次序统计量及其分布课件
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3-次序统计量
F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
样本中位数m0.5的渐近分布为
m0.5
1 ~ N x , 0 . 5 2 4 n p ( x ) 0.5
例5 设总体分布为柯西分布 ，密度函数为
1 p( x; ) , x 2 (1 ( x ) )
若X 1 , X 2 ,, X n 来自该总体的样本，求 样本中位数 的渐近分布.
1、样本均值 X 总体均值
估计
2、样本中位数 估计 总体中位数
样本均值容易受离群值 的干扰，离群值会把样 本 均值拉向自己一侧，而 样本中位数不受此害 .
若有离群值时，可用截 尾均值代替样本均值 . 何为截尾均值？ 把样本排序，并截去两 端一定比例的样本后求 得的 其余值的平均 .
m0.25 x([290.251]) x(8) 60
m0.5 x(15) 67 m0.75 x([290.751]) x(22) 73
五值 18 , 60 , ,67 , ,73 , 97
箱线图
18
60 67 73
97
1、样本中位数 设x(1) ,x(2) , , x( n) 是有序样本，则样本中 位数m0 .5为
m0 .5 x n 1 , n为奇数; ( ) 2 1 ( x n x n ), n为偶数. ( 1) 2 2 (2)
次序统计量及其分布 PPT
三、多个次序统计量的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布， 以两个为例说明：
定理3 次序统计量 (x(i), x(j)), (i j) 的联合分 布密度函数为
pij(y,z)=(i1)!(jin !1)!(nj)![F (y)]i1[F (z)F (y)]ji1 [1F (z)]njp(y)p(z), yz
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X的样本, X(i) 称为 该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测 值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中
X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量，
X(n)=maxX1, X2, …, Xn 称为该样本的最大次序统计量。
定 理 3： (X(1),X(n))的 联 合 分 布 密 度 为 （ 连 续 型 )
n(n1)(F(y)F(x))n2f(x)f(y),xy
fX(1),X(n)(x,y) 0
xy
证明：当x y时，显然成立。
当x y时{X(n) y} {X(1) x, X(n) y} {X(1) x, X(n) y}
大家有疑问的，可以询问
10
证法2
n
Fk(x) P{Xk x} Cni (F(x))i(1F(x))ni ik
n!
F(x) tk1(1t)nkdt
(k1)!(nk)! 0
fk(x)
(Fk (x))'
n!
(F(x))k1(1F(x))nk
(k 1)!(nk)!
f
(x)
当k 1,k n时,可得 f1(x) n(1 F(x))n1 f (x) fn(x) n(F(x))n1 f (x)
5.3统计量及其分布
535次序统计量及其分布个观测值大排列后得到的第由小到它的取值是样本观测值个次序统计量样本的第称为该的样本是取自总体统计量称为该样本的最大次序统计量称为该样本的最小次序个次序统计量称为该样本的第那么相互独立同分布已知样本分布相同吗独立吗次序统计量定义例536设总体x的分布为仅取012的离散均匀分布分布列为131313现从中抽取容量为3的样本其一切可能取值有2719分布不相同显然二次序统计量的抽样分布则有为样本分布函数为设总体的密度函数为的密度函数为个次序统计量样本第度函数为个次序统计量的联合密练习
102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为
x17 98 4 12 5 9.4 9
20
• 将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率
x18 2 39 2 5 12 22 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即
n
E(x)n 1Ei n1xinn
Va (x)rn 12Va i n1 rxinn 22n2
E
xi
x2
E
xi
2
nx 2
E(xi2 ) nE(x2 )
[E(xi )2 Var(xi )]n[E(x)2 Var(x)]
n2 n 2 n2 n 2
n
(n 1) 2
Es2n1 1E xix2 n1 1(n 1 )22
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i1
xi k
称为样本 k阶原点矩
bk
1 n
n i1
(xiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
102 108 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为
x17 98 4 12 5 9.4 9
20
• 将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布: 组序分组区间组中值频数频率
x18 2 39 2 5 12 22 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即
n
E(x)n 1Ei n1xinn
Va (x)rn 12Va i n1 rxinn 22n2
E
xi
x2
E
xi
2
nx 2
E(xi2 ) nE(x2 )
[E(xi )2 Var(xi )]n[E(x)2 Var(x)]
n2 n 2 n2 n 2
n
(n 1) 2
Es2n1 1E xix2 n1 1(n 1 )22
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i1
xi k
称为样本 k阶原点矩
bk
1 n
n i1
(xiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次序统计量及其分布通用课件
中心极限定理
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。
次序统计量及其分布共26页
次序统计量及其分布
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
次序统计量及其分布.ppt
m1
2
~
N
x1
2
, n[
f
1 (x1
2
)]2
例5-3-2: 设总体 X 为柯西分布，其密度函数为
f(x ;) (1 (1 x ))2, x
其分布函数为
F (x;)1 2 1arctan(x)
易知，θ是该总体的中位数，即 x ½ = θ.
