测量平差的数学模型

本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

（2）测量平差的随机模型。

本节教学思路：

首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。

教学内容：

一、平差模型的定义与分类

1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；

2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

二、各类函数模型的建立

（一）概述

1．函数模型定义：

在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。

2．函数模型的意义与特点

函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。

对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。

函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。

（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。

1. 条件平差法及其函数模型

首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。

在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：

令

=[1 1 1]

=[ ]

=[-180]

则上式为

（2-2-1）

再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为

]

其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：

令

0180~~~321

=-++L L L 3

1⨯A

13~

⨯L

1~L 2~L 3~L T

0A 0~0=+A L A 116~[~

h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322

=+-=h h h L F 0~~~)~(6313

=--=h h h L F 图2-2

A

B

则上面条件方程组可写为

（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，

即

（2-2-3）

如果条件方程为线性形式，则可以直接写为

（2-2-4）

将代入（2-2-4）式，并令

（2-2-5）

则（2-2-4）式为

（2-2-6）

（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。

2. 附有参数的条件平差法及其函数模型

在平差问题中，设观测值个数为n ，必要观测个

数为t ，则可以列出r=n-t 个条件方程，现又增设了u 个独立量作为未知参数，且0

方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。

如图2-3的三角形ABC 中，观测了三个内角、

、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A 为平差参数，即u=1，此时条件方程个数

应为r+u=2个，它们可以写成：

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=⨯1001010101100010116

3A 0~

=L A 1

⨯n L

0)~(=L F 1

1

01

~

⨯⨯⨯⨯=+r r n n r A L A ∆+=L L ~

)(0A AL W +-=0=-∆W A 1L 2L 3L X ~0180~

~~321=-++L L L

令

，，

则上式可写成

一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r=n-t ，再增选u 个独立参数，0

(2-2-7)

如果条件方程是线性的，其形式为

(2-2-8)

将代入上式，并令

(2-2-9)

则得

(2-2-10)

(2-2-8)或(2-2-10)式为附有参数的条件平差的函数模型。 3. 间接平差法(参数平差法)及其函数模型

由前所述，一个几何模型可以由t 个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t 个量都选作参数，即u=t （这是独立参数的上限），那么通过这t 个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t 个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。

选择几何模型中t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n 个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。

如图2-3三角形ABC 中，观测了三个内角、、

，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时

选∠A 、∠B 为平差参数，即，u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：

0~

~1=-X L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001111A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10B ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-=01800A 0

~

~1

201

2121

332=++⨯⨯⨯⨯⨯A X B L A 0

)~

,~(1

=⨯X L F c 0

~

~1

01

1

=++⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c A X B L A ∆+=L L ~)(0A AL W +-=0

~

1

1

1

=-+∆⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W X B A 1L 2L 3L 21

~~X X 、T

X X X ）、（21~~~=