3、平面解析几何之圆锥曲线之曲线与方程部分(教师版)

曲线与方程部分

一：曲线与方程的概念

1、曲线的方程与方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2、两个必会条件

(1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0.

(2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

3、针对训练题

1．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()

A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0

C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上

D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0

答案D

解析命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”

和“有的在，有的不在”两种情况，故A ，C 错误，而B 显然错误，选D.

2．方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( )

A ．一条直线和一个圆

B ．一条直线和半个圆

C ．两条射线和一个圆

D ．一条线段和半个圆

[解析] 由题意方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0可化为x 2＋y 2－9＝0或x ＋y －2＝0(x 2＋y 2－9≥0)，

∴方程(x ＋y －2)

x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是两条射线和一个圆．故选C. [答案] C

3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )

A ．直线2x －y ＝0

B ．直线2x ＋y ＋3＝0

C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0

D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0

答案 C

解析 ∴4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， ∴原方程表示直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0.

4．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )

A ．两个点

B ．四个点

C ．两条直线

D ．四条直线

答案 B

解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝±2，y ＝±2，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，y ＝－2.

5．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )

A ．一个点

B ．一条直线

C ．两条直线

D ．一个点和一条直线

答案 C

解析 由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．

6．已知a ，b 为任意实数，若点(a ，b )在曲线f (x ，y )＝0上，且点(b ，a )也在曲线f (x ，y )＝0上，则f (x ，y )＝0的几何特征是( )

A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于直线y ＝x 对称

答案 D

解析 依题意，点(a ，b )与点(b ，a )都在曲线f (x ，y )＝0上，而两点关于直线y ＝x 对称．故选D.

7．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )

A ．双曲线的一部分

B.椭圆的一部分 C ．圆的一部分

D.直线的一部分

[解析] x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．

[答案] B

8．曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()

A．f(x－3，y)＝0 B．f(y＋3，x)＝0

C．f(y－3，x＋3)＝0 D．f(y＋3，x－3)＝0

答案D

解析在对称曲线上任选一点(x，y)，则它关于x－y－3＝0对称的点为(y＋3，x－3)．故所求曲线方程为f(y＋3，x－3)＝0.

9．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形面积为________．

答案8

解析由|y－1|＝2－|x＋1|≤2得－2≤y－1≤2，故－1≤y≤3.

(1)当－1≤y≤1时，原方程可化为y＝|x＋1|－1，其图象可由y＝|x|先向左平移1个单位，再向下平移一个单位得到；

(2)当1

综合(1)(2)作出方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线如图所示，易求其围成的面积为8.

二：求曲线方程的方法

1、求曲线方程的一般步骤

(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)，表示曲线上任意一点M的坐标；

(2) 写出适合条件p的点M的集合P＝{M | p(M)}；

(3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．