高中数学 函数的单调性课件

讨论一般性
y
y
o
x
o
x
y=kx+b (k>0)
y=kx+b (k<0)
问题：
1、当k变化时函数的单调性有何变化？
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2、当b变化时函数的单调性有何变化？ 研修班
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例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象 并指出它的的单调区间．
2+ 2 fx = x
∞,+∞) 上，随着x的增大，f(x)的值随 2、在区间 (________ 2018/7/25 5 研修班 着 ______ 增大 ．
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
∞,0]上， f(x) 的值随着 x 的增大而 1 、在区间 (____ 减小 ． ______ 2、 在区间 (0,+∞) _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 增大 _____ ． 2018/7/25 6 研修班
定号
即
k 所以，函数 p V , V (0,)是减函数. 2018/7/25 研修班
p(V2 ) p(V1 )
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
结论 14
三．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 变形（通常是因式分解和配方）；
4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．Baidu Nhomakorabea
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思考？
思考：画出反比例函数的图象．
1 这个函数的定义域是什么？
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你 的结论．
b - ， - 在 2a
在(o y x x
∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
b , 在 2a
o
y o
o
y o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
增函数 b x 在 - - ， 2a 减函数
f ( x2 ) x ，当x1 x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )，这时我
2 2 2
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一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间 D上是增函数． 研修班 2018/7/25 8
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二．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
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y
o y x x
y
在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
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3
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
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画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
2018/7/25 13 研修班 [3,5] 上是增函数。 在区间[-2,1),
我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。
k 例2、物理学中的玻意耳定律 p V (k为正常数 ) 告诉
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值 (0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 V2 V1 k k 作差 p(V1 ) p(V2 ) k 变形 V1 V2 VV 1 2 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 又k>0,于是 p(V1 ) p(V2 ) 0
1.3.1-1《函数的单调性》
教师：
1.3.1-1《函数的单调性》
1.2.2《函数的表示法》
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教学目的
• （1）通过已学过的函数特别是二
次函数，理解函数的单调性及其几 何意义； • （2）学会运用函数图象理解和研 究函数的性质； • （3）能够熟练应用定义判断数在 某区间上的的单调性． • 教学重点：函数的单调性及其几何
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
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注意：
1 、函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质，是函数的局部性质； 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … x f(x)=x2 … 1 9 4 1 0 1 4 9 16 … 6
在区间0， 上任取两个x1 , x2，得到f ( x1 ) x12 ,
研修班 0 们就说函数f ( x) x 在区间 ， 上是增函数. 2018/7/25
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五、作业
1． 书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第3、 4题．
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证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数， 且x1<x2，则 1 1 x2 x1 f(x1)- f(x2)= x1 x2 x1 x2 由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2 得x2-x1>0 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2) 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
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例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数，
取值
作差 变形
定号
判断
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讨论
1、法二：作商的方法
f x1 由x1<x2时， f x2
y
大于或小
o
1 f x x
x
于1来比较f(x1)与f(x2) 的 大小，最后得出结论。
2、由图象知：函数在 ,上不具有单调性。
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x +3
8
6
4
2
-1 0
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
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四、归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
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