设 X1,X2, ,Xn 是来自该总体的样本，则
图 ) 若 X~N(,2)，要求的分位数 xα, 可化成求
N ( 0, 1 )的分位数 .
P { X x } P { X x }
此时， X~N(0,1)
故
x
u
从而 xu
（5-3-8）
2） 对于 T ~ t (n) ，由密度函数的对称性可知
推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为
p n ( x ) n [ 1 F ( x ) ] n 1 p ( x ) (5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p 1 (x ) n [F (x ) ] n 1 p (x ) (5-3-5)
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
F(y)]ji1[1F(z)]nj f(y)f(z) , ayzb
例5-3-4：设总体分布为 U ( 0 , 1 ) , x1, x2, … , xn 为
样本，则 ( x (1) , x (n) )的联合密度函数为
p 1 , n ( y , z ) n ( n 1 ) ( z y ) n 2 ,0 y z 1
P { T t ( n ) } P { T t ( n ) } 1 P { T t ( n ) } 1
即
次序统计量及其分布通用课件
3. 健康状况评估：通过 对个体的多项生理指标 进行监测，并利用次序 统计量进行分析，可以 对个体的健康状况进行 综合评估。
环境科学领域应用案例
总结词：环境科学领 域中，次序统计量可 用于环境监测、污染 物排放评估、气候变 化研究等。
详细描述
1. 环境监测：通过在 环境中布置传感器， 并利用次序统计量分 析传感器数据，可以 实时监测环境的空气 质量、水质等情况。
次序统计量的特点
次序统计量具有简单直观、可操 作性强、易于理解等优点，是统 计分析中常用的一种方法。
次序统计量的种类
简单次序统计量
只对总体或样本的视察值进行排序， 不涉及其他数据处理。
加权次序统计量
将总体或样本的视察值进行加权处理 后再进行排序，可以更准确地反应数 据的散布特征。
次序统计量的应用场景
统计模型
参数统计模型
在这种模型中，次序统计量被视为一个随机变量，并假定其 具有某种已知或可估计的散布情势（例如正态散布、泊疏松 布等）。然后通过参数估计和假设检验等方法对总体参数进 行推断。
非参数统计模型
在这种模型中，总体被视为非参数的，并不假定其具有某种 特定的散布情势。然后通过核密度估计、分位数回归等方法 对总体散布进行推断。
未来应用前景展望
金融风险管理
次序统计量在金融风险管理领域有着广泛的应用。例如，可以利用次序统计量分析股票市场的波动性 ，为投资决策提供支持。未来，随着金融数据的日益复杂化，次序统计量的应用将更加重要。
环境监测与保护
次序统计量可以用于环境监测和保护领域。例如，可以利用次序统计量分析空气质量、水质等环境指 标的变化趋势，为制定环境保护政策提供根据。
07
参考文献
参考文献
统计量及其分布PPT资料(正式版)
2 1 2 样本具有二重性：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取前无法预知它们的数据，因而样本是一组随机变量；
s* (x x) 3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本，
i ⑵若总体分布未知或不是正态分布,但均值和方差存在，则n较大时，样本均值 的渐近分布为N(μ,σ2/n).
