人教A高中数学必修五导练课件：3.3.2第一课时简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题
1•了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数 、 可 行 解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划 的意义.
2.霍够利用图解法求解基本的线性规划问题.
3.理解目标函数的最大（小）值与其对应直线的截
距的关系. ［目标导
航］
课标要
求
通过对简单的线性规划问题的学习，培养学生数 学建模与直观想象能力.
素养达 成
满足线性约束条件的 _____ (x, y) 所有可行解组成的 -
存纬悴约東峯件下一朮线悴曰标函数的晶大值最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
新知导学•素养养成
线性规划中的基本概念
名称
意义 约束条件
线性约束条
件 变量X, y 满辱的一组条件 由X ・v 的 不等式(或方程)组成的不等 式组 目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量X, y 的解析 线性目标函
数
目标函数是关于X ：&的一次解析式 可行解
可行域
思考仁在线性约束条件下，最优解唯一吗？答案:不一定•可能没有，可能有一个或无数个.
思考2:目标函数中的z—定都是直线在y轴上的截距吗?
答案:不一定•若目标函数为z二ax+by,则y二-学x+； z,因此直线的截距是;z.
b b b
名师点津
（1）线性约束条件包括两点:一是变量禺y的不等式（或等式）,二是次数为1・
⑵目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量x, y的次数上作了严格的限定:一次解析式，即目标函数包括线性目标函数莉非线性目标函数.
（3）可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合.
课堂探究■素养提升题型一求线性目标函数的最值
把z 二2x+y 变形为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y 轴上的截距为z,是随z 变化 的_组平行直线.
由图可知,当直线z 二2x+y 经过可行域上的点A 时,
x-4y+ 3 = 0, 3x + 5 y - 25 = 0,
解方程组鳥+口得6
点坐标为(⑴
所以 z 皿二 2X5+2=12, z min =2 X 1+1=3. 截距z 最大，经过点B 时,截距
解方程组 得A 点坐标为(5,2),
方法技巧 ⑴一般地，对目标函数z=ax+by,若b>0,则纵截距与z 同号，因此，纵
截距最大时,Z 也最
;若b 〈0,则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大 时,Z
反而最小
. （2）解二元线性规划问题的一般步骤
① 画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=O （目标函数为z 二 ax+by ）;
② 移:平行移动直线ax+by 二0,确定使z 二ax+by 取得最大值或点;
③ 求:求出取得最大值或最小值的点的坐标（解方程组）及最大值和最 小值； ④ 答:给出正确答案.
即时训练1T :设变量x, y满足约束条件x - 5y +10 S 0,则目标函数z=3x-4y的
x + >-8<0,
最大值和最小值分别为多少?
[备用例1] (1) (2019 •辽宁沈阳高二检测)已知0为坐标原点，点A(l, 1),若点B X2 + y2 - 2x-2y + l>0,
LtLtUl VtU
满足约束条件1<%<2, 则OA • OB的最小值是___________ l<y<2
作出可行域及直线，如图阴影部分为可行域,直线为目标函数对应的直线，易知直线下移至
点M, N时取最小值,此时易得直线方程为x+y=3,因此所求的最小
值为3.
答案：⑴3
x + 2y-4<0,
⑵（2019 •德州高二检测）若实数x, y满足& 一），一1 § 0,则x+y的取值范围
X>1,
是______________
解析：（2）画出可行域如图・可行
域为△ ABC的内部及其边界.
iSx+y=t f
则y=-x+t f t的几何意义为直线y=・
A f B时,t取得最小值与最大值，可求得几B两点的坐标分别为（:LO）和
⑵。

所以:即x+y的取值范围^[13].
答案：（2）[1,3]
题型二求非线性目标函数的最值
[例2] （2019 •潍坊高二检测）设x, y满足条件“ + y 2 0, ⑴求U二X?+y2的最大值与最小值；
x<3.
(I)u=x2+y«除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O),由图可知洁(x$) 在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时川最尢取(0,0)时川最小・又C(3,8),所以u 诡产73川罰=0. .................................. 4分
⑵求v二丄的最大值与最小值;
尤一5
⑶求z 二12x+y+41的最大值与最小值.
规范解答:⑶因为z= 12x+y+41 = 75・力+匸+"表示可行域内的点
P (X, y)到直线2x+y+4=0的距离的厉倍，由图象知点A 到直线2x+ y+4=0的距离最小，点C 到直线2x+y+4=0的距离最大.
_ 厂
12x3 + 8 + 4 z max = 因为A(£,)C(3,8),所以儘心
,5
5 , 2x(i )+2 12分
L =18.
A/5 X
方法技巧非线性目标函数的最值的求解策略
(l)z= (x-且)2+ (y-b)2型的目标函数可转化为点(x, y)与点(a, b)距离的平方•特别地,z二x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方・
⑵沪口型的目标函数可转化为点(x, y)与点(a, b)连线的斜率.
x-a
(3)z二|Ax+By+C|可转化为点(x, y)到直线Ax+By+C二0的距离的
{A? +乎倍.
