正态分布及其计算

即正品率 1 p P X 0.9000 0.0050
2
0.0050
1
0.99
查表得： 0.00194
例5 设某品种苹果的重量 X ~ N 161,1600, 按重量大小
把苹果分成四类：20
0 0
为最小，55 0 0
为中等，15 0 0
为大苹果，10 0 0 为特大。试求中等苹果的上下限重量。
设 X ~ N , 2
证明性质（4）：P
X c
2
c
1
证明：P X c Pc X c
Pc X c
c
c
c

c
1
c
2
c
1
P X 21 1 68.26% P X 2 22 1 95.45%
P X 3 23 1 99.73% 称 3 为极限误差。
解：设中等苹果的下限为 a ，上限为 b 。
则：P X
a
a 161 40
0.2
a
161 40
1
161 40
a
0.2
161 40
a
0.8
查表得：a 127.4
例5 设某品种苹果的重量 X ~ N 161,1600, 按重量大小
把苹果分成四类：20
0 0
为最小，55 0 0
为中等，15 0 0
2 1.25
正态分布的分布函数
x
F(x)
1
( x )2
e 2 2 dx
2
F(x) 1
1 2
x
标准正态分布
定义 X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布
密度函数
(x)
1
x2
e2
2
分布函数
x
(x)
1
x2
e 2 dx
2
0 1
x x
对于标准正态分布，有以下计算性质：
1 x 1 x 2 0 0.5
一般随机变量（包括一般正态分布）的分布函数 并无此性质。
∆ 正态分布的概率计算
若 X ~ N , 2 设 X 的分布密度为 f x ，分布函数为 F x
我们有如下计算性质：
1 F 0.5
2
F
x
x
3 Pa X b F b F a
b
a
4
P
X
c
2
c
1
∆ 正态分布的概率计算
例3 设 ~ N 1.5, 4, 1 求 P0.5 1.5
1
x2
e 2 dx 0.8413
2
解：P0.5 1.5 F 1.5 F 0.5
1 2
0.5 1.5 2
1 2
1
1 1 1
2
0.51 0.8413 0.3413
例4 某零件宽度 X ~ N 0.9000, 0.00302 , 现规定限度是
10.75 12.25
2 0.7734 0.9878 0.2388
21 F 3
例2 若 X ~ N 2, 2 , 且 P2 X 4 0.3, 求 PX 0
解： PX
0
0
2
1
2
因为
P2
X
4
4
2
2
2
2
0
2
0.5
0.3
2
0.8
所以
PX
0
0
2
1
2
0.2
正态分布
Normal Distribution
若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
2
(
x
)2
2
e 2
, ( 0)为常数
则称X服从参数为 , 2 正态分布，记为
X ~ N(, 2)
正态分布的密度函数的图形
1y
2
-
+
x
中间高 两边低
μ，σ对密度曲线的影响
１
2
1
1 0.75
21
1 22
为大苹果，10 0 0 为特大。试求中等苹果的上下限重量。
...... 解：设中等苹果的下限为 a ，上限为 b 。 查表得：a 127.4
PX
b
b
161 40
0.2
0.55
0.75
查表得：b 187.8
第七次作业： 习题二 20, 21, 22, 23
0.9000 0.0050. （1）求零件的废品率。 （2）若要
求每 100 个产品中废品不多于一个，可允许的最大
值是多少？
解：（1）正品率 P X 0.9000 0.0050
2
0.0050 0.0030
1
90.44
0
0
故废品率 100 00 90.44 00 9.56 00
（2）设废品率 p 0.01,
X的取值几乎都落入以为中心，以3为 半径的区间内。
f(x) 3
0.9974
3
∆ 正态分布的概率计算
例1 设 X ~ N 1.5, 4, 试计算 P X 3 解：P X 3 1 P X 3
1 P3 X 3 1 F 3 F 3
1
3
1.5 2
3
1.5 2
10.75 2.25