测量程序设计_条件平差和间接平差

if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
V T PV min
目标函数对x求一阶导数，并令其为零
d (V T PV ) dV 2V T P 2V T PA 0 ˆ ˆ dx dx
转置后得到
AT PV 0
把误差方程代入上式后得到
ˆ AT PAx AT Pl 0
设
N A AT PA
U AT Pl
则法方程为
ˆ N A x U 0
由此求得参数改正数的唯一解为
ˆ x N A1U
将其代入误差方程，可求得改正数V，最后得到观测值得平差 值及参数的平差值分别为
ˆ L L V
ˆ ˆ X X0 x
精度评定 计算单位权中误差的公式为
V T PV ˆ 0 nt
按误差传播定律得参数的权逆阵为
QXX Qxx N A1 ˆˆ ˆˆ
由此得到参数函数的权逆阵为
QFF f T QXX f f T N A1 f ˆˆ ˆˆ
中误差为
ˆˆ ˆ F 0 QFˆF ˆ
改ห้องสมุดไป่ตู้数为
ˆ V Ax l ( ANA1 AT P I )l
QVV Q ANA1 AT
平差值及其协因数阵分别为
ˆ L L V
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
例 《误差理论与测量平差基础》P75 在下图中，Ａ、Ｂ为已知水准点，其高程为 HA=12.013m, HB = 10.013m, 可视为无误差。为了缺 点Ｃ及Ｄ点的高程，共观测了四个高差，高差观测值 及相应的水准路线的距离为： h1 = -1.004m, S1 = 2km; h2 = 1.516m, S2 = 1km;
测量程序设计
条件平差和间接平差
一、条件平差基本原理
Aˆ 函数模型 rn L A0 0 n1 r1
r1
AV W 0
随机模型
2 2 D 0 Q 0 P1
平差准则
V T PV min
条件平差就是在满足r个条件方程式条件下，求 使函数Ｖ‘ＰＶ最小的Ｖ值，满足此条件极值问题用 拉格朗日乘法可以求出满足条件的V值。
QLL QLL QLV QVL QVV ANA1 AT ˆˆ
二、水准网间接平差程序设计 例 教材P124， A和B是已知高程的水准点， 并设这些点已知高程无误差， C、D、E是待定点，A、B高程、 观测高差和相应的水准路线 长度见下表，试按间接平差 求各待定点的高程平差值；
B = [1 0; 0 1; 1 0; 0 1; -1 1; -1 0]
l = [0; 0; 4; 3; 7; 2] disp(‘C是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度’)
C = l*ones(1,6)
S = [1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0] P = C./S % 定义观测值的权， P = diag(P) % 定义权阵 disp(‘参数的解’) x = inv(B’*P*B)*B’*P*l disp(‘误差V(mm), 各待定点的高程平差值L1（m）’) V = B*x - l % 误差方程(mm) L1 = L + V/1000 % 观测值的平差值， disp(‘精度评定’) n = 6; % 观测值的个数 t = 2; % 必要观测数 delta = sqrt(V’*P*V/(n – t))
A w w P
= = = =
[1 1 1] sum(LL(:)) - pi dms2mat(rad2dms(w)) eye(3);
Naa = A*inv(P)*A' Ka = -inv(Naa)*w
V = A'*Ka
L1 = L + V LL = dms2rad(mat2dms(L1)) sumLL = sum(LL) if(sum(LL) == pi) disp(‘检核正确’) else disp(‘检核错误’) end
h4
B
D
h3
h3 = 2.512m, S3 = 2km;
h4 = 1.520m, S4 = 1.5km
A
h1
C
h2
试求Ｃ和Ｄ点高程的平差值。
clc clear h1 = -1.004; h2 = 1.516; h3 = 2.512; h4 = 1.520; HA = 12.013 HB = 10.013 h = [h1 h2 h3 h4]' s1 = 2; s2 = 1; s3 = 2; s4 = 1.5; s = [s1 s2 s3 s4]'
在一个控制网中，设有t个独立参数，将每一个观测值都表达 成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估 计值。 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独 立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为
~ L AX d
其中L为观测值，Δ为误差，或者表示为
~ AX l
ai , bi ,, ri (i 1,2,, n)
a0 , b0 ,, r0
条件方程系数
常数项
2、条件方程：
rn n1
ˆ A L A0 0
r1
r1
将
ˆ L L V
代入平差值条件方程中，得到
AV W 0
r1 n1 r1 r1
wa , wb ,, wr 为条件方程闭合差
例 《误差理论与测量平差基础》P74 设对下图中的三个内角作同精度观测，得观测值： L1=42o12’20’’，L2=78o09’09’’，L3=59o38’40’’，试按条 件平差求三个内角得平差值。
B L2
L1 A
L3 C
clc Disp(‘条件平差示例２’) Disp(‘三角形内角观测值’) L1 = [42 12 20] L2 = [78 9 9] L3 = [59 38 40] L = [L1; L2; L3] Disp(‘将角度单位由度分秒转换为弧度’) LL = dms2rad(mat2dms(L))
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
ˆ V Ax l
其中常数项为
l L ( AX 0 d )
由最小二乘准则，所求参数的改正数应该满足
1、平差值条件方程：
rn n1
ˆ A L A0 0
r1
r1
ˆ ˆ ˆ a1 L1 a2 L2 an Ln a0 0 ˆ ˆ ˆ b L b L b L b 0
1 1 2 2 n n 0


ˆ ˆ ˆ r1 L1 r2 L2 rn Ln r0 0
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
A = [1 1 -1 0; 0 1 0 -1] w1 = h1 + h2 - h3 + HA - HB; w2 = h2 - h4; w = [w1; w2] P = diag(1./s) Naa = A*inv(P)*A' Ka = -inv(Naa)*w V = inv(P)*A'*Ka H = h + V;
参数的中误差为
ˆ ˆ X 0 QX ˆ
j
jX j
ˆ
设参数的函数为
ˆ ˆ ˆ ˆ F f ( X1, X 2 ,, X t )
ˆ 以 X X 0 x 代入，并按泰勒级数展开，取一次项 ˆ
ˆ ˆ ˆ F f0 f1x1 ft xt
记为
ˆ ˆ ˆ F f1x1 ft xt f T x ˆ
C h1 h3 h7 h2 D h4 B h6 E
A
h5
线路编号
1 2 3 4 5 6 7
观测高差 （m）
+1.359 +2.009 +0.363 +1.012 +0.657 +0.238 -0.595
线路长度 （km）
1.1 1.7 2.3 2.7 2.4 1.4 2.6
已知高程 （m）
HA=5.016 HB=6.016
W AL A0
闭合差等于观测值减去其应有值。
3、改正数方程：
按求函数条件极值的方法引入常数
K ( k a , k b , , k r )T