2x - y - y > 0,
即时训练2-1:设变量x,y 满足约束条件%-2y + 2>0,则
x + y-l>0,
s=—的取值范围是 x + 1
二
0-(-1) _1
謁所以专的取值范围是吟2]・1-(-1) ^2 o-(-i)
叫,2]
[备用例2] (1)已知x, y 满足不等式组% + 2y<4,则t=x 2+y 2
+2x-2y+2的最小值为
x > —2,
()
⑴解析：如图，作出可行域，将目标函数化为t=(x+l)2
+(y-l)2
,可以看作是动点(x,
y)到
定点A (-1,1)的距离的平方，结合图形
知，只需求定点A(-l, 1)到直线y=x 的距离即可，由
9
(A) £
(B) 2
(C)3
(D)迈
点到直线的距离公式得 、 y
> • • 尸
/
7
■2
第
x+2j-=4
旧二Q,所以所求最小值t鋅2・故选B.
⑵一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间［0, 1］内,另一个根在区间［1,2］内.
①求点(a, b)对应的区域的面积；
②求匕2的取值范围;
a-1
③求(a-l)2+(b-2)啲值域
题型三线性规划中的参数问题
（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为
解析:作出不等式组表示的平面区域，即可行域（如图所示）为矩形ABCD （包括边界）•解方
程组｛:蔦測;:沖7目标函数为曲阿作出直线"Z （图略）,
平移y=-ax+z 使直线在y 轴上的截距最大，可知直线经过点C 时,z 取得最大值，所以-a 〈ka ）,
即-a 〈-l,则a 的取值范围为（1,+8）. 答案：（1,+8）
［例3］已知变量x, y 满足约束条件 l<x + y <4,
-2<x-y< 2,
若目标函数z 二ax+y （其中a>0）仅在点
一题多变:在本例条件下，若目标函数z=ax+y (a>0)取得最大值的点有无数个，求a的值.
方法技巧
根据目标函数的最值求参数的解题思路
-M用数形结合,先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出日标函—数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解•再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件,即可求出参数的值或范围.
% + 3 y - 3 n 0,
［备用例3］若实数x,y满足不等式组2x-j-3<0,且x+y的最大值为9,则实
x - my +1 > 0,
数m等于（）
(A)-2 (B)-l (C)l (D)2
当m<0时,x+y 无最大值,故选项A, B 错误，因此m>0,又满足条件的可行域必
须是一个三角形，联立解得A (处，：),所以如+
[x-my + i = (j, 2m-1 2m-1
2m-I
解析:画出 x + 3y — 3 A 0, 2兀一 y - 3 5
表示的平面区域如图，又x-my+l=0恒过(-1,0)点,
右二9,解得呼1.故选C.
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(1)用图解法求线性目标函数的最值时，由于关键步骤基本上是在图
上完成的，所以作图一定要准确;其次要弄清Z的含义匹总是与直线的纵截距有关;平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，以确定最优解.
⑵解决非线性目标函数问题时，要首先考虑目标函数的几何意义，再结合图形解决.
课堂达标
1 •目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时山的意义是(C )
(A)该直线在坐标轴上的距离
(B)该直线在y轴上的截距
(0该直线在y轴上的截距的相反数
(D)该直线在x轴上的截距
解析:把目标函数变形为y=2x-z f由此可见忆是该直线在y轴上的截距的相反数•故选C.
x-y + l>Q,
x<3, (A) -7(B) -6 (C) -5 (D) -3
解析:作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）•
易知直线z二2x-3y过点C时,z取得小值.
由匸:心。

，
2•设x, y满足约束条件x+y-l>0,则z=2x-3y的最小值是（
所以Zmin 二2 X 3-3 X 4=-6・故选B.
3・已知平面区域如图所示,z=mx+y （m>0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（d）
2 0 x - y - 2 < 0,
4. （2019・连云港检测）设实数x, y 满足卜+ 2y - 4 n 0,则三的最大值是
2y-3<0, %
解析:不等式组表示的平面区域如图所示，又表示过平面区域内一点(x, y) x x-0 与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x, y)在平面区域内A 点处时直线斜率最大，由
X 二
1, 3所以A(l,|),所以丄的最大值为°・ , 2 2
2）-3=0 'A K i
x+2y-4=0
x + 2y - 4—二 0, 2y-3=0
x+^<4,
5.已知点P (x, y)的坐标满足t ",点0为坐标原点，那么|P01的最小值
X>1,
，最大值为
为
解析：画
出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|P0|表示可行域上的点到原点的距离,从而使|P0|取得最小值的最优解为点A(l, 1);使I P01取得最大值的最优解为点B(l,3),所以|P0|鋅心，|P0「二価.
7
答案:迈厠\卩
1 2 3 x x+y=4
7
不看起步看逬
步
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