运筹学第三版之第四章目标规划
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运筹学课件目标规划
一 目标规划的数学模型
3 目标函数： 1 恰好达到目标：
minZ= f d +d+ 2 超过目标：
minZ= f d 3 不超过目标：
minZ= f d+
第四章
一 目标规划的数学模型 第四章
4 目标规划的目标：求一组决策变量的满意值;使 决策结果与给定目标总偏差最小
① 目标函数中只有偏差变量 ② 目标函数总是求偏差变量最小 ③ Z=0：各级目标均已达到
④
d4+
X2 =30
F
B
30 A d1+
d2- X1+X2 =50
X1
X1+X2 =40
1 满足目标① ②的满意域为ABCD
2 先考虑③的满意域为ABEF 再考虑④;无公共满意域
(3)、取E
X1+X2=50 X1=24
E(24,26) 获利2960
4 Zmin =d4 =30 X2 + d4+=3026=4>0
6x1+4x2 =240
2x1+3x2 =120 C
10
d2-
E
B
O 10 d3-
A d1+
x1
第四章
二 目标规划的图解法 第四章
分析：满足P1;部分满足P2的点有A;B;C;D 如果不考虑A;B产品均需生产 由解方程可得：A40;0; B60;0
C24;24; D0;60 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1 + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+
另一种差别是相对的;这些目标具有相同的优先因 子;它们的重要程度可用权系数的不同来表示
运筹学课件：第4章 目标规划-第4,5节
案的10%； • P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4； • P6——给B1和B3的供应率要相同； • P7——力求总运费最省。 • 试求满意的调运方案。
表4-10
销 地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
5
2
6
7
300
A2
3
5
4
6
200
A3
4
5
2
3
400
销量
200 100 450 250 900/1000
• 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
• x11+x21+x31+d6--d6+=200×0.8 • x12+x22+x32+d7--d7+=100×0.8 • x13+x23+x33+d8--d8+=450×0.8 • x14+x24+x34+d9--d9+=250×0.8
调运方案的总运费不超过最小运 费调运方案的10%
参考答案
min
f
P1d1
P2
d
2
100x1 50x2
10
x1
16x2
d
d1
2
d
d1 1900
2
200
11x1 3x2 x3 25
x1,
x2 ,
x3
,
d1
,
d1
,
d
2
,
d
2
0
• P112 4.4 (2)
表4-10
销 地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
5
2
6
7
300
A2
3
5
4
6
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A3
4
5
2
3
400
销量
200 100 450 250 900/1000
• 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
• x11+x21+x31+d6--d6+=200×0.8 • x12+x22+x32+d7--d7+=100×0.8 • x13+x23+x33+d8--d8+=450×0.8 • x14+x24+x34+d9--d9+=250×0.8
调运方案的总运费不超过最小运 费调运方案的10%
参考答案
min
f
P1d1
P2
d
2
100x1 50x2
10
x1
16x2
d
d1
2
d
d1 1900
2
200
11x1 3x2 x3 25
x1,
x2 ,
x3
,
d1
,
d1
,
d
2
,
d
2
0
• P112 4.4 (2)
运筹学 第四章
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标 数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目标决策问题：多目标决策问题是由法 国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政 治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转 化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的 是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损 害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实 质上是恰如其分的折中、妥协）。
产
A B
品
耗 电 量
（Kw / 单位产品）
材料消耗
（t / 单位产品）
利 润
1 2
10 12
2 1
解：设x1、 x2分别表示A、B两种产品的日产量。
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
min{P ( d d ), P2 ( d )} 1 10x1 12x2 d1 d1 62.5 x1 2 x2 d 2 d 2 10 2 x1 x2 8 x , d , d 0 i 1,2 i i i
6
5
x1+2x2 + d1- - d1+ =10 d1- =0; d1+ >0 2x2 = - x1 + 10 – d1- + d1+ d1- =0; d1+ =0
4
3
2
1
d1+ =0; d1- >0
d1-
d1+ x1+2x2=10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第 一 节 目标规划问题及其数学模型
例4-1 某车间计划生产A、B两种产品。决策者 首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额 指标62.5kW /日，然后考虑完成与超额完成利 润指标10元/日。每日可给车间供应所需原材料 8t。有关数据汇总于下表，应当如何安排产品 A、B的产量。
运筹学第四章目标规划
min Ζ=P1d3++P2d4 ¯+P3(6d1 ¯+5d2 ¯) +P4d11++P5d5++P6(6d1++5d2+)
s.t 2x1+4x2+d1 ¯-d1+=2400 2.5x1+1.5x2+d2 ¯-d2+=2800 8x1+15x2+d3 ¯-d3+=23000 x1 +d4 ¯-d4+=1500 x2 +d5 ¯-d5+=1000 d1++d11 ¯-d11+=30 x1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,1 10 P1 0 P2 0 P3 -75 P4 -10
