滨州市优质课评选：数学归纳法 杨雪峰

=右边
即当n=k+1时等式也成立。
由（1） 、 （2）可知，n∈ N * 时推倒
2、假设第k块倒下， 则导致第k+1块倒下
递推的 基础
证明一个与正整数有关的命题
1、证明n取第一个值 n=n0(n0∈N+)时命题成立
递推的 依据
数 学 归 2、假设当n＝k (k∈N *, 纳 k≥n0 ) 时命题成立, 法 证明当n＝k＋1时命题也 的 成立． 适 用 范 围？
数学归纳法
无棣一中 杨雪峰
设置问题情境 激发学生思维 下面是我们前面用过的一个公式，但公式中的一个 常数被笑脸遮挡了，你能求出被遮挡的这个常数吗？
n( n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 *
2 2 2 2
其中n N .
设置问题情境 激发学生思维
n( n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 *
练习
回顾小结 盘点收获 这节课你学到了什么？ 一个方法：数学归纳法（两个步骤，一个 小结） 一个思想：递推思想 三点注意：
递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉
The end,thank you!
an 问题2在数列{ a n }中, a1＝1, an 1 1 an
，a3， a 4 的值； （1）求 a 2
2 2 2 2
证明： （1） 当 n=1 时，左边 12 1 ，右边 1 (1 1) (2 1 1) ，等式成立。
6
（2） 假设 n=k （k≥1） 时， 等式成立， 即12 2 2 32 k 2 k (k 1)(2k 1)
6
则当 n=k+1 时，左边=12 2 2 33 k 2 k 12
…………
ak=ak-1+d …………
搜索生活实例 揭示数学原理 “多米诺骨牌”游戏动画演示
问题探究
……
思考：假若有无数个多米诺骨牌，如何 保证能全部倒下？
……
• 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件 是什么？
• 探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件 是什么？
第一块 骨牌倒下
任意相邻的两张牌，前一张倒下 一定导致后一张牌倒下，即假设 第k张倒下，则第k+1张也倒下
————这种证明方法叫做数学归纳法．
生活中的实例
知识应用 巩固深化
用数学归纳法证明:
1+3+5+7+…+(2n-1)= n2(n∈ N*).
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=12=1， 等式成立. （2）假设n=k(k≥1)时等式成立，即 1+3+5+…+(2k-1)=k2 当n=k+1时， 1+3+5+…+(2k1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 即n=k+1时等式也成立 由(1)(2)可知，对任意的正整 数n，等式1+3+5+…+(2n-1)=n2 成立
由（1）（2）知结论正确。
1
2
3
4
……
k
K+1
……
n=1 等式 成立
n=2 等式 成立
n=3 等式 成立
1 2 3 n
2 2 2 2
？ n(n 1)( 2n 1)
6
若n=k 等式成 立
n=k+1 对任意的 等式成 正整数n 立
都成立
其中n N .
*
n( n 1)( 2n 1) 其中n N *. 1 2 3 n 证明初始值 6
用到了假设
k (k 1)( 2k 1) 1 (k 1) 2 (k 1)k (2k 1) 6(k 1) 6 6 1 1 (k 1)( 2k 2 7k 6) (k 1)(k 1) 12(k 1) 1 6 6
递推关系 成立
(n∈
* N ),
（2）试猜想该数列的通项公式．
an 问题在数列{ a n }中, a1＝1, an 1 1 an
，a3， a 4 的值； （1）求 a 2
(n∈
* N ),
（2）试猜想该数列的通项公式． 证明：（1）当n=1时，a1=1
1 (2)假设n=k(k≥1)时结论成立，即ak= k 1 当n=k+1时，ak+1= ak k 1 ak 1 1 1 k 1 k 即n=k+1时也成立。
2 2 2 2
其中n N .
思考1：你能证明上述公式对任意的正 整数n都成立吗？证明的最大障碍是什 么？
思考2：等差、等比数列的定义都涉 及到“无限”项，它们是如何突破 “无限”瓶颈的，能否结合等差数列 谈一下？ 数列{an}是等差数列，首 项a1,公差为d,则：
a1=a1 a2=a1+d a3=a2+d