}n a 的2024项的和为（ ） A. 2024B. 2025C. 2026D. 20276.若实数x ，y 满足2291x y +=，则3x y +的最小值为（ ）A. 1B.1-D.7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，定义余弦相似度为()cos ,cos ,A B OA OB =，余弦距离为()1cos ,A B -.已知(),cos sin A αα，)1B-，若A ，B 的余弦距离为13，则3c s 2πo α⎛+⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.7-B.1-C.1 D.78.已知点O 为ABC △的外心，且向量()1AO AB AC λλ=+-，R λ∈，若向量BA 在向量BC 上的投影向量为15BC ，则cos B 的值为（ ）D.12二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

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高三第一学期期中考试数学试题
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共60分，每小题5分，答案必须用2B 铅笔在答题卡中相应的位置，否则该题不予记分。

）
1、设集合{{}
z n n y y N z m m x x M ∈+==∈+==,23,13|若N y M x ∈∈00,，则00y x 与
N M ,的关系
A 、M y x ∈00
B 、M y x ∉00
C 、N y x ∈00
D 、N y x ∉00
2、设02
1:,020:2
2
<-->--x x g x x p ，则p 是g （ ）条件
A 、充分不必要
B 、必要不充分
C 、充要
D 、既不充分也不必要
3、已知函数)
3(2
1
2log )(a ax x x f +-=是区间[)+∞,2上的减函数，则实数a 的取值范围是
A 、(]4,∞-
B 、(]4,4-
C 、()12,0
D 、(]4,0
4、函数)(x f 定义域为R 且x ≠1，已知)1(+x f 为奇函数，当1<x 时12)(2
+-=x x x f ，那么1>x 时)(x f 递减区间是
A 、⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,45
B 、⎥⎦
⎤ ⎝⎛4
5,1
C 、⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,47
D 、⎥⎦
⎤ ⎝⎛4
7,1
5、函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若)(x f 在[]0,1-上是减函数，那么)(x f 在[]3,2上是
A 、增函数
B 、减函数
C 、先增后减的函数
D 、先减后增的函数
6、（理）若复数z 满足012
=++z z ，则复数z z ++4
)1(的值
A 、1
B 、－1
C 、i 31±
D 、i 31±-
班级 姓名 准考证号
（文）曲线)6
2cos(π
-=x y 的对称中心不是
A 、⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,65π
B 、⎪⎭⎫
⎝⎛0,65π
C 、⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3π
D 、⎪⎭
⎫
⎝⎛-
0,32π 7、等差数列{}n a 中，2700,20010052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 等于 A 、－1221
B 、－21.5
C 、－20.5
D 、－20
8、已知x
x
x f 2
tan 1tan 2)(-=的周期为 A 、π
B 、π2
C 、
2
π D 、
2
3π 9、设)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 点P 是线段AB 上的一个动点，
AB
AP
→=→
λ
若
PB
PA AB OP →⋅→≥→⋅→，则实数λ取值范围是
A 、
12
1
≤≤λ
B 、12
2
1≤≤-
λ C 、
22121+≤≤λ D 、2
21221+≤≤-λ 10、从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为
A 、
54
19
B 、
54
35 C 、
54
38 D 、
60
41 11、已知，a 、b 、c 是实常数且2lim =-⋅+⋅∞→c n b c
n a n ，3lim 2
2=--∞→b
cn c bn n ，则a cn c an n ++∞→22lim 的值是
A 、
12
1
B 、
6
1 C 、
2
3 D 、6
12、若曲线ax x a x y c 22:2
3
+-=上任一点处切线的倾角都是锐角，那么整数a 的值等于 A 、－2
B 、0
C 、1
D 、－1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共16分，每小题4分）
13、已知],1[,86)(2
a x x x x f ∈+-=并且)(x f 的最小值为)(a f ，则实数a 的取值范围是 。

14、在数列{}n a 中，3
2
,1411-==+n n a a a *)(N n ∈，
则使01<+n n a a 成立的n 值是 。

15、已知)2,0(πθ∈且θθθθcos cos sin sin
33
+>+，则∈θ 。

16、已知⎩⎨⎧+-=x
a
a x a x f log 4)13()( 11
≥<x x 是),(+∞-∞的减函数，那么∈a 。

三、解答题
17、解关于x 的不等式：)
1(log 1log x a x
a -<+（其中0>a 且1≠a ）。

18、求函数33x x y -=在[]2,2-上的最大值。

19、某篮球选手每次投篮命中概率为0.4，各次投篮间相互独立，令此选手投篮n 次的命中率为
n a （n a 为进球数与n 之比）试分别求以下发生的概率（用分数作答）。

（1）21
6=a （2）216=a ，)5,4,3,2,1(2
1
=≤n a n
20、某俱乐部准备承办一场足球赛，预计共卖出门票2.4万张，票价有3元、5元、8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张，设x 是门票的总收入，经预算扣除其他各项支出后，该俱乐部的纯收入函数为,2lg x
y 试问三种门票分别卖多少张时，纯收入最多。

21、（理）已知)0)(ln()(>+=a a e x f x
（1）求)(x f y =的反函数及)(x f 的导函数。

（2）假设[]a a x 4ln ,3ln ∈，不等式：0)(ln )(1
<'+--x f x f
m 恒成立求m 范围。

（文）已知0>a ，函数[)+∞∈-=,0,)(3
x a x x f ，设01>x ，记曲线)(x f y =在点
())(,11x f x M 处切线l 。

（1）求l 方程。

（2）l 与x 轴交于)0,(2x ，若31a x >，证明：123x x a <<
22、已知)(x f 在（－1，1）上有意义，1)2
1(-=f 且满足x 、()1,1-∈y 时，有
)1()()(xy
y
x f y f x f ++=+。

（1）证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数。

（2）数列{}n x 满足2
112n n n x x x +=+，2
1
1=x 设)(n n x f a =，求{}n a 的道项公式。

（3）求)21()1
31()111()51
(12++++++++n f n n f f f 的值。

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