x1 x2 d2- d2+ d3- d3+ d11- d11+ 0 1 1 0 -1 0 1 -1 10 00 10 0 0 0 0 -1 0 1 1 –1 1 0 0 0 1 0 0 1 –1 00 10 0 0 0 0 00 00 0 0 0 1 0 0 3 0 2 0 3 -3 0 0 0 1 0 0 –1 +1
解目标规划的计算步骤：
(1).建立初始单纯形表，在表中将检验数 行按优先因子分别列成k行，设k=1；
(2).检查该行中是否存在负数，且对应的 前k-1行的系数是零，若取其中最小者对应的 变量为换入变量，转(3)，若无负数，则转(5)。
(3).按最小比值规则确定换出变量，当存 在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量；
如果某一个Ri已退化为一点，则计算亦 应终止，这一点亦即为最优解，它只能满足
运筹学胡运权第三版第四章目标规划
第三十八页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十一页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十二页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十三页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十四页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十五页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十六页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十七页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十四页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十五页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十六页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十七页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十八页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二十九页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三十页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第一页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第二页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第三页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第四页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第五页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第六页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第七页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第八页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第九页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十页，编辑于星期三：九点 二十七分，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十三页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十四页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十五页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十六页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十七页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十八页，编辑于星期三：九点 二十七分。
第十九页，编辑于星期三：九点 二十七分。
运筹学讲义_4目标规划
（1） 根据市场预测，产品 A 的销路不是太好，应尽可能少生产；
（2） 产品 B 的销路较好，应尽可能多生产。 这样建立的数学模型为：
max z1 = 4x1 + 3x2
min z2 = x1
max z3 = x2
s.t.ïíì32xx11
+ 3x2 + 2x2
£ £
24 26
ïî x1, x2 ³ 0
min z = f (d - ,d + ) ,
即达成函数是正、负偏差变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每种要求，可分别构造达成函 数：
1) 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时目标函数
min z = f (d - + d + ) 。
2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时目标函
现。
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足 P1 级目标的解；然后再保证 P1 级目标不 被破坏的前提下，再要求满足 P2 级目标的解；…依次类推。总之，是在不破坏上一级目标的前
提下，实现下一级目标的最优。因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称之
为“满意解”。
以上介绍的几个基本概念，实际上就是建立目标规划模型时必须分析的几个要素，把这些 要素分析清楚了，目标规划的模型也就建立起来了。请看下面的例子。
数 min z = f (d + ) 。
3) 要 求 超 过 目 标 值 ， 超 过 量 不 限 ， 但 负 偏 差 变 量 要 尽 可 能 地 小 ， 这 时 目 标 函 数
min z = f (d - ) 。
5.满意解
运筹学第四章目标规划
目标规划
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