n 2、样本具有独立性，即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值。
统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
总体的分布通常是未知的，即总体的分布类型可能 是未知的，或者知道分布类型但不知道具体的参 数值。以无限总体为研究对象
2、样本 为了了解总体的分布，我们随机地抽取n个个体，
记其指标值为x1,x2,…,xn，称其为总体的一个样 本，n称为样本容量。样本中的个体称为样品。 样本具有二重性：由于样本是从总体中随机抽取的， 在抽取前无法预知它们的数据，因而样本是一组 随机变量；样本在抽取之后经观测就有确定的观 测值，因此样本又是一组观测值。
布为N(μ,σ2/n). ⑵若总体分布未知或不是正态分布,但均值和方差
存在，则n较大时，样本均值 x 的渐近分布为 N(μ,σ2/n).
第五章 统计量及其分布
3、样本方差与样本标准差 第五章 统计量及其分布
3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,则它关于样本均值 的平均偏差平方和
定义5.3.3 设x ,x ,…,x 为取自某总体的样本,则它 第五章 统计量及其分布
算术平均值称为样本均值，记为 x ，满足
xx1x2...xn
n
1 ni n1xi第五章 统量及其分布定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为 偏差，则样本所有偏差之和为0。
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小。 例5.3.2 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本， ⑴若总体分布为N(μ,σ2),则样本均值 x 的精确分
s* (x x) 3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本，
i ⑵若总体分布未知或不是正态分布,但均值和方差存在，则n较大时，样本均值 的渐近分布为N(μ,σ2/n).
n 2、样本具有独立性，即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值。
统计量及其分布
第五章 统计量及其分布
总体的分布通常是未知的，即总体的分布类型可能 是未知的，或者知道分布类型但不知道具体的参 数值。以无限总体为研究对象
2、样本 为了了解总体的分布，我们随机地抽取n个个体，
记其指标值为x1,x2,…,xn，称其为总体的一个样 本，n称为样本容量。样本中的个体称为样品。 样本具有二重性：由于样本是从总体中随机抽取的， 在抽取前无法预知它们的数据，因而样本是一组 随机变量；样本在抽取之后经观测就有确定的观 测值，因此样本又是一组观测值。
布为N(μ,σ2/n). ⑵若总体分布未知或不是正态分布,但均值和方差
存在，则n较大时，样本均值 x 的渐近分布为 N(μ,σ2/n).
第五章 统计量及其分布
3、样本方差与样本标准差 第五章 统计量及其分布
3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,则它关于样本均值 的平均偏差平方和
定义5.3.3 设x ,x ,…,x 为取自某总体的样本,则它 第五章 统计量及其分布
算术平均值称为样本均值，记为 x ，满足
xx1x2...xn
n
1 ni n1xi第五章 统量及其分布定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为 偏差，则样本所有偏差之和为0。
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小。 例5.3.2 定理5.3.3 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本， ⑴若总体分布为N(μ,σ2),则样本均值 x 的精确分
2.5 次序统计量
,,
x n
时,定义
X (k )
取
值 为 x(k) (k 1, 2, , n), 由 此 得 到 的 ( X (1), X (2) , , X (n) ) 称 为
样本X1 , X 2 ,, X n 的次序统计量。
1
显然有
X(1) X(2) X(n)
其中
X (1)
min
1in
Xi
称为最小次序统计量，它的值
9
样本分布函数Fn(x)不仅与样本容量n有关,还与所
得到的样本观察值有关，故它是随机变量．Fn(x)的
图形呈跳跃上升的台阶状, 在x(1), x(2), …, x(n)中的不
重复的值处，跳跃高度为
1 n
；在重复l次的值处，跳
跃高度为 l ．图中的曲线是总体X的理论分布函数
n
F(x)的图形．
图
10
对任意实数 x, Fn x就是事件X x
0,
则经验分布函数 F3( x)的观察值为
1 ,
F3
(
x
)
3 2
,
3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
7
实例3 设总体 F 具有一个样本值 1, 1, 2, 则经验分布函数F3( x)的观察值为
0,
F3
(
x
)
2 3
,
1,
x 1, 1 x 2, x 2.
