相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

一. 教学内容：

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

二. 重点、难点

1.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积。

2.相互独立事件发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。P(A ·B)＝P(A)·P(B)

如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )

值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)

特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)

②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

3.独立重复试验.

独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

一般地，如果在一次试验中某件事发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率 P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k

P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k 可以看成二项式［(1-P)+P ］n 展开式中的第k+1项.

【典型例题】

例1. 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率.

解：(1)可以认为机床的工作是相互独立的。

设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.

(2)“3台机床中至少有一台不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以

P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++)＝1-P(321A A A

)＝1-P(1A )P(2A )P(3A ) ＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)＝0.997

即3台机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.

例2.甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.

解:(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A 、B 、C 彼此独立，三人都击中目标就是事件A ·B ·C 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A ·B ·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384

(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中

恰有2人击中，又有3种情形，即事件A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C 分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)＝P(A)P(B)·P(C )+P(A)P(B )P(C)+P(A )P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832

(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C ，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C )+P(A ·B ·C)＝P(A)·P(B )·P(C )+P(A )·P(B)·P(C )+P(A )·P(B )·P(C)

＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.

答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概率是0.152.

说明 题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得。

例3. 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?

解：A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障数最多不超过2，则P(A )＝C 100

(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 102 (0.97)8(0.03)2＝0.9972 P(A)＝1-P(A )＝0.0028.

说明：出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法。

例4. 证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.

证明：将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为

n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21

，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5。则

P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k 即得

P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21

.

而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21

.

例5. 甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率。

解：(1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0、A 1、A 2、A 3；乙恰投中0次，1次、2次、3次为事件B 0、B 1、B 2、B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3

所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)

＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321

(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