建立概率模型

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2.2 建立概率模型
1.进一步掌握古典概型的概率计算公式.(重点)
2.对于一个实际问题,尝试建立不同的概率模型来解决.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理概率模型
阅读教材P134~P137“思考交流”以上部分,完成下列问题.
由概率模型认识古典概型
(1) 一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件是人为规定的.如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现,只要基本事件的个数是有限的,并且它们的发生是等可能的,就是一个古典概型.
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决,而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少,问题的解决就变得越简单.
(3)树状图是进行列举的一种常用方法.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个.()
(2)树状图是进行列举的一种常用方法.()
(3)在建立概率模型时,所得的结果越少,问题越复杂.()
(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时,所选择的观察角度必须统一.()
【解析】(1)√,由古典概型的特征知(1)正确.
(2)√,用树状图进行列举直观形象.
(3)×,结果越多问题就越复杂.
(4)√,由古典概型的概率公式易知正确.
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√
[小组合作型]
121
连续取两次.
【导学号:63580037】
(1)若每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率;
(2)若每次取出后又放回,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.
【精彩点拨】利用列举法列举出所有可能出现的事件,找到符合要求的事件,利用概率公式求概率.
【自主解答】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果为(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
事件A由4个基本事件组成.因而P(A)=4
6=
2
3.
(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)共9个基本事件.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
事件B由4个基本事件组成,因而P(B)=4 9.
1.“有放回”与“无放回”问题的区别在于:对于某一试验,若采用“有放回”抽样,则同一个个体可能被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.
2.无论是“有放回”还是“无放回”抽取,每一件产品被取出的机会都是均等的.
[再练一题]
1.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外其他特征完全
相同,已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是1 6.
(1)求红色球的个数;
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球,1号白色球,2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率.
【解】(1)设红色球有x个,依题意得
x
24=
1
6,解得x=4,∴红色球有4个.
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A,所有的基本事件有(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝3),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝2,蓝3),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共12个.
事件A包含的基本事件有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共5个,
∴P(A)=5 12.
察向上的点数.
(1)求两数之积是6的倍数的概率;
(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x,y,则log x2y=1的概率是多
少?
【精彩点拨】列出一颗骰子先后抛掷两次的36种结果,然后根据题目要求找出所求事件所包含的基本事件的个数即可.
【自主解答】(1)此问题中含有36个等可能基本事件,记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A,则由图①可知,事件A中含有其中的15个等可能基
本事件,所以P(A)=15
36=
5
12,即两数之积是6的倍数的概率为
5
12.
661218243036
551015202530
44812162024
3369121518
224681012
1123456
积123456

(2)此问题中含有36个等可能基本事件,记“第一次,第二次抛掷向上的点数分别为x,y,且log x2y=1”为事件B,则满足log x2y=1的x,y有(2,1),(4,2),
(6,3)三种情况,所以P(B)=3
36=
1
12,即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x,
y且满足log x2y=1的概率是1 12.
若问题与顺序有关,则(a1,a2)与(a2,a1)为两个不同的基本事件;若问题与顺序无关,则(a1,a2)与(a2,a1)表示同一个基本事件.
[再练一题]
2.任意投掷两枚质地均匀,六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子.
(1)求出现的点数相同的概率;
(2)求出现的点数之和为奇数的概率.
【解】(1)任意投掷两枚骰子,由于骰子质地均匀,因此可以看成是等可能事件.其结果可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6),其中i,j分别表示两枚骰子出现的点数,共有6×6=36(种),其中点数相同的数组为(i,i)(i=1,2,…,
6),共有6种结果,故出现点数相同的概率为6
36=
1
6.
(2)法一:出现的点数之和为奇数由数组(奇,偶)、(偶,奇)组成(如(1,2),(2,3)等).由于每枚骰子的点数中有3个偶数,3个奇数,因此出现的点数之和为奇数
的数组有3×3+3×3=18(个),从而所求概率为18
36=
1
2.
法二:由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个,而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数,奇数)、(奇数,偶数)、(偶数,奇数)、(偶数,偶数)
这四种等可能结果,因此出现的点数之和为奇数的概率为2
4=
1
2.
[探究共研型]
探究1
基本事件是什么?有多少个基本事件?其概率是多少?
【提示】基本事件为出现1,2,3,4,5,6点,共6个基本事件,这6个基本事
件出现的可能性相同.其概率都为1 6.
探究2掷一粒均匀的骰子,若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则这个随机试验的基本事件是什么?有多少个基本事件?其概率是多少?
【提示】基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”,有2个基本事件,这两个基本事件是等可能性的,所以发生的概率都为0.5.
探究3在古典概型中,同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢?为什么?
【提示】不一定,因为一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的.只要基本事件的个数是有限的,每次试验只有一个基本事件出现,且发生是等可能的,就是一个古典概型.
有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
【思路点拨】 用树形图表示所求事件的可能性,利用概率模型计算便可. 【自主解答】 将A ,B ,C ,D 四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.等可能基本事件共有24个.
(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A 只包含1个基本事件,所以P (A )=124.
(2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件B 包含9个基本事件,所以P (B )=924=3
8.
(3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件C 包含8个基本事件,所以P (C )=824=1
3.
A

⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
—B —⎪⎪

—C —D —D —C
—C —⎪
⎪⎪⎪
—B —D
—D —B —D —⎪
⎪⎪

—B —C
—C —B
B
—⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
—A —⎪⎪⎪
—C —D
—D —C —C —⎪
⎪⎪

—A —D —D —A —D —⎪
⎪⎪⎪
—A —C —C —A
a 席位
b 席位
c 席位
d 席位 a 席位 b 席位 c 席位 d 席位
C —⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪ —A —⎪⎪⎪
—B —D
—D —B —B —⎪
⎪⎪

—A —D —D —A —D —⎪
⎪⎪⎪
—A —B —B —A
D —⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
—A —⎪⎪⎪
—B —C
—C —B —B —⎪
⎪⎪

—A —C —C —A —C —⎪
⎪⎪⎪
—A —B —B —A
a 席位
b 席位
c 席位
d 席位
a 席位
b 席位
c 席位
d 席位
1.解答古典概型时,要抓住问题实质,建立合适的模型,以简化运算. 2
.本题属于对号入座问题,情况较为复杂,所包含的基本事件较多,为清楚地列举出所有可能的基本事件,可借助于树形图处理.
[再练一题]
3.甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,试求下列事件的概率. (1)甲在边上; (2)甲和乙都在边上; (3)甲和乙都不在边上.
【解】 利用树状图来列举基本事件,如图所示.
由树状图可看出共有24个基本事件. (1)甲在边上有12种情形:
(甲,乙,丙,丁), (甲,乙,丁,丙), (甲,丙,乙,丁), (甲,丙,丁,乙), (甲,丁,乙,丙), (甲,丁,丙,乙), (乙,丙,丁,甲), (乙,丁,丙,甲), (丙,乙,丁,甲), (丙,丁,乙,甲), (丁,乙,丙,甲), (丁,丙,乙,甲),
故甲在边上的概率为P=12
24=
1
2.
(2)甲和乙都在边上有4种情形:
(甲,丙,丁,乙), (甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲), (乙,丁,丙,甲),
故甲和乙都在边上的概率为P=4
24=
1
6.
(3)甲和乙都不在边上有4种情形:(丙,甲,乙,丁),(丙,乙,甲,丁),(丁,甲,乙,丙), (丁,乙,甲,丙),
故甲和乙都不在边上的概率为P=4
24=
1
6.
1.一个家庭有两个小孩,则这两个小孩性别不同的概率为()
A.3
4B.
1
2
C.1
3 D.
1
4
【解析】这两个小孩的所有可能情况是(男,男),(男,女),(女,男),(女,
女),共4种,其中性别不同的有两种,所以两个小孩性别不同的概率为2
4=
1
2.
【答案】 B
2.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为()
A.1
12B.
5
12
C.7
12 D.
5
6
【解析】由题意知基本事件个数有12个,满足条件的基本事件个数就一
个,故所求概率为P=1 12.
【答案】 A
3.甲乙两人随意入住两间空房,则两人各住一间房的概率是________. 【解析】 设两间房分别为A ,B ,则基本事件有(A ,A ),(A ,B ),(B ,A ),(B ,B )共计4种,则两人各住一间房包含(A ,B ),(B ,A )两个基本事件,故所求概率为12.
【答案】 1
2
4.有100张卡片(从1号到100号),从中任取一张卡片,则取得的卡号是7的倍数的概率是________.
【解析】 7的倍数用7n (n ∈N +)表示,则7n ≤100,解得n ≤142
7,即在100以内有14个数是7的倍数,所以概率为14100=7
50.
【答案】 7
50
5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, (1)从中一次随机摸出2只球,求这2只球颜色不同的概率; (2)若有放回地取球,取两次,求两次取得球的颜色相同的概率. 【解】 (1)设取出的2只球颜色不同为事件A .
基本事件有(白,红),(白,黄),(白,黄),(红,黄),(红,黄),(黄,黄)共6种,事件A 包含5种.故P (A )=56.
(2)设两次取得球的颜色相同为事件B .
基本事件有(白,白),(白,红),(白,黄),(白,黄),(红,红),(红,白),(红,黄),(红,黄),(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄),共16种,其中颜色相同的有6种,故所求概率为P (B )=616=38.。

相关文档
最新文档