8
一般地， 设 x1, x2,, xn 是总体F的一个容量为n 样本值, 先将 x1, x2,, xn 按自小到大的次序排列, 并重新编号, x(1) x(2) x(n) , 则经验分布函数Fn( x)的观察值为
x(1)
2.5 次序统计量
图
9
例 设总体F具有一个样本值1， 1， 2，则经验分布函数 F3 ( x )的观察值为 0, 若 x 1 2 F3 ( x ) , 若1 x 2 3 若x 2 1,
10
经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.
样本直方图可以描述. (2). 经验分布函数的性质 10. 具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升； 20. Fn(x)是一个随机变量；
4
定理
设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)),
, X ( n ) ) 的联合分布密度为
X 1 , X 2 ,, X n 为其样本，则次序统计量的分布密度为
( X (1) , X (2) ,
n n! f ( yi ), y1 y2 f ( y1 , y2 , , yn ) i 1 0, 其他
这件事情是否是一个玩笑？
14
中位数定义
设 （ X 1 , X 2 , , X n ） 是总体 X 中的样本 ， ( X (1) , X (2) , , X ( n ) ) 为其次序统计量，则样本中位数定义为
X n 1 ，n奇 ( ) 2 X 1 [ X n X n 1 ]，n偶 ( ) ( ) 2 2 2
vn ( x) Fn ( x) n
为子样的为经验分布函数.
7
设总体 X 的分布函数 F(x)未知， x1 , x2 , , xn 为总体 X 的一个样本观察值，将它们按大小 排列为： x1 x 2
x n ，令
0, 如果x x(1) , k Fn x , 如果x( k ) x x( k 1) , k 1, 2,..., n 1, n 1, 如果x( n ) x .
1.4 次序统计量及其分布
1 , n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
n! k 1 n k fk ( x) ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )!
F1n ( x , y ) P { X (1) x , X ( n ) y } P{ X ( n ) y } P{ x X (1) X ( n ) y } ( F ( y )) P{ x X i y } ( F ( y ))n ( F ( y ) F ( x ))n
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 ) 称为
该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测
值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中 X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量， X(n)=maxX1, X2, …, Xn
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1)
0
19 27
1
7 27
2
1 27
X (2)
0
7 27
1
13 27
2
7 27
p
X (3)
p
0
1 27
1
7 27
2
19 27
p
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如:
X(1) 和X(2) 的联合分布列为
证明:k 1,n时,直接可得 F1 ( x ) P ( X (1) x ) 1 P (min( X i ) x ) 1 (1 F ( x ))n Fn ( x ) P ( X ( n ) x ) P (max( X i ) x ) ( F ( x ))
次序统计量
由于次序统计量的每一个分量X(k) 都是样本
X,X,, 12
X n
的函数，所以X(1),X(2),L
,X(n)
也都是随机
变量。样本X1,X2,,Xn是相互独立的，但其次序统
计量(X(1),X(2),L,X(n))一般不是独立的。
2
定义 样本X1,X2,,Xn按由小到大的顺序重排为 X(1) X(2) L X(n)
{ 1，1，3，3，4，2，3，8 } 3
11
Remark (1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时
常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。 (2). 样本的众数适用于离散的总体
12
2. 表示“变差”的统计量： 样本方差(或标准差)、极差
样本极差定义为
R X (n ) X ( 1 ) m 1 i a x nX i m 1 ii n nX i,
f(X (1 ),X (2 ))(x ,y )
0 ,x y ,
7
1. 表示“平均”的统计量： 样本均值、中位数、众数
例 关于平均值的理解 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，
它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖 一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理 。
思考1. 甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。
