2014届高考数学文二轮专题突破：专题五 第1讲直线与圆

第1讲 直线与圆

【高考考情解读】 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．

1．直线方程的五种形式

(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．

(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．

(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括

坐标轴和平行于坐标轴的直线)．

(4)截距式：x a ＋y

b ＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、

平行于坐标轴和过原点的直线)．

(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系

当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.

提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式

(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2

(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为：Ax ＋By ＋C ＝0)．

(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|

A 2＋

B 2

(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．

提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.

(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.

考点一 直线的方程及应用

例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是

( )

A ．2x ＋y －12＝0

B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0

C ．x －2y －1＝0

D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0

(2)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2

B.823

C. 3

D.833

答案 (1)B (2)B

解析 (1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y

2a ＝1，

再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0. (2)由l 1∥l 2，

知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18， 求得a ＝－1，

所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2

3＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪

⎪6－2312

＋(－1)2＝82

3

.

(1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x

轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．

(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．

(1)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，

则k ＝

( )

A ．－3或－1

B ．3或1

C ．－3或1

D ．3或－1

(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________． 答案 (1)C (2)4x －3y －4＝0

解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0， 解得k 1＝－3，k 2＝1.∴k ＝－3或1.

(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α＝1

2

，

则tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

＝2×

121－(12)

2＝43， 所以所求直线方程为y －0＝4

3(x －1)，

即4x －3y －4＝0. 考点二 圆的方程及应用

例2 (1)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的

弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．

(2)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△P AB 面积的最大值是________．

答案 (1)x ＋y －3＝0 (2)3＋ 2

解析 (1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛

⎭⎪

⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4. ∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．

因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.