圆周运动问题分析

圆周运动问题分析

【专题分析】

圆周运动问题是高考中频繁考查的一种题型，这种运动形式涉及到了受力分析、牛顿运动定律、天体运动、能量关系、电场、磁场等知识，甚至连原子核的衰变也可以与圆周运动结合<衰变后在磁场中做圆周运动）。可见，圆周运动一直受到命题人员的厚爱是有一定原因的。

不论圆周运动题目到底和什么知识相联系，我们都可以把它们分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种。同时，也可以把常用的解题方法归结为两条。

1、匀速圆周运动

匀速圆周运动的规律非常简单，就是物体受到的合外力提供向心力。只要受力分析找到合外力，再写出向心力的表达式就可解决问题。

2、竖直面内的非匀速圆周运动

物理情景：在重力作用下做变速运动，最高点速度最小，最低点速度最大，所以最高点不容易通过。

特点：在最高点和最低点都满足“合外力等于向心力”，

其他位置满足“半径方向的合外力等于向心力”，

整个过程中机械能守恒。

注意：上面所述“半径方向的合外力等于向心力”实际上适用于一切情况。

另外，涉及的题目可能不仅仅是重力改变速率，可能还有电场力作用，此时，应能找出转动过程中的速率最大的位置和速率最小的位置。

基本解题方法：

1、涉及受力，使用向心力方程；

2、涉及速度，使用机械能守恒定律或动能定理。

【题型讲解】

题型一匀速圆周运动问题

例题1：如图所示，两小球A、B在一漏斗形的光滑容器的内壁做匀速圆周运动，容器的中轴竖直，小球的运动平面为水平面，若两小球的质量相同，圆周半径关系为r A>r B，则两小球运动过程中的线速度、角速度、周期以及向心力、支持力的关系如何？<只比较大小）

解读：题目中两个小球都在做匀速圆周运动，其向心力由合外力提供，由受力分析可知，重力与支持力的合力提供向心力，如图3-2-

2所示，由几何关系，两小球运动的向心力相等，所受支持力相等。

两小球圆周运动的向心力相等，半径关系为r A>r B，

由公式，可得v A>v B；

由公式，可得ωA<ωB；

A

B

图3-2-1 A

B

图3-2-2

由公式，可得T A >T B ；

［变式训练］如图3-3-3所示，三条长度不同的轻绳分别悬挂三个小球A 、B 、C ，轻绳的另一端都固定于天花板上的P 点。令三个小球以悬点下方的O 点为圆心，在水平面内做匀速圆周运动。则三个小球摆动周期的关系如何？<答案：

）

[思考与总结]

题型二 重力作用下的竖直面内的圆周运动

例题2：用一根长为L 的轻绳将质量为m 的小球悬挂在O 点，使小球处于静止状态，现在最低点给小球一个水平向右的冲量I 0，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量I 0应满足什么条件？解读：小球受到水平冲量后，获得水平向右的速度，之后小球在竖直面内运动，且绳上始终有拉力，包括两种情况。第一种情况：小球做完整的圆周运动，即小球可以通过最高点。

在最高点，由向心力方程

，

可知

小球由最低点运动到最高点的过程中，由动能定理

在小球受到瞬时冲量时，由动量定理

由以上三式可得

第二种情况：小球做不完整的圆周运动，由于绳子不能松弛，所以只能在O 点下方来回摆动，其最高点不能超过O 点，并且不能包括O 点，因为刚好摆到O 点时，小球速率为零，由向心力方程

可知，拉力为零。小球在O 点下方摆动。刚好能摆到与O 点等高时，由动能定理

在小球受到瞬时冲量时，由动量定理

由以上两式可得

A B C

O

图3-2-3

因此，冲量I 0应满足的条件为或。

［变式训练］内侧光滑的3/4圆弧轨道AB 竖直放置，半径为R ，如图3-2-4所示。一小球自A 点正上方由静止释放。为使小球由A 点进入轨道后能到达B 点，小球下落的高度h 至少为多少？ (答案：h =1.5R > [思考与总结]

题型三 天体的圆周运动

例题3：<06广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等

的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为。<1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

<2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解读：<1）第一种形式下，三星共线，中央星不动，边缘星受到其它两星的万有引力做圆周运动。由万有引力定律和牛顿第二定律，得：

<2）第二种形式下，三颗星组成等边三角形，转动的圆心在三角形的中心，向心力由其它两星对其的合力提供，如图3-2-5所示。设三角形的边长为l ，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：°＝

星体之间的距离为：

［变式训练］我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的

A

B R

O h 图3-2-4

图3-2-5

，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的错误!，月球的半径约为地球半径的错误!，地球上的第一宇宙速度约为7.9km /s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为 [ ]

A ．0.4km/s

B ．1.8km/s

C ．11km/s

D ．36km/s

(答案：B> [思考与总结]

题型四 电场中的圆周运动

例题4：竖直面内有一光滑圆环轨道，轨道半径为R ，处于水平向右的匀强电场中。一质量为m 带+q 电量的小球以初速度v 0由圆环最低点开始运动，如图所示。若小球所受电场力为重力的0.75倍。求：若令小球能做完整的圆周运动，则小球的初速度v 0的最小值为多少？运动过程中速度的最小值为多少？解读：

小球在运动过程中，同时受到重力和电场力作用，当两力的合力与小球所在位置对应的半径共线时，其运动的速度为最大值或最小值，如图3-2-7所示，小球在B 点速度最小。所以小球能做完整的圆周运动，需要能够过B 点。电场力为重力的0.75倍，由几何关系可知θ=37°。当小球刚好能经过B 点时，环对小球的弹力为零，有

此时小球在最低点所需的速度v 0为最小值，对小球从最低点运动到B 点应用动能定理

两式联立可得

［变式训练］如图3-2-8所示，由长度为L 的轻绳系一质量为m 的小球，将小球拉至轻绳处于水平位置A 时释放，整个装置处于水平向右的匀强电场，小球能摆到竖直方向左侧且轻绳与竖直方向夹角为θ的B 点，则当小球从B 摆到C 点时，绳上的拉力大小为多少？(答案：

>

[思考与总结]

题型五 正交的电磁场中的圆周运动

例题5：如图所示是匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，场强为E ，磁场的方向水平指向纸内、磁感应强度为B 。在该复合场中有两个带电小球A 和B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动<两个小球间的库仑力可

R E

v 0

m q 图3-2-6 B

θ

图3-2-8

E

图3-2-7

A

B

θ

× × × × × × × × × ×

B

R A R B