1_反比例函数常见几何模型
初中人教版反比例函数中常见的几何模型
两点，且与坐标轴交于B、C两点 则有
数 学
反比例函数中 常见几何模型
06
如图：点A、B是双曲线
y
k (k x
0)
任意不重合
的两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，
再过A、B两点分别作AD⊥y轴于D点，BF⊥y轴
于F点，再连结DF两点，则有
BM＝AN，DF∥AB
数
D
学
F
反比例函数中 常见几何模型
O
B
反比例函数中 常见几何模型
10 点A、B是反比例函数 ， 任意两点， 并满足AO⊥BO，过点B作BC⊥x轴，过点A作 AD⊥x轴，则有
数 学
03 如图，点D、C为反比例函数 y k 图象上的
x
任意一点，且AD垂直于x轴，BC垂直于x轴， 则有
数 学
反比例函数中 常见几何模型
04 如图，直线AD与反比例函数 y k 交于B、C
x
两点，则有
数 学
反比例函数中 常见几何模型
05 如图，直线AD与反比例函数 y k 交于A、D
x
反比例函数19种模型
反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。
以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。
2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。
3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。
4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。
9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。
10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。
11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。
12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。
16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。
17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。
18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。
19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。
这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。
实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。
对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)考点归纳【模型1：定值矩形与定值三角形】【模型2：平行线之间的定值三角形】【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【模型4：“喇叭三角形”】【模型5：中点模型】【模型6：比例模型】【模型7：相等模型】考点精讲【模型1：定值矩形与定值三角形】【方法点拨】1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是()A.12B.9C.6D.3【答案】C【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S =k ，据此解答即可．【详解】解：∵点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，∴矩形AOBP 的面积=6 =6．故选：C ．2.如图，点A 是反比例函数y =-4x <0 的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为()A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y =kxk ≠0 系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD =-4 =4，所以有S 平行四边形ABCD =4．【详解】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数y =-4xx <0 的图象上的一点，∴S 矩形AHOD =-4 =4，∴S 平行四边形ABCD =4．故选：B ．3.如图，A 、B 是反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，若正方形OCAD 的面积为6，则矩形OEBF 的面积为．【答案】6【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k 的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积S 的关系即S =k ，进行解答即可．【详解】解：∵S 正方形OCAD =OD ⋅OC =x A ⋅y A =k =6，∴S 长方形OCAD =OE ⋅OF =x B ⋅y B =k =6．故答案为：6．4.如图是反比例函数y =-4x在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA 的面积为．【答案】4【分析】根据矩形的面积公式S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：设点B a ,b ，∵四边形BCOA 是矩形，∴AB =a ，BC =b ，∴S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，∵点B 在反比例函数y =-4x在图象上，∴a ⋅b =-4，∴a ⋅b =4，∴S 矩形BCOA =ab =4；故答案为4．【模型2：平行线之间的定值三角形】【方法点拨】5.如图，是反比例函数y =5x 和y =-9x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是()A.7B.14C.18D.28【答案】A【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．【详解】解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y =5x 和y =-9x 的x 轴上方的图象上，∴S △AOB =S △COB +S △AOC =12(5+9)=7，故选：A ．6.已知反比例函数y =-6x x <0 与y =2xx >0 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M ，N 两点．若点A 是x 轴上的任意一点，连接MA ，NA ，则S △AMN 等于．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，连接MO ,NO ，根据MN ∥x 轴可得，S △AMN =S △OMN ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接MO ,NO ，∵MN ∥x 轴∴S △AMN =S △OMN =S △POM +S △PON =-62+22=4故答案为：4．7.如图，在函数y =2x x >0 的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y =-8xx <0 的图象于点B ，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积是．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A 在函数y =2xx >0 的图象上，∴S △AOC =12×2=1，又∵点B 在反比例函数y =-8xx <0 的图象上，∴S △BOC =12×8=4，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4=5，故答案为：5．