应用数学毕业论文(DOC)

学校代码：11517

学号：201311002242

HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING

毕业论文

题目直接法和二维Toda格方程的周期解

学生姓名李灵霜

专业班级信息与计算科学1342

学号201311002242

院（部）理学院

指导教师(职称)苏婷(副教授)

完成时间2017 年5 月26日

毕业设计（论文）版权使用授权书

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年月日

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毕业设计（论文）作者签名：

年月日

目录

摘要 (1)

第1章绪论 (2)

第2章二维Toda格方程的双线性形式 (3)

第3章一维周期波解和渐进性 (4)

3.1一维周期波解 (4)

3.2单周期波解的渐近性 (6)

第4章双周期波解及其渐近性 (7)

4.1构建双周期波解 (7)

4.2双周期波解的渐近性 (9)

致谢 (12)

参考文献 (13)

直接法和二维Toda格方程的周期解

摘要

Hirota双线性方法被用来直接构造周期波解依照Riemann theta函数（2+1）-1维Toda晶格方程。对周期波的渐进性进行详尽的分析，包括单周期解和双周期解。并绘制解的曲线来分析此解，结果表明可以从周期波解中减少公知的孤子解。

关键词：Riemann theta 函数周期波解一种直接方法

第1章绪论

1.1选题的背景和意义

众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、Darboux变换、Hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。准周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法获得，然而他们解的形式复杂可以借助于黎曼曲面和Abel-Jacobi函数。Hirota直接方法提供了一个强有力的方法来构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线性方程，则可以获得多孤子解和有理解。Nakamura在1979年和1980年提出了单周期波解和基于Hiorta的双周期波解，借助Riemann theta函数。其中得到KdV和Boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在Dai et al首次被证明。对于KP 方程，可以明确地绘制解分布图，并且通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推导多分散解。这种程序在Dai et al中有介绍，并被其他作者用来研究用大量孤子方程来构造准周期性解。

1.2国内外发展现状

关于Toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。Nakamura研究关于（3+1）-维Tode方程，此方程的解是一系列的Bessell函数的级数展开式的表达式形式。Krichever和Vaninsky得到了周期和开放Toda晶格之间的关系。此外algebra-geometrical方法关于开放Toda晶格是发展的。对于开放Toda格代数几何方法的开发，基于李超代数方法，这是超级Toda晶格和超KdV方程有一定关系发现.Baleanu和Baskal讨论了个Lax方程的张量形式和Cartan挠率张量的几何形式存在的透明。此外，给出了Toda晶格的Lax张量方程的解。Baleanu等人提出了Killing张量和Lax算子之间的联系，并详细分析了Toda晶格方程的应用，Ito和Locke研究了仿射Toda场方程，并得出了一些有趣的解。Mahmood通过使用Darboux 变换得到NC Painleve方程的准决定性解，其中Toda解在n = 1处。Klein和Roidot 提出了对于双曲线和椭圆形情况的波长极限（2 + 1）维度Toda的数值研究。Wu等人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模中，并且提出了在Caputo方法中的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的q变形的Toda层次的双线性方程和

tau 函数的Sato 理论。此外，详细研究了多组分延伸作者研究了周期性Toda 链的动力学的渐近线，其中具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。Wu 等人提出了晶格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。

1.3 课题理论基础介绍

对于二维Toda 晶格方程：

()()()()()

,,1,,1,,,,n i ,,20xx u x y n u x y n u x y n yy u x y u x y n e e e -+---+++-=(1.1)

Nakamura 【31】发现新的类型精确解（ripplon 解，新的解反映了系统的基本多维度的影响事实上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的离散化形式。（参考【31】）

+-=0yy xx zz u iu u (1.2)

在本文中，我们采用了戴等人提出的方法，【13】在方程（1.1）的Riemann θ函数中直接构造周期波解通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。此外，我们绘制一些解的曲线来详细分析解。

1.4 本文结构

本论文的结构如下，在第二章中，我们得出了2D Toda 格方程的双线性形式。在第三章中给出了一阶周期波解和渐近性。在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近性。类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。

第2章二维Toda 格方程的双线性形式

我们考虑方程

()()()()()

-+---+++-=,,1,,1,,,,n ,,20xx u x y n u x y n u x y n yy u x y iu x y n e e e (2.1)

通过作如下变换：

()()

(),,22

1ln ,,,u x y n x y

e x y

f x y n --=∂+∂ (2.2) 方程（2.1）具有双线性形式：

ξωμ=++=,1,2j j j j k x t n j

()

()()

()()⋅⎡⎤≡+-++⋅=⎣⎦2

2

,,cosh D ,,,,i 22,,,,0

n X Y X Y n G D D f x y n f x y n D D conshD c f x y n f x y n (2.3)