(slusky)斯勒茨基方程

替代效应有时又叫做补偿的需求变动
。是指由于价格上升，消费被给予足 够的收入作为补偿以购买他原有的消 费束；如果价格下降，对他的“补偿 ”就是从他那里取走一些收入购买他 原有的消费束。
这里的补偿是广义的。
替代效应的计算
例题见书P113。
收入效应的图示和计算
1. 价格保持在（P’1，P2 ）
第三讲
Slutsky 方程
第八章 主要要点
替代效应和收入效应的概念
替代效应和收入效应的图示表达
替代效应和收入效应的计算
特殊效用函数形式的替代效应和收入效应
的计算
希克斯替代效应
需求法则：对正常商品来说，当
商品的价格下降时，消费者对它 的需求量会上升。
为什么？
原因是有二个效应。
x1s ( p1 , p2 , x1 , x2 ) x1 ( p1 , p2 , m ) x1 ( p1 , p2 , m ) x1 p1 p1 m x1 ( p1 , p2 , m ) x1s ( p1 , p2 , x1 , x2 ) x1 ( p1 , p2 , m ) x1 p1 p1 m
x1 B2 B1 商品1和商品2消费量的变化可由替代效应和收入效应来 表示和计算。
x1
如何计算这二个效应呢？
x2
y p2
P’1/P2
P1/P2
x1
转动与移动
x2
交换比率的变化引起预算线 的转动－替代效应。购买力 增加引起预算线的移动－收 入效应。
B1
B’’
B’
x1
替代效应的图示和计算
1. 仅考虑商品1价格变化带来的交 换比率的变化引起的需求量的 变化。 2. 不考虑实际购买力上升引起的 需求量的变化。
x1 x1s x1m
m x1p1
x1 x1s x1m p1 p1 p1
x1 x1s x1m x1 p1 p1 m
x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) 斯拉茨基方程 p1 x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) x1 p1 m
x1’
x1’’
x1
正常品的Slutsky’效应
x2
商品1是正常品，因为当 收入增加时，需求量上升
(x1’,x2’)
x2 x2’’
x1
x1’’
x1
x2
x2 x2’’
(x1’,x2’)
商品1是正常品， 替代效应为正， 需求量增加； 收入效应为正， 需求量增加。
x1
x1’’
x1
价格下降，需求量增加的需求法
斯拉茨基方程（2）
初始需求束 变动后的价格 对应于收入 斯拉茨基需求 斯拉茨基方程
( x1 , x2 ) ( p1 , p2 )
x1 x1 ( p1 , p2 , m )
m p1 x1 p2 x2
x1s ( p1 , p2 , x1 , x2 ) x1 ( p1 , p2 , p1 x1 p2 x2 )
x2 (x1’,x2’)
2. 收入由M’增加到M， 预算线由B’’移动到B’ 3. 最佳消费束由
(x1’’,x2’’) (x’1,x’2)
x2 x2’’
x1
x1’’
B’’1
B’1
x1
(x1’’,x2’’) (x1’,x2’)就是收入效应。
x2
x2 x2’’
(x1’,x2’)
是指商品1的价格保持 在P’1 ，收入由M’增加 到M时，商品1的需求 量的变动。
x1
x1’’
x1
计算
x2
原预算线为： P1X1＋P2X2＝M B’’的预算线为： P’1X1＋P2X2＝M’ （P’1－P1）X1 ＝ M’－M
x 2’ x2’’
x 1’
x1’’
B’’
x1
x2
使原消费束安新的价格仍然能支付 得起的收入变动恰好等于商品1原 消费量与价格变动的乘积。
（P1－P’1）X1 ＝ M－M’
正常商品
x1 x1s x1n ( ) ( ) ( )
非吉芬低档商品
x1 x1s x1n () () ()
吉芬商品
斯拉茨基方程（1）
斯拉茨基恒等式 定义负收入效应
x1 x1s x1n x1m x1 ( p1, m) x1 ( p1 , m) x1n
对于源自文库小的价格变动量
x1h ( p1 , p2 , u ) x1s ( p1 , p2 , x1 , x2 ) p1 p1
斯拉茨基需求与马歇尔需求
马歇尔需求既包含替代效应
x2
又包含收入效应，曲线较为 平坦；斯拉茨基需求只包含 斯拉茨基替代效应，曲线较 为陡峭；
初始选择
最终选择
( p1 , p2 , m)
B1
B’’
B’
x1
x2
x2 x2’’
无差异曲线与转动后的 预算线B’’相切于（ x1’’， x2’’）。该消费束是价格 变化后，使原消费束支 付得起的购买力的最佳 消费束。
x1
x1’’
B’’
x1
(x1,x2) (x1’’,x2’’)就是替代效应。
x2
x2 x2’’
指当价格变动但购买力 保持不变是消费者如何 用一种商品来“替代” 其它商品的情况。
x2
(x1’,x2’)
x2 x2’’
如果替代效应大于收入 效应，总效应为正，需 求量增加；如果替代效 应小于收入效应，总效 应为负，需求量减少。
x1
x1’’
x1
吉芬品的Slutsky效应
x2
x2’
价格下降需 求量减少
x2
x 1’ x 1
x1
x2
x2’’’
替代效应为正，需求量 增加，但收入效应为负 ，需求量减少，且收入 效应大于替代效应，总 效应为负，需求量减少
当X1的价格下降以后， P’1<P1，意味着增
加一单位X1放弃的X2减少。X1对X2的替换比
率P’1/P2减小。