8.如图，B 、C 两点分别在函数y =5x (x >0)和y =-1x(x <0)的图象上，线段BC ⊥y 轴，点A 在x 轴上，则△ABC 的面积为．【答案】3【分析】设B m ,n ，则mn =5，结合BC ⊥y 轴，得到C -1n ,n ，计算BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为1BC ·y B =1m +1×n 计算即可．本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】设B m ,n ，根据题意，得mn =5，∵BC ⊥y 轴，∴C -1n ,n ，∴BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为12BC ·y B =12m +1n ×n =12mn +1 =3，故答案为：3．【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【方法点拨】9.如图，点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，且AB ∥x 轴，点C ．D 在x 轴上，若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为．【答案】2【分析】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长BA 交y 轴于点E ，易得四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，又由点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，即可得S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，继而求得答案．【详解】解：延长BA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 为矩形，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，∴AE ⊥y 轴，∴四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，∵点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，∴S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，∴S 矩形ABCD =S 矩形BCOE -S 矩形ADOE =3-1=2．故答案为：2．10.如图，点A 、B 分别是反比例函数y =3xx >0 的图象上两点，分别过点A 、B 向坐标轴作垂线，四边形ACEG 的面积记作S 1，四边形BFDG 的面积记作S 2，则S 1S 2(填>、<或=)．【答案】=【分析】本题考查了反比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =kx图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k 的几何意义可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，得出S 1=3-m ，S 2=3-m ，即可得出答案．【详解】解：∵A ，B 两点在反比例函数y =3xx >0 的图像上，∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，∴S 1=3-m ，S 2=3-m ，∴S 1=S 2．故答案为：=．11.如图，平行于x 轴的直线l 与函数y =6x (x >0)和y =2x(x >0)的图象分别相交于A ,B 两点，分别连接AO 、BO ，则△ABO 的面积为．【答案】2【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k 的几何意义，设l 交y 轴于点M ，根据反比例函数k 的几何意义，得出S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，即可求解．【详解】解：如图，设l 交y 轴于点M ，∵S △AOM =3，S △BOM =1，则S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，故答案为：2．12.如图，点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，则△ABO 的面积是．【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA 交y 轴于C ，则AB ⊥y 轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得S △AOC =12，S △BOC =32，则S △AOB =S △BOC -S △AOC =1．【详解】解：如图所示，延长BA 交y 轴于C ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，∴S △AOC =12，S △BOC =32，∴S △AOB =S △BOC -S △AOC =1，故答案为：1．【模型4：“喇叭三角形”】【方法点拨】13.如图，点A ，B ，在反比例函数y =4x的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为S 1、S 2；若S 1=1，则AMBN=．【答案】2【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k |是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出△OAM 、△OBN 的面积，然后求出△OCM 的面积，利用相似三角形的性质得到S △OCM S △OBN =OM ON 2即可求解．【详解】解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴S △OAM =S △OBN =2，∴S △OCM =S △OAM -S 1=2-1=1，又∵AM ∥BN ，∴△OCM ∽△OBN ，∴S △OCM S △OBN =OM ON2=12，∴OM ON=22，又∵OM ⋅AM =ON ⋅BN ，∴AM BN =ON OM =2．故答案为：214.如图是一个反比例函数(x >0)的图象，点A (2，4)在图象上，AC ⊥x 轴于C ，当点A 运动到图象上的点B (4，2)处，BD ⊥x 轴于D ，△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为()A.1B.2C.34D.13【答案】A【解答】解：如图所示：∵点A (2，4)，点B (4，2)，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴点C 的坐标为(2，0)，点D 的坐标为(4，0)，AC ∥BD ，∴△OCE ∽△ODB ，∴OC OD =CE DB ，即24=CE 2解得CE =1，∴S △OCE OC ⋅CE 2=2×12=1，即△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为1．故选：A ．15.如图，过反比例函数y =9x(x >0)的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得()A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.大小关系不能确定【答案】B 【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y =9x 的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=92；S 2=92．故S 1=S 2．故选：B ．16.如图，在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y =k x (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为()A.32B.43C.2D.83【答案】B 【解答】解：把P (2，3)，M (a ，2)代入y =k x得k =2×3=2a ，解得k =6，a =3，设直线OM 的解析式为y =mx ，把M (3，2)代入得3m =2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x =2时，y =23×2=43，所以C 点坐标为(2，43)，所以△OAC 的面积=12×2×43=43．故选：B ．【方法点拨】条件：A /B 两点分别位y =k x上不同两点，延长AB 交x 轴与点F ，B 位AF 的中点结论：①▲ACF ~▲BDF ，且相似比为BF AF =12。
