整式的除法

15.4 整式的除法

目录

15.4.1 同底数幂的除法

15.4.2 整式的除法

15.4.1 同底数幂的除法

[教学目标]

1．知识与能力：

（1）经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；

（2）了解同底数幂除法的运算性质并能解决一些实际问题，理解零指数幂．

2．过程与方法：

在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力；提高学生的观察、归纳、类比、概括等能力．

3．情感、态度与价值观：

在解决问题的过程中了解数学的价值，增强“用数学”的信心，提高数学素养．

[重点难点]

1．教学重点：同底数幂除法的运算性质及其应用．

2．教学难点：零指数幂的意义与理解．

[教学方法]

创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．

[教学过程]

一、创设情境，激发学生的兴趣，引出本节课所要研究的内容

问题 1：一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？

学生活动设计：

根据题意，可得需要这种杀菌剂 1012÷109（滴）．而 1012÷109 =

= 10×10×10 = 1 000（滴）．[或者 1012÷109 =（109×103）÷109 =

= 103 = 1 000（滴）]

教师活动设计：

这是一个和数学有密切联系的现实世界中的问题，让同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果，初步感受同底数幂的除法运算．

问题 2：根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？

（1）55÷53 = ________；（2）107÷104 = ________；（3）a6÷a4 = ________．

学生活动设计：

学生独立思考，利用除法的意义填空，根据自己所填的结果，探索、归纳同底数幂的除法法则．

教师活动设计：

引导学生自主探索，发现规律，归纳同底数幂的除法法则：

一般地，a m÷a n = a m-n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．

问题 3：根据除法的意义填空，你有什么发现？

（1）55÷55 = ________；（2）107÷107 = ________；（3）a6÷a6 = ________（a≠0）．师生活动设计：

学生独立完成填空，根据所填结果，教师引导学生根据幂的除法法则得出结论：

a0 = 1（a≠0）．即任何不等于 0 的数的 0 次幂都是 1．

在这个过程中要让学生理解a不能等于 0 的原因．

二、问题引申，巩固同底数幂的除法法则

问题 4：计算

（1）a7÷a4；（2）（-x）6÷（-x）3；

（3）（xy）4÷（xy）；（4）b2m＋2÷b2；

（5）（m - n）8÷（n - m）3；（6）（-m）4÷（-m）2．

学生活动设计：

让几名学生板演，其余的学生自行分析过程和结果．

（1）a7÷a4 = a7-4 = a3；（a≠0）

（2）（-x）6÷（-x）3 =（-x）6-3 =（-x）3 = -x3；（x≠0）

（3）（xy）4÷（xy）=（xy）4-1 =（xy）3 = x3y3；（xy≠0）

（4）b2m＋2÷b2 = b（2m＋2）-2 = b2m；（b≠0）

（5）（m - n）8÷（n - m）3 =（n - m）8÷（n - m）3 =（n - m）8-3 =（n - m）5；（m≠n）

（6）（-m）4÷（-m）2 =（-m）4-2 =（-m）2 = m2．（m≠0）

教师活动设计：

鼓励学生独立完成计算，然后引导学生作以下探索．

1．a m÷a n = a m-n（a≠0，m、n是正整数，且m＞n）中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等．

2．（5）小题，（m - n）8÷（n - m）3 不是同底的，因而把它们化成同底，将（m - n）8 化成

（n - m）8，或把（n - m）3化成 -（m - n）3.

3．（6）小题，易错为（-m）4÷（-m）2 = -m2. -m2 的底数是m，而（-m）2的底数是 -m，所以（-m）4 ÷（-m）2 =（-m）2 = m2.

三、应用提高、拓展创新

问题 5：解关于x的方程（x - 1）|x|-1 = 1．

学生活动设计：

学生在独立思考的基础上分组讨论，分析方程的特点．这个方程是一个指数方程，乍一看无从下手，但冷静思考后你会发现方程的左边是幂的形式，右边是 1．一个数的幂是1 的情况有三种：其一，1n = 1；其二，（-1）2n = 1；其三，a0 = 1（a≠0）.所以解此方程只需抓住这三点便能解决．

教师活动设计：

引导学生探索，鼓励学生大胆发言，表述自己的见解，在交流中完成本问题的解决．〔解答〕分三种情况：

（1）当x - 1 = 1，即x = 2 时，方程左边 = 1|2|-1 = 1，右边 = 1．因为左边 = 右边，所以

x = 2 是此方程的解；

（2）当x - 1 = - 1，即x = 0 时，方程左边 =（-1）|0|-1 = （-1）-1 = - 1，右边= 1．因为左边≠右边，所以x = 0 不是方程的解；

（3）当|x| - 1 = 0 且x - 1≠0，即x = -1 时，方程左边 =（-1 - 1）|1|-1 =（-2）0 = 1，

右边 = 1．因为左边 = 右边，所以，x = - 1 是方程的解.

综上所述，方程的解为 2 或 - 1．

四、归纳小结、布置作业

小结：

同底数幂的除法法则，零指数幂的意义．

作业：

第189 页练习，习题15.4 第 1 题．

15.4.2 整式的除法

[教学目标]

1．知识与能力：

单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用，单项式、多项式除以单项式的除法运算算理．

2．过程与方法：

（1）经历探索单项式、多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式、多项式与单项式的除法运算；

（2）理解单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力．

3．情感、态度与价值观：

（1）经历探索单项式、多项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验；

（2）鼓励多样化的算法，培养学生的创新能力．

[重点难点]

1．教学重点：单项式、多项式除以单项式的运算法则的探索过程及其应用．