等比数列求和PPT课件

3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
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作业布置:
必做： 课本P17-18 练习6.3.3 1.2题
选做：
等比数列中，S3
7 2
,
S6
623，求an。
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李仲全
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n2 n 2
121n
2
分组求和
12
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和 （ 11 x)(2x12) (nx1n)n (Nx0）
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归纳总结、内化知识
小结
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时，
1、等比数列前n项和：
Sn
a1(1 qn) 1 q
当q 1时，Sn na1.
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。
式 中 的 qn1混 淆 。
(3)注 意 q是 否 等 于 1， 如 果 不 确 定 ， 就 要
分 q1和 q1两 种 情 况 讨 论 。
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例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求
出数列的前8项的和。
解：因为 a1 1，q
33，所以 1
等比数列
n项和公式为：
Sn11 [1 (( 3 3 ))n]1(4 3)n
把上面（n-1）个式子的左右两边相加，得
a 2 a 3 a 4 .. a n . q .( a 1 . a . 2 a 3 .. a n . 1 ) .
即 S n a 1q (S n a n )
S nqnS a 1qna
nFra Baidu bibliotek 1
q 1
S
n当 当
qqa1(1111时 时qq，，n )SSnn
第六章 数列
等比数列的前n项和 公式的推导和应用
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知识回顾：
（1）等比数列定义：
an q(n2,q0) an1
（2）等比数列通项公式：ana1qn 1(a1,q0)
（3）等差数列的前n项和公式的推导方法： 倒序相加法
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数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
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深化对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn) 1 q
(1) a1,an,q,Sn 和各已知 a1,n,q,Sn
三个可求第四个。
(2)注 意 求 和 公 式 是 qn， 不 要 和 通 项 公
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 3 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？
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诱发探究
设等比数列an的公比为q，由等比数列的概念
知an1qn a，所以有
a 2 a 1q
a 3 a 2q
a 4 a 3q
a n a n 1q
观察上式你能想出如何表示前n项和吗？ 5
公式的推导
qa11(11qqn
na1
)
6
公式证明（错位相减法）
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1
两边同乘以q，得
q n S a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1 a 1 q n
两式相减，得
Sn a1(1qn)(q1) 1q
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这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 3 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
S 6 41 2 2 2 2 3 2 63 2 S 6 4 2 2 2 2 3 2 6 3 2 64
S642641 ＝18,446,744,073,709,551,615
故
S8
1 （ 3） 8 1640 4
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课堂练习 1．求等比数列中，
（1）已知 a1 4 , q
1 2
，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1q10) 1q
4[1(12)10]1023
11
128
2
（2） Ska11 aqkq11 2 43 33364
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拓展训练 、深化认识
求数列1
1 2,2
1, 4
3
1, 8
4
11,6的前n项的和.
解:
Sn11 221 431 8411 6 ( n
1 2n
)
反思
(11 2)(21 4)(38 1) (n2 1 n)
(123 n)(12148121n)
n(n 1) 2
1 [1 ( 1 ) n ] 22
1 1
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
3
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 2 3
……
第63格： 262
第64格： 263