500
400
X
2
100
200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
500
400
X
2
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200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
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运筹学第四章多目标规划
习题四4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题（1） min z ＝p 1（ d 1 ＋ d 2 ）＋p 2 d 3st.－x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋ 1＝1－＋ －0.5x 1＋ x 2 ＋ d 2－d 2 ＝2－＋3x 1＋3x 2 ＋ d 3 － d 3＝50x 1，x 2≥0；d － i ，d ＋i ≥0（i =1 ，2，3）（2） min z ＝ p 1（ 2 d 1 ＋3 d 2 ）＋ p 2 d 3 ＋ p 3 d 4st.x 1＋ x 2＋d －1－d＋1＝10x 1＋d － 2－d ＋2 ＝45x 1＋ 3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56 x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（ i =1 ，⋯， 4）4.2 考虑下述目标规划问题＋＋－－－min z ＝p 1（d 1＋d 2）＋ 2p 2d 4＋p 2d 3＋p 3d 1 st. x 1＋d － 1－d ＋1＝ 20x 2＋d －2 －d ＋2 ＝35 －5x 1＋3x 2＋ d － 3－d ＋ 3＝220x 1－ x 2＋ d －4－d ＋4＝60x 1，x 2≥－＋≥0（ i =1 ，⋯， 4）0；d i ，di（ 1）求满意解；（ 2）当第二个约束右端项由 35 改为 75 时，求解的变化；（ 3）若增加一个新的目标约束： － 4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝ 8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化；（ 4）若增加一个新的变量 x 3，其系数列向量为（ 0，1， 1，－ 1）T ，则满意解如何变化？4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。
依据法律，该台每天允许广播 12 小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入 250 美元，新闻节目每小时需支出40 美元，音乐节目每播一小时费用为17.50 美元。
运筹学第四章目标规划-精品文档
• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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Page:7
1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
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Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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Page:9
3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
运筹学第四章多目标规划
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.221. 7.2Frid ay , July 02, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:46:4423 :46:442 3:467/2 /2021 11:46:44 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.223:4 6:4423:46Jul-2 12-Jul- 21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:46:4423:4 6:4423:46Friday , July 02, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.221.7.22 3:46:44 23:46:4 4July 2, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 2日星 期五下 午11时4 6分44 秒23:46:4421.7. 2 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午11时 46分21 .7.223:46July 2, 2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月2 日星期 五11时4 6分44 秒23:46:442 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时4 6分44 秒下午1 1时46 分23:46:4421.7. 2
运筹学第三版清华大学出版社第4章目标规划
解：作图如下 在满足前两个目标下, 只能在HE连线上
（4）目标规划的目标函效．
目标规划的目标函数是通过各目标约束的 正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造 的．
目标规划模型
2. 目标规划模型的基本概念 （续）
决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏 离目标的数值。于是，目标规划的目标函数 应该是求极小：min f ＝ f （d +，d -)． 其基本形式有三种：
目标规划的几何意义及图解法
x 20 15 10 5 0 5 10 A(3,8) + + + G-2 G-1 +
G-3
15
G-4
20 y
图4 – 4
目标规划的图解法 1) 首先作出绝对约束的直线和区域； 2) 其次作出目标等式约束的直线(去掉正负偏差量)； 3) 对于2)所作的直线两侧标上正负偏差量的方向； 4) 根据目标函数中的优先级和权重, 依次确定各偏差量. 下面求解： min z P d P (d d ) P d
第
4
章
目 标 规 划
第4章 目标规划
