张量分析中文翻译

张量

张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性

关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、

叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可

以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩）

表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例

如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该

阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示，

所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。

张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例

如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。

张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史

现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的

制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在

1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。

[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。

“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。

在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915

年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。

“我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。

柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩

阵：

312()()()111213212223313233

T T T =e e e σσσσσσσσσσ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

该矩阵的各列表示作用在

e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

在其他领域中，张量同样被认为是一种很实用的数学方法，如连续介质力学。在微分几何中有一些著名的例子是用二次型表示的，如度量张量和黎曼曲率张量。十九世纪中叶赫尔曼·格拉斯曼的外代数本身就是一个张量理论，具有很强的几何特性，但此前很长一段时间，人们很自然地认为微分形式包含张量理论。卡尔丹·埃利的工作指出微分形式只是张量在数学运算中的一种基本形式。

大约从20世纪20年代起，人们认识到，张量发挥（在Künneth 定理为例）在代数拓扑中的基础性作用。[需要的引证]相应地有型张量的工作在抽象代数的许多分支，特别是在同调代数和表示论。多线性代数可以开发更大的通用性比标量从外地来的，但理论是那么肯定少了几何，和计算更多的技术和算法少(澄清需要)张量是由monoidal 概念的手段范畴理论中广义类别，从20世纪60年代。 定义

有几种方法来定义张量。虽然看似不同，但各种方法只是使用不同的语言在不同的抽象层次来描述相同的几何概念。

多维数组

如同一个标量是由一个单一的数字来表述，一个给定基准的矢量是由一维数组表述的，相应地，一个基准下的任意张量都由多维数组表述。数组中的数字是张量中的标量部分或者其本身。他们是由上标，下标以及张量名称的后缀所表示位置的指数来表示的。每个部分的指数总和必须等于数组的维数，并称之为张量的行数或秩[注2]例如，一个2阶张量T 的条目将被记T ij ，其中i 和j 是从1到相关的向量空间的维数指标[注3]。

当改变向量空间进行基变换时，向量的元素也会随之改变。与此相似，在类似的变换下，张量的阶数也将改变。每一个张量都有相应的变换法则，通过变换法则可以得知张量的元素如何反映张量的基变换。一个向量的元素可以通过两种

不同的方法来反映基变换（见协方差矢量和逆变矢量），其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量

变换得到，

其中R i j 是一个矩阵，在第二个表达式中求和符号被取消（爱因斯坦引入的方便的记数方法将在这篇文章中使用）。行向量（或列向量）v 中的元素v i 通过矩阵R 的逆矩阵变换，

这里的指数表示在新的基础上的组件。而组件covector （或行向量），W 与矩阵R 本身变换。

i

j j w R w ∧=

张量元素的变换和矩阵各元素的变换相似。如果向量的指数变换是基变换的逆变换，这种情况成为逆变，这里通常指的是上标指数，而指数只随着基变换的情形称为协变，这里的指数是下标指数。逆变指数为m 的n 阶张量与m-n 协变

指数之间的变换规律如下：

11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m

i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++⋅⋅⋅∧⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（） 这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般

定义。

定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即：

对于基f=(e 1,...,e N )是如此，如果应用如下基变换

多维阵列变成“协变”规律形式

11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ]n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）

多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。

张量场

在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。

本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，

“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示，

，定义如下坐标变换

多线性映射

有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。

copies copies :,

n m T V V V V R **⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯→

式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。

通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即：

1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡⋅⋅⋅⋅⋅⋅