测量平差的数学模型

本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；
（2）测量平差的随机模型。

本节教学思路：
首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。

教学内容：
一、平差模型的定义与分类
1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；
2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；
二、各类函数模型的建立
（一）概述
1．函数模型定义：
在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。

2．函数模型的意义与特点
函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。

对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。

函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。

（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。

1. 条件平差法及其函数模型
首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。

在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：
令
=[1 1 1]
=[ ]
=[-180]
则上式为
（2-2-1）
再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为
]
其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：
令
0180~~~321
=-++L L L 3
1⨯A
13~
⨯L
1~L 2~L 3~L T
0A 0~0=+A L A 116~[~
h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322
=+-=h h h L F 0~~~)~(6313
=--=h h h L F 图2-2
A
B
则上面条件方程组可写为
（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，
即
（2-2-3）
如果条件方程为线性形式，则可以直接写为
（2-2-4）
将代入（2-2-4）式，并令
（2-2-5）
则（2-2-4）式为
（2-2-6）
（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。

以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。

2. 附有参数的条件平差法及其函数模型
在平差问题中，设观测值个数为n ，必要观测个
数为t ，则可以列出r=n-t 个条件方程，现又增设了u 个独立量作为未知参数，且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出r+u 个条件
方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。

如图2-3的三角形ABC 中，观测了三个内角、
、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A 为平差参数，即u=1，此时条件方程个数
应为r+u=2个，它们可以写成：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=⨯1001010101100010116
3A 0~
=L A 1
⨯n L
0)~(=L F 1
1
01
~
⨯⨯⨯⨯=+r r n n r A L A ∆+=L L ~
)(0A AL W +-=0=-∆W A 1L 2L 3L X ~0180~
~~321=-++L L L
令
，，
则上式可写成
一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r=n-t ，再增选u 个独立参数，0 <u<t ，则总共应列出c=r+u 个条件方程，其一般形式为
(2-2-7)
如果条件方程是线性的，其形式为
(2-2-8)
将代入上式，并令
(2-2-9)
则得
(2-2-10)
(2-2-8)或(2-2-10)式为附有参数的条件平差的函数模型。

3. 间接平差法(参数平差法)及其函数模型
由前所述，一个几何模型可以由t 个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t 个量都选作参数，即u=t （这是独立参数的上限），那么通过这t 个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t 个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。

选择几何模型中t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n 个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。

如图2-3三角形ABC 中，观测了三个内角、、
，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时
选∠A 、∠B 为平差参数，即，u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：
0~
~1=-X L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001111A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10B ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=01800A 0
~
~1
201
2121
332=++⨯⨯⨯⨯⨯A X B L A 0
)~
,~(1
=⨯X L F c 0
~
~1
01
1
=++⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c A X B L A ∆+=L L ~)(0A AL W +-=0
~
1
1
1
=-+∆⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W X B A 1L 2L 3L 21
~~X X 、T
X X X ）、（21~~~=
（2-2-11）
方程的个数恰好等于观测值的个数。

令
，
， 则（2-2-11）式可写为
（2-2-12）
一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r=n-t ，再增选u 个独立参数， u=t ，则总共应列出c=r+u=n 个函数关系式，其一般形式为
如果这种表达式为线性的，一般为
（2-2-13）
将代入上式，并令
（2-2-14）
则（2-2-13）式可写为
（2-2-15）
以上（2-2-13）或（2-2-15）就是间接平差的函数模型。

其中（2-2-13）称为观测方程。

4. 附有限制条件的间接平差及其函数模型
如果在某平差问题中，选取u>t 个参数，其中包含t 个独立参数，则多选的s=u- t 个参数必定是t 个独立参数的函数，即在u 个参数之间存在着s 个函数关系式。

方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s 个，建立模型时，除了列立n 个观测方程外，还要增加参数之间满足的s 个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。

⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫+--===180~~~~~~
~213221
1X X L X L X L T X X X ）、（21~~~=T
L L L L ）、、221~~~(~=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001B ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=18000d 131
2231
3~
~⨯⨯⨯⨯+=d
X B L 1~⨯u X
)
~(~1
X F L n =⨯1
1
1
~~⨯⨯⨯⨯+=n t t n n d
X B L ∆+=L L ~d L l -=1
1
1
~
⨯⨯⨯⨯-=∆n t t n n l
X B
其函数模型的一般形式为
线性形式的函数模型为
（2-2-16）
（2-2-17）
将代入（2-2-16）式，并令
（2-2-18） 则（2-2-16）和（2-2-17）式可写为
（2-2-19）
（2-2-20）
这就是附有条件的间接平差的函数模型。

其中（2-2-20）称为限制条件方程。

5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）及其函数模型
上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件平差0<u<t,且要求参数间独立；间接平差u=t,也要求参数间独立；附有条件的间接平差u>t ，要求包含t 个独立参数。

附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u 个参数，不论u<t 、u=t 或是u>t ，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u 个。

如果在u 个参数中有s 个是不独立的，或者说在这u 个参数中存在着s 个函数关系式，则应列出s 个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出
c=r+u-s
个形如（2-2-8）的一般条件方程，形成如下的函数模型
若为线性形式，则为
（2-2-21）
)
~(~1
X F L n =⨯0
)~(1
=Φ⨯X S 11
1~~⨯⨯⨯⨯+=n u u n n d
X B L 0
~
1
1
=-⨯⨯⨯s u u s W X C ∆+=L L ~
d L l -=111
~
⨯⨯⨯⨯-=∆n u u n n l
X B 0
~
1
1
=-⨯⨯⨯s u u s W X C 0
)~
,~(1
=⨯X L F c 0
)~(1
=Φ⨯X S 0
~
~1
01
1
=++⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c A X B L A
（2-2-22）
考虑到，则
（2-2-23）
（2-2-24）
这就是附有条件的条件平差的函数模型。

（三） 平差的随机模型
函数模型反映了测量控制网中各几何元素间的数学关系，但测量元素是存在误差的，因此还必须建立观测值向量
及相关量的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：
（2-2-25）
式中D 为L 的协方差阵，Q 为L 的协因数阵，P 为L 的权阵，为单位权方差。

（四） 综述
函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。

在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P 、Q 、D 其中之一。

一般是
按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。

可以通过平差计算求出其估值，然后根
据公式
求得D 的估值。

（五）例题
例[2-1] 如图2-4水准网中，点为已知水
准点，点为待定水准点，观测高差为。

试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型： 1. 按条件平差法；
2. 若选点高程为未知参数时；
3. 若仅选点高程为未知参数时；
4. 若选的平差值为未知参数时；
~
1
1
=-⨯⨯⨯s u u s W X C ∆+=L L ~
~
1
1
1
=-+∆⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W X B A 0
~
1
1
=-⨯⨯⨯s u u s W X C 1
⨯n L
n
n n
n n
n P Q D ⨯-⨯⨯==1
2
020σσ2
0σ20σ2
0ˆσQ D 20ˆˆσ=B A ，21P P
，4321h h h h ，，，21
P P ，21~
~X X ，1P X ~
32h h ，21~~X X ，图2-4
h 3
5. 若选的平差值为未知参数时。

解：本题，，则
1. 按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是
2. 此时参数个数，且不相关，属于间接平差，函数模型为
3. ，属于附有参数的条件平差，方程个数为
4. 但相关，属于附有条件的条件平差。

方程总个数为个，应列1个限制条件方程和3个一般条件方程。

函数模型为
5. 且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为
，观测方程个数为4个。

函数模型为
321h h h ，，321
~
,~~X X X ，4=n 2=t 2=-=t n r 0~~~0
~
~42132=-+++=-B A
H h h h H h h 2==t u A H X h -=11~~212
~~~X X h +-=213
~~~X X h +-=B H X h +-=24
~~t u <=13=+u r 0~
~
~~0
~~142132=-+=-+++=-X h H H h h h H h h A B A 2==t u 4=+u r 0
~
~0~
~~0
~
~~0
~~2142141132=-=-+++=-+++=-X X H h X h H H h X h H h h B A B A t u >=31=-=t u s 11~~X h =22
~~X h =33
~~X h =
限制条件方程为
B
A
H
X
X
H
h+
-
-
-
=
2
1
4
~
~
~
~
~
3
2
=
-X
X。