4
定理 1.19 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), X1 , X 2 , , X n为样本，则第 k 个次序统计量 X(k) 的分布密度为
fX (k )( x ) ( k 1 ) n ! ( ! n k ) ! [ F ( x ) ] k 1 [ 1 F ( x ) ] n kf( x ) ,k 1 ,2 ,L ,n . 特 别 ， 最 小 次 序 统 计 量 X (1 )和 最 大 次 序 统 计 量 X (n) 的 分 布 密 度 为
次序统计量
的性质
次序统计量是充分统计量 证明： 由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分布性，因 而 其中，是的一个置换，这样的置换共有，由此可见，此条件分布与总体无关，故次序统计量是充分统计量。
单个的分布
设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本，则第k个次序统计量X(k)的密度函数 为
次序统计量
统计学术语
目录
01 简介
03 单个的分布
02 的性质 04自总体X的样本，X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由 小到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统 计量。
简介
设 X1,X2,…, Xn是取自总体X的样本，X(i)称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统计 量。
显然： (1)最小顺序统计量 (2)最大顺序统计量 (3)极差(Range) (4)四分位极差(iql) 样本X1,X2,…,Xn是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),…,X(n)则既不独立，分布也不相同。
证明：k=1,n时，直接可得
多个的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以两个为例说明： （1）次序统计量的联合分布密度函数为： （2）的联合分布密度（连续型）为：
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数理统计第二章抽样分布2.3节次序统计量的分布
x f1 ( x) n 1
n 1
1 I[(0, )] ( x)
最大次序统计量X(n)的密度函数为
nx n1 f n ( x) n I[(0, )] ( x)
11
( X (1) , X (n ) )的联合密度函数为
n(n 1)( y x) n 2 , 0 x y , n f1,n ( x, y ) 0, 其它.
pq (2 q q )
n
n1
n1
n=1,2,…
22
n Fm ( x) P( X ( m) x) ( F ( x))i (1 F ( x)) ni i m i
n
5
因此
利用恒等式
n i n p m1 n i nm p (1 p ) i t (1 t ) dt 0 i m i i
极差R X ( n ) X (1)的密度函数为
n(n 1)( r )r n 2 , n f R (r ) 0, 0 r , 其它.
12
统 L1 , L2 例2 设系统 L 由两个相互独立的子系 联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, 如图所示.
f n ( x) nF ( x)n1 f ( x)
7
二 次序(顺序)统计量的联合分布
(1)次序统计量( X (1) , X ( n) )的联合分布为
n n [ F ( y )] [ F ( y ) F ( x )] , 当x y, F1,n ( x, y ) n [ F ( y )] , 当x y.
βe ,x0 , fY ( y ) x0 0,
n 1
1 I[(0, )] ( x)
最大次序统计量X(n)的密度函数为
nx n1 f n ( x) n I[(0, )] ( x)
11
( X (1) , X (n ) )的联合密度函数为
n(n 1)( y x) n 2 , 0 x y , n f1,n ( x, y ) 0, 其它.
pq (2 q q )
n
n1
n1
n=1,2,…
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n Fm ( x) P( X ( m) x) ( F ( x))i (1 F ( x)) ni i m i
n
5
因此
利用恒等式
n i n p m1 n i nm p (1 p ) i t (1 t ) dt 0 i m i i
极差R X ( n ) X (1)的密度函数为
n(n 1)( r )r n 2 , n f R (r ) 0, 0 r , 其它.
12
统 L1 , L2 例2 设系统 L 由两个相互独立的子系 联接而成, 连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, 如图所示.
f n ( x) nF ( x)n1 f ( x)
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二 次序(顺序)统计量的联合分布
(1)次序统计量( X (1) , X ( n) )的联合分布为
n n [ F ( y )] [ F ( y ) F ( x )] , 当x y, F1,n ( x, y ) n [ F ( y )] , 当x y.
βe ,x0 , fY ( y ) x0 0,