两种商品之间的交换比率的变化引起的需求
变化称为替代效应。
收入效应
消费者的货币收入没有变，商品1价格下
降时，商品1变得更便宜，意味着拥有的 货币可以购买更多的商品1，购买力增强 了。
由于具有了更高的购买力而引起的需求
变化称为收入效应。
小结
对正常商品来说，当商品的价格
下降时，消费者对它的需求量会 上升。原因是价格变化的替代效 应和收入效应的共同作用。
x2
x2
当商品1的价格下降时，预 算线由B1移到了B2，商品1 的消费量从X1增加到X1’ ， 商品2的消费量由X2下降到 (x1’,x2’) ’ X2
总效应 替代效应 收入效应
希克斯分解：价格变动效应的另一种分析方法
仍将价格变化视为两个有序的阶段：绕原需求束的
无差异曲线转动（Pivot），平行移动（Shift） ； 转动过程中，效用水平保持不变，初始需求束不能 支付，但能够购买同效用水平的商品束； 移动过程中，商品比价不变，购买力增大。

x2
x2
(v1 , v2 ) ( x1 , x2 )
( z1 , z2 )
( y1 , y2 ) ( p1 , p2 , m) ( p1 , p2 , m)
结论：替代效应 总是与价格变化 的方向相反。
( p1 , p2 , m)
x1
斯拉茨基分解的代数方法
替代效应 收入效应
x1s x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) x1n x1 ( p1, m) x1 ( p1, m)
( y1 , y2 )
最终预算线
( p1 , p2 , m)
(q1 , p2 , m)
对应希克斯分解的斯拉茨基方程
定义希克斯需求
x1h ( p1 , p2 , u )
采用 Slutsky 方程形式
x1 ( p1 , p2 , m) x1h ( p1 , p2 , u ) x1 ( p1 , p2 , m) x1 p1 p1 m
则适合于正常商品。
劣等品的Slutsky’效应
x2
x2 x2’’
x1
x1’’
x1
x2
劣等品的替代效应与正常品 一样，为正，需求量增加。
x2’ x2’’
x 1’
x1’’
x1
x2
(x1’,x2’) x2 x2’’
劣等品的收入效应为 负，需求量减少。
x1
x1’’
x1
当劣等品的价格下降时，其需求量的增加还 是减少取决于他的替代效应与收入效应。

