凹凸函数公式

1、凹凸函数定义及几何特征

⑴引出凹凸函数的定义：

如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。把形如)(1x f 的 增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义

设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：

（1）1212()()(

)22

x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22

x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征：

几何特征1（形状特征）

图4（凹函数） 图5（凸函数）

凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。

几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。

几何特征3（增量特征）

图8（凹函数） 图9（凸函数）

图10（凹函数） 图11（凸函数）

凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小。

2、利用二阶导数判断曲线的凹凸性

设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格是凸的; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格是凹的。