在科学研究、经济建设和生产实践中，人 们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题， 我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多 目标规划叫目标规划(goal programming)，这 是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标 规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是 对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处 理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。 本章分目标规划模型、目标规划的几何意义 与图解法和求解目标规划的单纯形方法等三个部 分进行介绍。
（LGP）中的第二行是K个目标约束，第三行是 m个绝对约束，ckj 和gk 是目标参数。
运筹学胡运权第三版第四章目标规划
产品 原材料（kg/件） 设备工时（h/件） 利润（元/件） Ⅰ 5 4 6 Ⅱ 10 4 8 限量 60 40
max z 6 x1 8 x2 5 x1 10 x2 60 s.t. 4 x1 4 x2 40 x1 , x2 0
解得，最优解x1=8，x2=2，max z=64（元）
在单纯形表Ⅲ中，由于非基变量d1+和d3+的检验数都是 零，故知例4-4有多重最优解(满意解)。
以d1+为换入变量继续迭代，可得如下单纯形表Ⅳ
cj→ CB 0 P1 0 xB x3 x1 d2d 1+ b 20 8 4 8 P1 cj-zj P2 P3 0 x1 0 1 0 0 0 0 0 0 x2 10/3 4/3 -4/3 10/3 0 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 0 0 P1 d10 0 0 -1 1 0 0 0 d1+ 0 0 0 1 0 0 0 0 d20 0 1 0 0 0 0 P2 d 2+ 0 0 -1 0 0 1 0 P3 d3-5/6 1/6 -2/3 1/6 0 0 1 0 d 3+ 5/6 -1/6 2/3 -1/6 0 0 0
第四章 目标规划
Operational Research ( OR )
本章 内容
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 目标规划的灵敏度分析 目标规划应用举例
例4-1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设
目 标 规 划 问 题 的 导 出
备工时的限制。在单件利润等有关数据已知上网 条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具 体数据如下：
目 标划的目标函数
目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量及 相应的优先因子和权系数构成。当每一目标值确定 后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此 目标规划的目标函数只能是极小化minz =f(d+，d-)。 三种基本表达式： ①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽 可能地小 min{f(d++d-)} 或者 minz = f(d++d-) ②要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是 正偏差变量要尽可能地小 min{f(d+)} 或者 minz = f(d+) ③要求不低于目标值，但允许超过目标值，即超过 量不限，但是必须是负偏差变量要尽可能地小 min{f(d-)} 或者 minz = f(d-)
max z 6 x1 8 x2 5 x1 10 x2 60 s.t. 4 x1 4 x2 40 x1 , x2 0
解得，最优解x1=8，x2=2，max z=64（元）
在单纯形表Ⅲ中，由于非基变量d1+和d3+的检验数都是 零，故知例4-4有多重最优解(满意解)。
以d1+为换入变量继续迭代，可得如下单纯形表Ⅳ
cj→ CB 0 P1 0 xB x3 x1 d2d 1+ b 20 8 4 8 P1 cj-zj P2 P3 0 x1 0 1 0 0 0 0 0 0 x2 10/3 4/3 -4/3 10/3 0 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 0 0 P1 d10 0 0 -1 1 0 0 0 d1+ 0 0 0 1 0 0 0 0 d20 0 1 0 0 0 0 P2 d 2+ 0 0 -1 0 0 1 0 P3 d3-5/6 1/6 -2/3 1/6 0 0 1 0 d 3+ 5/6 -1/6 2/3 -1/6 0 0 0
第四章 目标规划
Operational Research ( OR )
本章 内容
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解法 解目标规划的单纯形法 目标规划的灵敏度分析 目标规划应用举例
例4-1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设
目 标 规 划 问 题 的 导 出
备工时的限制。在单件利润等有关数据已知上网 条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具 体数据如下：
目 标划的目标函数
目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量及 相应的优先因子和权系数构成。当每一目标值确定 后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此 目标规划的目标函数只能是极小化minz =f(d+，d-)。 三种基本表达式： ①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽 可能地小 min{f(d++d-)} 或者 minz = f(d++d-) ②要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是 正偏差变量要尽可能地小 min{f(d+)} 或者 minz = f(d+) ③要求不低于目标值，但允许超过目标值，即超过 量不限，但是必须是负偏差变量要尽可能地小 min{f(d-)} 或者 minz = f(d-)
运筹学4目标规划
2019/3/10
由于西蒙教授对现代经济管理的决策科学进行了开创性的研究， 荣获了1978年诺贝尔经济学奖。 他提出满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多。从而现代 管理决策所追求的不是绝对意义下的最优解，而是相对意义下的满 意解。 目标规划的有关概念和模型最早在１９６１年由美国学者Ａ.查 恩斯和Ｗ.库伯在他们合著的《管理模型和线性规划的工业应用》一 书中提出，以后这种模型又先后经尤吉 · 艾吉里、杰斯基莱恩和桑 . 李不断完善改进。１９７６年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩 展》一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法。 下面通过例子来具体说明什么是目标规划以及它和线性规划的 区别。
