数字信号处理(第四版)高西全第4章ppt课件
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这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造 了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
kN
WN 2
WNk
，因此
X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X ( k ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ，k 0 ， 1 ， ， N 2 1
(4.2.7)
X ( k N 2 ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ， 1 ， ， N 2 1
x2(r)x(2r1)，
r0，1，L，N1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X(k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1)
r0
r0
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N1时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点DFT 的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算量相 当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于实时信 号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出难以实 现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各
x2(r)WN2kr
r0
r0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
因为 所以
W N 2krej2 N π2krejN 2π2krW N kr/2
N/21
N/21
X(k) x1(r)W N kr/2W N r x2(r)W N kr/2
r0
r0
X1(k)W N kX2(k) k0,1,2,L,N-1
(4.2.4)
(4.2.8)
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示 的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2表 示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
mN
WN 2
WNm
(4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序
列的DFT，并利用
W
kn N
的周期性和对称性来减少DFT
的运算次数。算法百度文库简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
N/2 1
X 1(k) x1(r)W N kr/2D F T [x1(r)]N (4.2.5)
r0
2
N /2 1
X 2(k) x2(r)W N kr /2D F T [x2(r)]N
r 0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky) 在《计算数学》(Math. Computation, Vol. 19, 1965)杂 志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德(G. Sand)—图基等快速算法相继出现， 又经人们进行改进，很快形成一套高效计算方法，这 就是现在的快速傅里叶变换（FFT）。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 其他快速算法简介 习题与上机题
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但 直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换 FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用DFT算法 进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965 年提出DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r)x(2r)，
r0，1，L，N1 2
如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把 N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减 少。另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其 周期性表现为
W N m lNej2 N π(m lN )ej2 N πmW N m（4.2.2）
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其对称性表现为
WNmWNNm 或者 [WNNm]* WNm (4.2.3a)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 有限长序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) x(n )W N kn k0 ， 1 ， ， N 1 (4.2.1) n 0
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值， 直接按(4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共 需N2次复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的 杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
kN
WN 2
WNk
，因此
X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X ( k ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ，k 0 ， 1 ， ， N 2 1
(4.2.7)
X ( k N 2 ) X 1 ( k ) W N k X 2 ( k ) ， k 0 ， 1 ， ， N 2 1
x2(r)x(2r1)，
r0，1，L，N1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X(k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk(2r1)
r0
r0
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N1时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点DFT 的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算量相 当可观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于实时信 号处理来说，必将对处理设备的计算速度提出难以实 现的要求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各
x2(r)WN2kr
r0
r0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
因为 所以
W N 2krej2 N π2krejN 2π2krW N kr/2
N/21
N/21
X(k) x1(r)W N kr/2W N r x2(r)W N kr/2
r0
r0
X1(k)W N kX2(k) k0,1,2,L,N-1
(4.2.4)
(4.2.8)
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示 的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2表 示。图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
图4.2.1 蝶形运算符号
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
图4.2.2 8点DFT一次时域抽取分解运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
mN
WN 2
WNm
(4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序
列的DFT，并利用
W
kn N
的周期性和对称性来减少DFT
的运算次数。算法百度文库简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
N/2 1
X 1(k) x1(r)W N kr/2D F T [x1(r)]N (4.2.5)
r0
2
N /2 1
X 2(k) x2(r)W N kr /2D F T [x2(r)]N
r 0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky) 在《计算数学》(Math. Computation, Vol. 19, 1965)杂 志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德(G. Sand)—图基等快速算法相继出现， 又经人们进行改进，很快形成一套高效计算方法，这 就是现在的快速傅里叶变换（FFT）。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 其他快速算法简介 习题与上机题
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引 言
DFT是数字信号分析与处理中的一种重要变换。但 直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换 FFT(Fast Fourier Transform)出现以前，直接用DFT算法 进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965 年提出DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r)x(2r)，
r0，1，L，N1 2
如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把 N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减 少。另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其 周期性表现为
W N m lNej2 N π(m lN )ej2 N πmW N m（4.2.2）
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其对称性表现为
WNmWNNm 或者 [WNNm]* WNm (4.2.3a)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 有限长序列x(n)的N点DFT为
N 1
X (k) x(n )W N kn k0 ， 1 ， ， N 1 (4.2.1) n 0
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值， 直接按(4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共 需N2次复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。