投资债券定价原理

投资债券定价原理

1962年麦尔齐在对债券价格、债券利息率、到期年限以及到期收益率之间进行了研究后，提出了债券定价的五个定理。至今，这五个定理仍被视为债券定价理论的经典。

定理一：债券的市场价格与到期收益率呈反比关系。即到期收益率上升时，债券价格会下降；反之，到期收益率下降时，债券价格会上升。

定理二：当债券的收益率不变，即债券的息票率与收益率之间的差额固定不变时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正比关系。即到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。

定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。

定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。即对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。

定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度之间成反比关系。即息票率越高，债券价格的波动幅度越小。

PS:

债券的定价

[转帖]

发行债券(bond)是公司融资的常用方法之一。公司是债券的发行者(issuer)，购买这些债券的是投资者(investor)。公司通过发行债券募集到一笔钱，然后按照约定定期付给投资者一笔钱，也就是利息。债券到期后，公司把最后一期利息和本金一起付给投资者。

通常发行的债券有一个面值(face value, 通常为1000元)和一个息票利率(coupon rate)，还有一个到期日。在到期之前，公司付给投资者的利息=面值x 息票利率。到期后，公司除了要付利息，还要付给投资者相当于面值的钱。举个例子，假定某种债券的面值为1000元，息票利率是8%，3年到期。那么公司在第一年和第二年的年末将付给投资者1000x8%=80元。在第三年年末，公司除了付给投资者80元，还要再付1000元。

那么债券是如何定价的呢？金融的一个基本观念就是钱有时间价值(time value)。就是说今天的100元不等于明天的100元。因为今天的100元拿去存银行的话可以有利息收入。因此今天的100元应该比明天的100元更值钱。换句话说，如果你今天想通过投资在明天得到100元，那么今天所投入的成本应该低于100元。根据这个说法，我们应该把在未来的收入折现(discount)，才能得到未

来的收入相对于今天而言的价值。怎么折现呢？我们需要一个折现率，通常使用市场利率作为折现率。举例来说，假如市场利率是10%，那么如果想在一年后得到100元，今天要投资100/(1+10%)=90.909元。也就是说今天的90.909元等于一年后的100元。

明白了折现这个概念后，我们就能对债券定价了。还是用上面的例子，假定市场利率为10%。我们来看看投资人在三年收到的现金流情况。第一年80元，第二年80元，第三年1080元。把这三个现金流分别折现 (注意: 第二年和第三年折现的时候要分别除以(1+10%)的平方和三次方，因为市场利率通常是指年利率)，第一年 80/(1+10%)=72.727； 第二年 80/(1+10%)2=66.115； 第三年 1080/(1+10%)3=811.419 那么债券的发行价格就等于这三个现金流折现后相加，即72.727+66.115+811.419=950.262元。也就是说，投资者在今天花950.262

元购买这张债券，那么在今后三年里可以分别得到80元，80元和1080元。

债券的定价方法颇为简单，只要将所有现金流折现即可。从定价方法中可以看出，如果市场利率下降，那么债券的价格就上升。因为折现率降低，分母变小，价格就变高了。反之如果市场利率上升，债券的价格就下降。所以债券价格与市场利率反向变化，而息票利率则与债券价格同向变化。

上面的例子中债券的发行方是在每年年末付钱，如果是每3个月付一次利息又该怎么定价呢？ 其实基本思路还是一样的：折现。关键是弄清投资人每次收到的现金流是多少，还有折现率是多少就可以了。由于是3个月付一次利息，也就是一年内要付4次利息。那么每次利息就应该变成(1000x8%)/4=20元，而折现率变为10% /4=2.5%。好了，3年内投资者将总共收到12笔钱，前11笔钱都是20元，最后一笔是1020元。将这些钱分别用2.5%折现，就可以得到债券的价格了。价格=20/(1+2.5%)+20/(1+2.5%)平方+20/(1+2.5%)三次方

+...+...+1020/(1+2.5%)的12次方，最后计算得到的价格为948.711元，比刚才稍低一点。可能大家会觉得计算太复杂了吧，不用担心啦，有专门的计算器可以算的，呵呵。