x2
(e)
6
满意解 (3,3)
(c) d1 d1-
+
d3+ d3-
(a)
d2-
4 x2 2 x1 3 x 2 d 1 d 1 x1 x 2 d 2 d 2 2 x 2 x d d 2 3 3 1 x1 2 x 2 d 4 d 4 (d ) x1 , x 2 d i , d i
1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
2019/3/10
【例4.2】(教材P109) （１） 不超过年工资总额60000元； （２） 每级人数不超过定编人数； （３） Ⅱ、Ⅲ级的升级面到达或超过现有人数的20％ ； （４） Ⅲ级不足人数可录用新职工，Ⅰ级职工有10％ 退休，退休工资由社会发放。 等级 工资（元/人· 年） 现有人数 定编人数
d d 9＋ x1＋ 2 2 12 12－ x1＋ x2＋d3 d3 15 d4 d4
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
运筹学第四章 目标规划
(1)首先,根据市场信息,椅子的销售量已 )首先,根据市场信息, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 其产量最好不大于桌子的产量. 其产量最好不大于桌子的产量. (2)其次,市场上找不到符合生产质量要求 )其次, 的木工了, 的木工了,因此决不可能考虑增加木工这种资 源来增加产量, 源来增加产量,并且由于某种原因木工决不可 能加班. 能加班. (3)再其次,应尽可能充分利用油漆工的有 )再其次, 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. (4)最后,企业考虑最好达到并超过预计利 )最后, 润指标 56元. 元
4.目标规划的目标函数. .目标规划的目标函数. 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的. 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的.当 每一目标值确定后, 每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能从某 个方向缩小偏离目标的数值.于是, 个方向缩小偏离目标的数值.于是,目标规划的 目标函数应该是求极小: 目标函数应该是求极小:min f = f (d +,d -). . 其基本形式有三种: 其基本形式有三种: (1)要求恰好达到目标值,即使相应目标约束 )要求恰好达到目标值, 的正,负偏差变量都要尽可能地小. 的正,负偏差变量都要尽可能地小.这时取 min (d + + d - ); ; (2)要求不超过目标值,即使相应目标约束的 )要求不超过目标值, 正偏差变量要尽可能地小. 正偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d + ); ; (3)要求不低于目标值,即使相应目标约束的 )要求不低于目标值, 负偏差变量要尽可能地小. 负偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d - ); ;
运筹学第三版之第四章目标规划
,K)
j1
n
aij x j (, )bi
(i 1, 2, , m)
j1
x
j
0
(j
1,2,
, n)
,d
k
,
d
k
0
(k 1, 2,
,K)
（二）、建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目 标值，列出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束 转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差 变量和减去正偏差变量即可。
d
3
x1 x1
x2
d
1
d1
0
2 x2
d
2
d
2
10
8 x1
10 x2
d
3
d
3
56
2 x1 x2
11
x12
0,
d
j
.
d
j
0
(j
1.2.3)
C D
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d1
8 x1
例2、已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现
有下列目标：
第四章运筹学目标规划
− 1 1 − 2 − 3 + 3 1
400 240 − x1入基，θ = min , = 240, d 2 出基。 1 1
0 0
C B xB
p1 d1− 400 1 p2 d 2− 240 1 2 p2 d3− 300 0
cj − zj
p1
1 0 0 0 0 0
p3
-1 0 0 1 0 1
例5 图解法求目标规划的满意解
+ − min f (d ) = p1d1− + p2 d 2 + 4 p3 d 3− + 3 p3 d 4
x2
d1−
+ d4
d1+
A
2 x1 + 1.5 x2 + d1− − d1+ = 210 − + x1 + d 2 − d 2 = 60 + d 3− − d 3+ = 40 x1 − + x2 + d 4 − d 4 = 40 x1 , x2 , d i− , d i+ ≥ 0 i = 1,4
+ − −
注意 : d + , d −中, 至少有一个为零,即d + ⋅ d − = 0.
在例1中,根据目标要求A,B的产量为新的x1 , x2 . 由目标要求产生的”目标约束”如下:
3x1 + 2 x2 + d1− − d1+ = 2000 x1 + d − d = 400
− 2 + 2
资源现有量与产量间的关系如下:
例2 某工厂生产A,B两种产品,有关数据如下表
产品 消耗系数 资源
A
4 7 16 4
400 240 − x1入基，θ = min , = 240, d 2 出基。 1 1
0 0
C B xB
p1 d1− 400 1 p2 d 2− 240 1 2 p2 d3− 300 0
cj − zj
p1
1 0 0 0 0 0
p3
-1 0 0 1 0 1
例5 图解法求目标规划的满意解
+ − min f (d ) = p1d1− + p2 d 2 + 4 p3 d 3− + 3 p3 d 4
x2
d1−
+ d4
d1+
A
2 x1 + 1.5 x2 + d1− − d1+ = 210 − + x1 + d 2 − d 2 = 60 + d 3− − d 3+ = 40 x1 − + x2 + d 4 − d 4 = 40 x1 , x2 , d i− , d i+ ≥ 0 i = 1,4
+ − −
注意 : d + , d −中, 至少有一个为零,即d + ⋅ d − = 0.
