阶段性综合检测(六)选修一

阶段性综合检测(六)

(必做题部分：时间120分钟，满分160分)

、

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填 在题中横线上)

1．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是________． 解析：存在性命题的否定是全称命题． 答案：∀x ∈R ，x 2＋x >0

2．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为________．

解析：y ＝－2x 2化为x 2

＝－12

y ，∴焦点在y 轴负半轴上，

∴F (0，－1

8)．

答案：(0，－1

8

)

3．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝________.

解析：y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝

a ＋

b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧

3a ＋2b ＝0

a ＋

b ＝3

，a ＝－6，b ＝9，∴2a ＋b ＝－3.

答案：－3

4．下列命题中，是真命题的有________．

①∃x ∈[0，π

2

]，sin x ＋cos x ≥2；

②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1； ③∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1；

④∀x ∈(π

2

，π)，tan x >sin x .

解析：对于①，sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ∈[0，π2]，x ＋π4∈[π

4

，

3π

4

]，则0≤sin x ＋cos x ≤2，故①错；对于②，由x 2－2x －1>0解得x >1＋2或x <1－2，故当x ∈(3，＋∞)时，x 2>2x ＋1恒成立；对于

③，x 2

＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，故③错；对于④，当x ∈(π2

π)时，tan x <0，

sin x >0，故④错．

答案：②

5．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于________．

解析：由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.

答案：8

6．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是________．

解析：f ′(x )＝cos x －x sin x .取特殊值检验，当x ＝0时，f ′(x )＝cos x

－x sin x ＝1，排除③④，当x ＝π2时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0－π

2

<0，即

在[0，π]的中间处，f ′(x )<0，显然②不符合要求．

答案：①

7．(2010年无锡调研)“若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是________．

解析：命题“若p 则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，本题中“a ∉M 或a ∉P ”的否定是“a ∈M 且a ∈P ”．

答案：若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P

8．(2010济南市高三模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的焦点垂直于

x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2

b

21的离心率e 的值是________．

解析：据题意知椭圆通径长为12a ，故有2b 2a ＝12a ⇒a 2＝4b 2⇒b 2

a 2＝1

4

，

故相应双曲线的离心率e ＝

1＋(b a )2＝

1＋14＝52

.

答案：

52

9．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是________．

解析：f ′(x )＝1－1x ＝x －1

x

≤0，∴x ∈(0,1]．

答案：(0,1]

10．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则f (x )>g (x )(x ∈R )成立的充要条件是________．

①∃x 0∈R ，f (x 0)>g (x 0)

②有无穷多个x ∈R ，使得f (x )>g (x ) ③∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1

④R 中不存在x 使得f (x )≤g (x )

解析：由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x 都成立，所以对于①来说显然不成立；而对于②，无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于③，由③的条件∀x ∈R ，f (x )>g (x )＋1可以推导原结论f (x )>g (x )恒成立是显然的，即充分性成立，但f (x )>g (x )成立时不一定有f (x )>g (x )＋1，比如f (x )＝x 2＋0.5，g (x )＝x 2，因此必要性不成立；对于④，必要性显然成立，由R 中不存在x 使f (x )≤g (x )，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x ∈R 都有f (x )>g (x )，即充分性也成立．

答案：④

11．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距

离等于焦距的1

4

，则该双曲线的离心率是________．

解析：取焦点(c,0)，渐近线bx ＋ay ＝0，则有bc a 2＋b 2＝1

42c ，整理

得4b 2＝a 2＋b 2，∴3c 2＝4a 2，解得e ＝23

3

.

答案：233

12．(2010年南京调研)如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.

解析：∵切线方程与y ＝f (x )交于点P (5，y 0)，