控制理论大作业

一级倒立摆研究

（160232 蒋琴）

1.背景介绍

倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。

在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。其结构简单，价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。

2.倒立摆简介

倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。

2-1直线倒立摆2-2平面倒立摆2-3环形倒立摆

3.模型构建

3.1倒立摆系统运动示意图

3-1 倒立摆系统运动示意图

M小车质量

m摆杆质量

b小车摩擦系数

l摆杆转动轴心到杆质心的长度

I摆杆惯量

F加在小车上的力

x小车位置

Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）3.2受力分析

3-2 倒立摆受力分析图

3.3 模型构建

1）理论分析

应用 Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N bx F Mx --='''

由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程：

)sin (22

θl x dt

d m N +=2)'(sin ''cos ''θθθθ⋅-⋅+=ml ml mx （1） 合并得：

F ml bx x m M =-⋅+++]sin )'(cos ''[''')(2θθθθ （2）

摆杆垂直方向：

)cos (22

θl dt d m mg P =-]cos )'(sin ''[2θθθθ⋅+⋅-=ml

θθθcos sin ''Nl Pl I --=

合并得到力矩平衡方程：

''cos sin θθθI Nl Pl =-- （3）

当夹角Φ很小时（小于1rad ）,可以做如下近似处理：

1cos cos -=≈πθ，φφθ-=≈sin sin ，0''≈θ

用u 代替F ，可得：

⎩⎨⎧=-+=-++'''')(u

''''')(2mlx

mgl ml I ml bx x m M φφφ （4） 设状态空间表达式为：

⎩⎨⎧+=+=Du CX y Bu

AX X '

在（4）式中对''x 和''φ进行线性求解，可得：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++-==++++-==u

p ml

p m M mgl x p mlb

u p ml

I p gl m

x p b ml I x x x φφφφφ)(''''

'')('''

'2

222 （5）

其中：))(2Mml m M I p ++=

整理后，得到状态空间表达式为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0)

(010

000)(00010

''''''2

22p m M mgl p mlb p

gl m p b ml I x x φφ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡''φφx x +u

p ml p ml I ⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

+002

（6） u

x x

y ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00''01000001φφ

其中：2)(Mml m M I p ++=

2）实际问题

实际系统参数如下：

M 小车质量 1.096kg

m 摆杆质量 0.109kg

b 小车摩擦系数 0.1N/m/s

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I 摆杆惯量 0.00342

m kg ⋅

T 采样时间 0.005s

所以，状态空间表达式为：

u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3566.208832.00''08570.272357.00100006300.00883.000010''''''φφφφ

u x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00''01000001φφ 3.4系统的能观性和能控性

能观性矩阵：

][32B A B A AB B M =

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1506.66662.652082.03566.26662.652082.03566.202629.04915.10780.08832.04915.10780.08832.00 4)(=M rank

能控性矩阵：

[]T

32CA CA CA C N = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=8570.271485.00208.006300.00556.00078.0008570.272357.0-006300.00883.0-00000.1000000000.1000000.1000000000.1 4)(=N rank

所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。