在例1中,根据目标要求A,B的产量为新的x1 , x2 . 由目标要求产生的”目标约束”如下:
3x1 + 2 x2 + d1− − d1+ = 2000 x1 + d − d = 400
− 2 + 2
资源现有量与产量间的关系如下:
例2 某工厂生产A,B两种产品,有关数据如下表
产品 消耗系数 资源
A
4 7 16 4
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负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分,记为d-。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数， 模型如下：
min
Z
P1d1
P2
(
2.5d
3
d
4
)
P3d
2
30 x1 2 x1
12
x2 x2
d1 d
2
d1 d
⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。P1>>P2>>…>>Pi>>Pi+1>>…>>PL ,i=1,2,…,L 后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
58.3）成为可行方案。
练习：用图解法求解下列目标规划问题
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
例2、已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现
有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元；
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
e21
e22
cjm
xjm
bom
em1
em2
P1
α1
σ11
σ12
σkj
P2
α2
σ21
σ22
PK
αK
σm1
σm2
cn+2m xn+2m e1n+2m e2n+2m
emn+2m σ1n+2m σ2n+2m
σmn+2m
一、特点
1．目标函数： min 2．最优性判断： σj ≥0 时为最优 3．非基变量检验数的特殊性：
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的重 要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
目标规划 (Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
12 x2 x2
d1
d
2
d1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1
2
0,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
40
20
D
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。
检验：将上述结果带入模型，因 d1 ＝ d1＝0；
（二）、目标规划的基本概念
例题 线性规划模型为： maxZ = 8x1 + 10 x2
2x1 + x2 ≤11 ① x1 +2x2 ≤10 ② x1, x2≥0
X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严格满 足的等式或不等式，是绝对化的“硬约束”，此种 问题若要求太多时，很容易相互矛盾，得不到可行 解。如根据市场情况再加以下要求：
图解法解题步骤如下： 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件 （包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） 在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 负偏差变量值增大的方向；
3、求满足最高优先等级目标的解； 4、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高 优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解； 5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为 止； 6、确定最优解和满意解。
3、达成函数（即目标规划中的目标函数）
达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ = f（d＋,d－）。
一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要
尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。
⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是 正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。
含有不同等级的优先因子 P1, P2 ,…, Pk ; 又因 P1 >> P2 >> P3 >> … >> Pk ，所以检验数的正 负首先取决于P1 的系数的正负，若P1 的系数 为0，再由P2 的系数的正负决定检验数的正负，
然后依次类推。
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
⑵.如果某一个αk >0。说明第k个优先等级的目标尚未 达到,必须检查Pk这一行的检验数σkj(j=1.2…n+2m).若 Pk这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级） 没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转 到第3步；若Pk这一行全部负检验数的同列上面（较高 优先等级）都有正检验数，说明目标虽没达到，但已 不能改进，故得满意解，转到第6步。
d3
＝
d
3
＝0；
d
2
＝0，d2
存在；
d4
＝0，d
4
存在。所以，
有下式：
minZ=P3
d
2
将 x1＝60， x2 ＝58.3 带入约束条件，得
30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500； 2×60+58.3=178.3 > 140；
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
10 x2
d
3
d
3
56
2 x1 x2
11
x1
2
0,
d
j
.
