人教A高中数学必修五导练课件：3.3.2第一课时简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题

1•了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数 、 可 行 解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划 的意义.

2.霍够利用图解法求解基本的线性规划问题.

3.理解目标函数的最大（小）值与其对应直线的截

距的关系. ［目标导

航］

课标要

求

通过对简单的线性规划问题的学习，培养学生数 学建模与直观想象能力.

素养达 成

满足线性约束条件的 _____ (x, y) 所有可行解组成的 -

存纬悴约東峯件下一朮线悴曰标函数的晶大值最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

新知导学•素养养成

线性规划中的基本概念

名称

意义 约束条件

线性约束条

件 变量X, y 满辱的一组条件 由X ・v 的 不等式(或方程)组成的不等 式组 目标函数

欲求最大值或最小值所涉及的变量X, y 的解析 线性目标函

数

目标函数是关于X ：&的一次解析式 可行解

可行域

思考仁在线性约束条件下，最优解唯一吗？答案:不一定•可能没有，可能有一个或无数个.

思考2:目标函数中的z—定都是直线在y轴上的截距吗?

答案:不一定•若目标函数为z二ax+by,则y二-学x+； z,因此直线的截距是;z.

b b b

名师点津

（1）线性约束条件包括两点:一是变量禺y的不等式（或等式）,二是次数为1・

⑵目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量x, y的次数上作了严格的限定:一次解析式，即目标函数包括线性目标函数莉非线性目标函数.

（3）可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合.

课堂探究■素养提升题型一求线性目标函数的最值

把z 二2x+y 变形为y=-2x+z,得到斜率为-2,在y 轴上的截距为z,是随z 变化 的_组平行直线.

由图可知,当直线z 二2x+y 经过可行域上的点A 时,

x-4y+ 3 = 0, 3x + 5 y - 25 = 0,

解方程组鳥+口得6

点坐标为(⑴

所以 z 皿二 2X5+2=12, z min =2 X 1+1=3. 截距z 最大，经过点B 时,截距

解方程组 得A 点坐标为(5,2),

方法技巧 ⑴一般地，对目标函数z=ax+by,若b>0,则纵截距与z 同号，因此，纵

截距最大时,Z 也最

;若b 〈0,则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大 时,Z

反而最小

. （2）解二元线性规划问题的一般步骤

① 画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=O （目标函数为z 二 ax+by ）;

② 移:平行移动直线ax+by 二0,确定使z 二ax+by 取得最大值或点;

③ 求:求出取得最大值或最小值的点的坐标（解方程组）及最大值和最 小值； ④ 答:给出正确答案.

即时训练1T :设变量x, y满足约束条件x - 5y +10 S 0,则目标函数z=3x-4y的

x + >-8<0,

最大值和最小值分别为多少?

[备用例1] (1) (2019 •辽宁沈阳高二检测)已知0为坐标原点，点A(l, 1),若点B X2 + y2 - 2x-2y + l>0,

LtLtUl VtU

满足约束条件1<%<2, 则OA • OB的最小值是___________ l

作出可行域及直线，如图阴影部分为可行域,直线为目标函数对应的直线，易知直线下移至

点M, N时取最小值,此时易得直线方程为x+y=3,因此所求的最小

值为3.

答案：⑴3

x + 2y-4<0,

⑵（2019 •德州高二检测）若实数x, y满足& 一），一1 § 0,则x+y的取值范围

X>1,

是______________

解析：（2）画出可行域如图・可行

域为△ ABC的内部及其边界.

iSx+y=t f

则y=-x+t f t的几何意义为直线y=・

A f B时,t取得最小值与最大值，可求得几B两点的坐标分别为（:LO）和

⑵。所以:即x+y的取值范围^[13].

答案：（2）[1,3]

题型二求非线性目标函数的最值

[例2] （2019 •潍坊高二检测）设x, y满足条件“ + y 2 0, ⑴求U二X?+y2的最大值与最小值；

x<3.

(I)u=x2+y«除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O),由图可知洁(x$) 在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时川最尢取(0,0)时川最小・又C(3,8),所以u 诡产73川罰=0. .................................. 4分

⑵求v二丄的最大值与最小值;

尤一5

⑶求z 二12x+y+41的最大值与最小值.

规范解答:⑶因为z= 12x+y+41 = 75・力+匸+"表示可行域内的点

P (X, y)到直线2x+y+4=0的距离的厉倍，由图象知点A 到直线2x+ y+4=0的距离最小，点C 到直线2x+y+4=0的距离最大.

_ 厂

12x3 + 8 + 4 z max = 因为A(£,)C(3,8),所以儘心

,5

5 , 2x(i )+2 12分

L =18.

A/5 X

方法技巧非线性目标函数的最值的求解策略

(l)z= (x-且)2+ (y-b)2型的目标函数可转化为点(x, y)与点(a, b)距离的平方•特别地,z二x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方・

⑵沪口型的目标函数可转化为点(x, y)与点(a, b)连线的斜率.

x-a

(3)z二|Ax+By+C|可转化为点(x, y)到直线Ax+By+C二0的距离的

{A? +乎倍.