p1 x1 p2 x2 p1 z1 p2 z2
初始选择
( x1 , x2 )
初始预算线
( z1 , z2 )
最终选择
q1 z1 p2 z2 q1 x1 p2 x2 q1 z1 p1 x1 p1 z1 q1 x1 (q1 p1 )(z1 x1 ) 0
x1
( p1 , p2 , m) ( p1 , p2 , m)
x1
马歇尔需求
斯拉茨基需求
是有补偿的需 求；
p1
希克斯需求与
斯拉茨基需求 类似。
p1
斯拉茨基需求
x1
例题1：计算
需求函数为x＝10＋m/10p
m＝120元，p＝3元，假定价格由3元降 为2元。问 （1）需求总效应是多少？ （2）替代效应和收入效应各多少？
x 2’ x2’’ x1’’’ x1’ x1’’ 替代效应 收入效应 x1
不论商品是正常品、劣等品还是吉
芬品，替代效应一定是非负的，但 收入效应可正、可负。
总效应的正负取决于收入效应。
Slutsky方程
x2
在实际货币收入不变的 情况下，商品1的价格变 动引起的需求变动
x2 x2’’
(x1’,x2’)
x2’’
x1
x1’’
B’’
替代效应符号的证明
替代效应
x1s x1 ( p1, m) x1 ( p1, m) 0
( x1 , x2 ) (v1 , v2 ) p1 x1 p2 x2 p1v1 p2v2 p1 z1 p2 z2 m
因此，转动后的最优选 择可能是 x ，或者居于 其右侧。
X1＝X’1 － X1 ＝ X’1 （ P’1 , M ） －X 1（ P1 , M ）
x1
x1’’
x1
需求变动可分解成两种变动：替代效
应和收入效应 X1＝Xs1 ＋ Xn1 ＝X1（ P’1 , M’ ）－X1（ P1 , M ） ＋X1（ P’1 , M ）－X1（ P’1 , M’’ ）
需求的总变动（斯拉茨基恒等式）
x1 x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m) [ x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m)] [ x1 ( p1 , m) x1 ( p1 , m)] x1s x1n
当价格下降时，
x1 x1s x1n ( ) ( ) ()
x2
1. 转动后的预算线B’’的 斜率与价格变化后的预 算线B ’斜率相等，有相 同的交换率。
x2
P’1/P2
x1 B1 B’’ B’ x1
x2
2. 初始消费束（X1，X2）既 在原预算线上，也在B’’上，说 明经过这样的转动消费者的购 买力没变。
x2
但原消费束不是预算 线B’’最佳消费束。
x1
x1
x1’’
x1
计算
Xn1＝X’1 － X’’1 ＝ X’1 （ P’1 , M ）- X’’（ P’1 , M’ ）
总效应＝替代效应＋收入效应
x2
(x1’,x2’)
x 2’ x2’’
替代效应使商品1的消费 量增加，商品2的消费量 减少；收入效应使商品1 的消费量增加，商品2的 消费量也增加。
替 代 效 应

当商品1的价格发生变化以后，市场上 两种商品之间的替换比率发生了变化。 如商品1的价格下降，相对便宜了，消 费者愿意用该商品去替代其它商品。
1.
1.
预算线
P1X1＋P2X2＝M，斜率为P1/P2，原来
增加一单位X1要放弃P1/P2单位的X2，即X1对
X2的替换比率为P1/P2。
2.
替代效应使得商品需求量的变动一
定是非负的，但同价格的变动方向 相反。为什么？
x2
x2
1. 价格下降后，过原消费 束的预算线斜率变小，预算 线向右上方转动；新预算线 在原消费束右边的部份必定 在原预算线的上方，该部份 上的点 x1’’≥ x1 。 2. 在X1右边 的点都具有更 高的偏好。最 优选择肯定在 右边。 x1
x 2’ x2’’
x 1’
x1’’
B’’（M’）
x1
（P1－P’1）X1 ＝ M－M’，说明： 1. 如果商品1价格下降，消费者的购买力就会 提高，因此，要保持购买力不变必须减少 消费者的收入（减少消费者对商品1的实际 支出）； 2. 如果商品1价格上升，消费者的购买力就会 下降，因此，要保持购买力不变必须增加 消费者的收入（增加消费者对商品1的实际 支出） 。