坐标变换的几何解释

坐标变换

柱坐标中体积元为dz drd r θ2

球坐标中体积元ϕθϕd drd r sin 2

一般情况要用到雅可比行列式,其定义如下（以三维空间为例，高维情况有一样的结论）： 若⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(321w v u f z w v u f y w v u f x ，则行列式z

f y f x f z f y f x f z f y f x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂3

3

3

222

111

称为变换的雅可比行列式 三阶行列式的计算很简单，你可以参看一本线性代数 记行列式的绝对值为z

f y f x

f z f y f x

f z f y f x

f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂333

222111

则在w v u ,,的坐标中 体积元为dudvdw z

f y f x f z f y f x

f z f y f x

f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂3

3

3

222111

柱坐标中雅可比的行列式的绝对值为2r

球坐标中雅可比的行列式的绝对值为ϕsin 2

r

初学重积分容易搞错的一点 在柱坐标中⎪⎩

⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos ，显然⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=dz dz d r dr dy d r dr dx θθθθθθcos sin sin cos

于是你想到dxdydz 会不会等于dz drd r θ2

？

经过简单的计算你一定很失望吧？奇怪吧!难倒计算错了？

问题出在哪呢? 出现这样的问题出是因为对积分定义理解不清楚：

积分中是把空间划分成许多小体积（注意小体积不一定就是方的）（二维时是格子，一维是线段或曲线段），然后相应的小体积乘以其上的函数值最后叠加起来

注意了，划分空间有许多不同的方式最常见的在直角坐标系中划分成小正方体

在曲线坐标系中（例如在上面的柱坐标系中）用其他方式划分空间可能会更简单，你能想象在柱坐标中圆柱是怎样以一种最简单的方式被划分成一小块一小块的吗？

对了，就是这种方式，显然以这种方式划分得到的绝对不是一个一个的小方块儿，体积元可以从图中看出为dz drd r θ2

当然如果你硬要在柱坐标系中沿用直角坐标系中的划分方式，以小方块方式划分的话就会得到体积元： dz d r dr d r dr )cos )(sin sin (cos θθθθθθ+-，

显然dz d r dr d r dr dxdydz )cos )(sin sin (cos θθθθθθ+-=绝对是正确的只是这会给计算带来困难，但无论划分方式如何，同一区域上对同一函数的积分，积分值是不变的 为什么要变限

因为不同坐标系对同一空间区域的表达方式是不一样的，举个例子一个半径为5的球体

在直角坐标系下表示为25222≤++z y x ，而在球坐标下表示为5≤r ，在柱坐标下则表示

为2522≤+z r