线性代数是大学数学一门重要的基础课,它的

浅谈对线性代数核心内容的学习

一、线性代数的特点及教学中存在的问题

线性代数是大学数学一门重要的基础课，它的内容对其它后续课程以及工程技术、经济管理、网络信息中有着广泛的应用。目前非数学专业对线性代数教学课时一般都安排较少，学生普遍反映线性代数课程“抽象”难懂。原因是：第一，线性代数中概念抽象。在刚开始的学习中，学生的主要难点集中在对一些概念难于接受和理解，例如：行列式的定义、矩阵乘法的定义、矩阵的初等变换规则，尤其是向量空间的抽象定义、线性相关及线性无关的定义等等；第二，教材的编排体系。大部分教材一般是按逻辑顺序—定义、公理、引理、定理、推论的模式来编写的。为学习某项新知识，必须有很多的预备知识作为铺垫，进而才能更好地理解新知识的来龙去脉。这样循序渐近的安排，使教材整个的知识体系更加完整，天衣无缝。但在实际教学中，往往使学生抓不住知识的主干，“只见树木，不见森林”，不知道一开始学习的知识干什么，只是被动地一步一步跟着走。对学生而言，每门课程都是新的，以前很少接触过，不可能对课程有整体的把握，更不可能理解作者编书的原始想法。这就要求教师在讲课的过程中合理地安排教学内容的顺序，突出重点、难点，让学生掌握课程的主干、核心内容，对课程整体作深入的了解和把握。

二、线性代数的核心内容

线性代数名曰代数，处理的却是几何对象，它的研究对象是线性空间（向量）及线性变换，它的处理工具和方法是代数中的矩阵理论——矩阵及其运算，特别是矩阵的乘法。多数线性代数教材的内容顺序是：行列式、矩阵、线性方程组、向量和线性空间、特征值和二次型。这几章的内容，线性方程组是核心内容，行列式的定义及运算法则、矩阵及其运算和变换是工具，都是为解线性方程组服务的。向量的线性相（无）关的问题，都可转化成对线性方程组的研究。例如：

设由m 个方程n 个未知数组成的线性方程组为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

22112222212111212111 该线性方程组可以写成向量的线性组合的形式：

βααα=+++n n x x x 2211

其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi i i i a a a 21α，n i ,,2,1 =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=m b b b 21β 上面两种形式都可以简写成矩阵方程形式：b Ax =，其中A 为系数矩阵，即

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m n mn m m n b b b x x x a a a a a a a a a 21212111222111211

由于研究内容的不同，有以上三种不同的表示形式，但解决三者的方法却是完全一样的，都可以借助于矩阵理论进行研究即可，因此，线性方程组、向量的线性组合和矩阵及矩阵方程三个看似独立不同的问题是可以作等价研究的。例如：

问向量组)2,4,2(1-=α，)1,2,3(2=α，)2,4,1(3=α是否线性相关？

分析：解决一个具体的向量组是否线性相关，可以用定义法，即是要考察是否存在一组不全为零的数321,,k k k ，使得

0332211=++αααk k k ，

若存在，则321,,ααα线性相关；若不存在，321,,k k k 全部为零，则321,,ααα线性无关。把321,,ααα的坐标代入即得

0241123242321=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k

该形式是向量的线性组合形式，可以改写成线性方程组的形式，即

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++-0220424032321

321321k k k k k k k k k

这样321,,k k k 就变成了该线性方程组的未知数，考察321,,k k k 是否不全为零，即是看该齐次线性方程组是否有非零解，若有非零解，321,,k k k 不全为零，则321,,ααα线性相关；若仅有零解，321,,k k k 全部为零，则321,,ααα线性无关。 我们知道齐次线性方程组的解的情况要看系数矩阵的秩是否小于未知数的个数，即

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000212424132321k k k

利用矩阵的初等变换可以知道，该矩阵的秩等于2，小于3，因此，该线性方程组有非零解，向量组321,,ααα线性相关。 对于非齐次线性方程组的解，可以考察其系数矩阵和增广矩阵的秩，进而可以判断出非齐次线性方程组的解的情况，具体方法不详细介绍。

由以上分析过程可以看出，线性方程组、向量的线性组合、矩阵及矩阵方程，从形式到内容都可统一起来研究。对线性空间的研究都可转化成解线性方程组，而解线性方程组的工具却是矩阵理论。在教材中，三者内容看似独立，研究起来却联系紧密。学生在学习的过程中只要把握这一主线，学习起来就不会感到毫无头绪了。