d
j
0
(j
1.2.3)
d
2
d2
d3
⑷
d
3
⑶
⑵
结论：有无穷多最优解。C（2，4）D（10/3，10/3）
四、目标规划的单纯形法
（一）、一般形式：
Cj
c1
c2
CB
XB
b
x1
x2
cj1
xj1
bo1
e11
e12
cj2
xj2
bo2
（要求：d2- 和 d2+ 都尽可能小，最好等于0）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ =56
（要求：d3- 尽可能小，最好是0才能满足≥）
x1 , x2 , di- ,di+ ≥0
规划模型：
min Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1
x1
x2 d1 d1 0
2 x2
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d4
d
4
100
x1 ,
x2
0,
d
l
,
d
l
0
(l 1, 2, 3,4)
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d3
d
1
d1
BA
d
2
d2
C
d4 ⑷
d
4
min
Z
P1d1
P2
(
2.5d
3
d
4
)
P3d
2
30 2
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数， 模型如下：
min
Z
P1d1
P2
(
2.5d
3
d
4
)
P3d
2
30 x1 2 x1
12
x2 x2
d1 d
2
d1 d
⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。
对于由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即 可。
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表 示出来。P1>>P2>>…>>Pi>>Pi+1>>…>>PL ,i=1,2,…,L 后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
58.3）成为可行方案。
练习：用图解法求解下列目标规划问题
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
例2、已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现
有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元；
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
e21
e22
cjm
xjm
bom
em1
em2
P1
α1
σ11
σ12
σkj
P2
α2
σ21
σ22
PK
αK
σm1
σm2
cn+2m xn+2m e1n+2m e2n+2m
emn+2m σ1n+2m σ2n+2m
σmn+2m
一、特点
1．目标函数： min 2．最优性判断： σj ≥0 时为最优 3．非基变量检验数的特殊性：
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的重 要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
目标规划 (Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
12 x2 x2
d1
d
2
d1
d
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1
2
0,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
40
20
D
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。
检验：将上述结果带入模型，因 d1 ＝ d1＝0；
（二）、目标规划的基本概念
例题 线性规划模型为： maxZ = 8x1 + 10 x2
2x1 + x2 ≤11 ① x1 +2x2 ≤10 ② x1, x2≥0
X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严格满 足的等式或不等式，是绝对化的“硬约束”，此种 问题若要求太多时，很容易相互矛盾，得不到可行 解。如根据市场情况再加以下要求：
图解法解题步骤如下： 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件 （包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） 在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 负偏差变量值增大的方向；
3、求满足最高优先等级目标的解； 4、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高 优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解； 5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为 止； 6、确定最优解和满意解。
3、达成函数（即目标规划中的目标函数）
达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ = f（d＋,d－）。
一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要
尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。
⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是 正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。
含有不同等级的优先因子 P1, P2 ,…, Pk ; 又因 P1 >> P2 >> P3 >> … >> Pk ，所以检验数的正 负首先取决于P1 的系数的正负，若P1 的系数 为0，再由P2 的系数的正负决定检验数的正负，
然后依次类推。
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
⑵.如果某一个αk >0。说明第k个优先等级的目标尚未 达到,必须检查Pk这一行的检验数σkj(j=1.2…n+2m).若 Pk这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级） 没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转 到第3步；若Pk这一行全部负检验数的同列上面（较高 优先等级）都有正检验数，说明目标虽没达到，但已 不能改进，故得满意解，转到第6步。
d3
＝
d
3
＝0；
d
2
＝0，d2
存在；
d4
＝0，d
4
存在。所以，
有下式：
minZ=P3
d
2
将 x1＝60， x2 ＝58.3 带入约束条件，得
30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500； 2×60+58.3=178.3 > 140；
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
10 x2
d
3
d
3
56
2 x1 x2
11
x1
2
0,
d
j
.
d
j
0
(j
1.2.3)
d
2
d2
d3
⑷
d
3
⑶
⑵
结论：有无穷多最优解。C（2，4）D（10/3，10/3）
四、目标规划的单纯形法
（一）、一般形式：
Cj
c1
c2
CB
XB
b
x1
x2
cj1
xj1
bo1
e11
e12
cj2
xj2
bo2
（要求：d2- 和 d2+ 都尽可能小，最好等于0）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ =56
（要求：d3- 尽可能小，最好是0才能满足≥）
x1 , x2 , di- ,di+ ≥0
规划模型：
min Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1
x1
x2 d1 d1 0
2 x2
2
2500 140
x1
d
3
d
3
60
x2
d4
d
4
100
x1 ,
x2
0,
d
l
,
d
l
0
(l 1, 2, 3,4)
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d3
d
1
d1
BA
d
2
d2
C
d4 ⑷
d
4
min
Z
P1d1
P2
(
2.5d
3
d
4
)
P3d
2
30 2