第二节一阶线性微分方程

第二节 一阶线性微分方程

分布图示

★ 一阶线性微分方程及其解法 ★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7

★ 伯努利方程 ★ 例8 ★ 例9

★ 例10 ★ 例11

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6—2

内容要点

一、一阶线性微分方程

形如

)()(x Q y x P dx

dy =+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为

0)(=+y x P dx

dy (3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解

.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)

其中C 为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(⎰-=dx x P e x u y

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为

[]

⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)

二、伯努利方程：形如 n y x Q y x P dx

dy )()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .

伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以n

y ，得

),()(1x Q y x P dx dy y n n

=+-- 或

),()()(1111x Q y x P y n n n =+'⋅--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程

)()1()()1(x Q n z x P n dx

dz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解

.)1)(()()1()()1(1⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰

⎰----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n

例题选讲

一阶线性微分方程

例1（E01）求微分方程

xy dx dy 2=的通解.

解 分离变量得

xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰

=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C x e e e y ⋅±=±=+, 记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =

例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.

解 先合并dx 及dy 的各项, 得 dx y dy x y )1()1(2-=-

设 ,01,012≠-≠-x y 分离变量得

dx x dy y y 1112-=- 两端积分

⎰⎰-=-dx x dy y y 1112 得 ||ln |1|ln |1|ln 2

112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y

记,21C C ±= 则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.

例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.

解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:

⎪⎩⎪⎨⎧=--==100

|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解.

分离变量, 得

;20kdt T dT -=- 两边积分 ,201⎰

⎰-=-kdt dT T 得 1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)，

即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).

从而 ,20kt Ce T -+=

再将条件(2)代入,得,8020100=-=C 于是，所求规律为 .8020kt e T -+=

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

例4设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.

解 设降落伞下落速度为),(t v 降落伞下落时，同时收到重力P 与阻力R 的作用. 降落伞所受外力为 kv mg F -=

根据牛顿第二定律: αm F =,得到)(t v 满足微分方程

kv mg dt

dv m -= (1) 初始条件 .00==t v 将方程(1)分离变量得

m

dt kv mg dv =- 两边积分得

⎰⎰=-m dt kv mg dv