债券投资所面临的复杂风险之一就是利率风险。作为债券的持有者，投资者必须评估：①所持有债券对利率的敏感程度；②潜在的利率风险对资产组合的影响。在此基础上调整资产组合，将资产对利率的敏感程度控制在自己满意的范围。

在我前面的学习中，我还记得用债券定价模型所确定的债券价格与收益率之间的关系：反比并且具有凸性。除此之外，债券投资的几个基本关系有：

①债券价格与收益率的变动成反方向关系；当收益率上升时，债券价格下降；当收益率下降时，债券价格上升。

②由于价格与收益率曲线具有凸性，到期收益率如果上下变动相同的幅度，债券价格上升的幅度（收益率下降）大于债券价格下跌的幅度（收益率上升）。

③长期债券比短期债券对利率更敏感。

④随着债券期限的增加，债券价格对利率的敏感程度逐步增加，但增加的速度却是下降的。

⑤利率风险与息票利率呈反向关系。高息票债券与低息票债券相比，高息票债券对利率的敏感程度较低。

⑥债券价格对收益率变动的敏感性与债券当期出售时的到期收益率呈反方向关系。

尽管用一个实际例子可以说明③④⑤⑥，同时，直观理解这些关系也不困难，但这并不能说明什么问题。我的高等数学基础不好，而我所阅读的相关书籍对上述关系也只局限于大概的介绍，如果有谁可以给出数学的证明，请告诉我。同时，我自己也将寻求数学上的证明。前五条就是马尔基尔债券定价关系。

上述的几个基本关系对于我们立即理解债券价格的变动程度与利率的变动、期限的长短有巨大的帮助，但这是直观的理解，无法对潜在的风险进行量化分析。Duration（久期）这个概念就将期限与对利率的敏感程度紧紧地联系在一起了。对于两种不同的债券（例如期限不同、息票率不同等等），如果经过计算这两种债券的久期相同，它们对利率的敏感程度就相同。这种加权平均经过计算的期限比债券期限更加直观，缺点是计算过程使用目前债券的价格，而价格又处于不断的变化之中，因此需要不断地计算久期。久期是管理债券风险的重要工具。

典型的债券，尤其是中长期国债，规定了债券的面值、期限、息票利率（即票面利率）、每年付息次数（更一般的是每半年付息一次），这里没有包括零息债券（一般是短期国债）及可赎回债券，债券的预期收益率与债券现值必存在某种关系。

首先来了解几个债券的最基本的概念。终值（FV）：目前投入一定量的资金在未来某个时期的价值。现值（PV）：为了在未来某个时期所确定的终值目前所需要投入的资金量。假设目前市场利率为8%，目前投入1000美元，在此利率下，三年后的价值是多少呢？1000*（（1+8%）**3）=1259.712美元，即三年后的终值为1259.712美元；将问题反过来，如果目前市场利率为8%，如果三年后想获得1259.712美元，现在需要投入1000美元，即现值为1000美元，8%即为贴现率。

对于一般的国债，规定了面值、期限、息票率、每年付息次数、在到期日还本并付最后一次利息。债券最主要的5个变量构成了一个系统：①到期前付息次数（T），这个变量跟债券期限及付息次数相关；②债券面值（PAR）；③各期贴现率（r），这个变量是根据市场利率、债券的信用等级等因素确定的适用收益率；④息票利息（PMT），付息时收到的利息；⑤债券价格（P），这个5个变量知道其中的任意四个都可以计算出另外一个变量，使用电子表格软件（如Excel、OpenOffice）很容易计算，一般是根据收益率求价格或根据价格求收益率。对于国债，违约的风险可以忽略不计，我们可以确定在到期前各个时段的现金流，我们只要用适当的贴现率计算各个现金流的现值并加总求和就可以得到目前该债券的价格。

该公式的前N项表示各个时间段所收到的利息的现值，最后一项表示到期日本金的现值，P表示在到期收益率为r的情况下该债券的价格。

上面的这个公式与下面的相同：