建立概率模型

2.2 建立概率模型

1．进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)

2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理概率模型

阅读教材P134～P137“思考交流”以上部分，完成下列问题．

由概率模型认识古典概型

(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．

(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．

(3)树状图是进行列举的一种常用方法．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()

(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()

(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()

(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．()

【解析】(1)√，由古典概型的特征知(1)正确．

(2)√，用树状图进行列举直观形象．

(3)×，结果越多问题就越复杂．

(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．

【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√

[小组合作型]

121

连续取两次.

【导学号：63580037】

(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；

(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．

【精彩点拨】利用列举法列举出所有可能出现的事件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．

【自主解答】(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件A由4个基本事件组成．因而P(A)＝4

6＝

2

3.

(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．

事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.

1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．

2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．

[再练一题]

1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全

相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.

(1)求红色球的个数；

(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．

【解】(1)设红色球有x个，依题意得

x

24＝

1

6，解得x＝4，∴红色球有4个．

(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．

事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，

∴P(A)＝5 12.

察向上的点数．

(1)求两数之积是6的倍数的概率；

(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x2y＝1的概率是多

少？

【精彩点拨】列出一颗骰子先后抛掷两次的36种结果，然后根据题目要求找出所求事件所包含的基本事件的个数即可．

【自主解答】(1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基

本事件，所以P(A)＝15

36＝

5

12，即两数之积是6的倍数的概率为

5

12.

661218243036

551015202530

44812162024

3369121518

224681012

1123456

积123456

①

(2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且log x2y＝1”为事件B，则满足log x2y＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，

(6,3)三种情况，所以P(B)＝3

36＝

1

12，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，

y且满足log x2y＝1的概率是1 12.

若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.

[再练一题]

2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．

(1)求出现的点数相同的概率；

(2)求出现的点数之和为奇数的概率．

【解】(1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，