反比例函数常见几何模型(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEFS S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE≌△CDF ；④A CB D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y xDC A BOFEDFABDF MN xy O例3：一次函数y ax b=+的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数kyx=的图象相交于点,A B．过点A分别作AC x⊥轴，AE y⊥轴，垂足分别为,C E；过点B分别作BF x⊥轴，BD y⊥轴，垂足分别为F D，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A B，在反比例函数kyx=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBKS S=四边形四边形；②AN BM=．（2）若点A B，分别在反比例函数kyx=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数kyx=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPC PADCS S∆=梯形.图1 图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CEaCFb=.例7：两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发xBFC EAOy生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.xy 1= B.xy 2=C.xy 3=D.x y 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的DBAyxOC中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx=，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!! 【最新整理，下载后即可编辑】 二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞ 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个AB CD E y x O。
反比例函数几何模型求k值(经典)
反比例函数常见几何模型汇总近年来，反比例函数作为中考压轴小题，出现的次数一直居高不下，仔细研读中考真题，不难发现一些常见几何模型，基于此，本文重点介绍常用的几种与反比例结合的几何模型，帮助读者梳理解题思路，部分模型结论可以记忆，在考试小题中直接套用即可！【模型一】定值矩形与定值三角形k【例1】如图，点 P 是反比例函数图象上的一点，过 P 向 x 轴作垂线，若阴影面积为 2，则这个反比例函数的关系式是______________。
【答案】xy 4-= 【模块二】平行线之间的定值三角形条件：A 是x k y 1=上一点，B 是xk y 2=上一点，AB∥x 轴， 结论：)(2121k k S S ABP ABO +==∆∆【例2】如图，A 是反比例函数xk y =图象上的一点，过点 A 作 AB ⊥y 轴于点 B,点 P 在 x 轴上，△ABP 的面积为 2，则 k 的值为_______。
【答案】4【模块三】“重叠型”定值矩形、定值三角形条件：A 是x k y 1=上一点，D 是xk y 2=上一点，AB ⊥x 轴，AM ⊥y 轴， 结论：21k k S ABCD -=矩形。
【例3】如图，A 是x y 1=上一点，B 是xy 3=上一点，且AB ∥x 轴，C 、D 两点在x 轴上，则矩形ABCD 的面积为________。
【答案】2【模块四】“喇叭三角形”条件：A 、B 两点分别为xk y =上不同两点，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴。
②EBDC AOE S S 四边形=∆；【例4】如图，反比例函数xk y =经过A(2，2)和B(4，m)，则△AOB 的面积为______。
【答案】3.【模块五】中点模型②C 、D 为线段OF 的三等分点，即DF CD OC ==；④1:3:2::=∆∆BDF ACDB OAC S S S 四边形。
【例5】如图，平行四边形AOBC 中，对角线AB 和OC 交于点E ，反比例函数xk y =经过A 、E 两点，若18=AOBC S ，则。
反比例函数十大模型
反比例函数十大模型反比例函数是一种常见的数学函数，它可以用来描述两个变量之间的反比例关系。
它的表达式为：y=k/x，其中k为常数，x为自变量，y为因变量。
反比例函数的特点是：当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
反比例函数是一种数学模型，它表示两个变量之间呈规律性反比关系的函数。
反比例函数的一般形式为 y=k/x，其中 x 和 y 是两个变量，k 是常数。
在这个模型中，当 x 的值变大时，y 的值会变小；当 x 的值变小时，y 的值会变大。
下面列举出十种常见的反比例函数模型：1.空气阻力模型：在一些物理运动的过程中，物体的运动受到空气的阻力影响，空气阻力与物体的速度呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：F=kv^2，其中F 是空气阻力，v 是物体的速度，k 是常数。
2.电视天线模型：电视天线的收视质量与天线的高度呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：Q=k/h，其中 Q 是电视天线的收视质量，h 是天线的高度，k 是常数。
3.热传导模型：在热传导过程中，热传导速度与热导率之间呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：q=k/δ，其中 q 是热流密度，δ是热导率，k 是常数。
4.声音传播模型：声音在空气中的传播速度与温度之间呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：v=k/T，其中 v 是声音的传播速度，T 是温度，k 是常数。
5.水流流速模型：水流的流速与水流的流量之间呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：v=k/q，其中 v 是水流的流速，q 是水流的流量，k 是常数。
6.车辆油耗模型：车辆的油耗与车辆的速度之间呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：F=k/v，其中 F 是车辆的油耗，v 是车辆的速度，k 是常数。
7.转角灵敏度模型：机器人的转角灵敏度与机器人的转速之间呈规律性反比关系，可以用反比例函数来描述。
例如：θ=k/ω，其中θ是机器人的转角灵敏度，ω是机器人的转速，k 是常数。
反比例函数中k的几何意义常见7大模型
反比例函数中k的几何意义常见7大模型摘要：一、反比例函数的基本概念和性质二、反比例函数k的几何意义1.矩形面积模型2.三角形面积模型3.梯形面积模型4.平行四边形面积模型5.菱形面积模型6.圆面积模型7.椭圆面积模型三、总结与实践应用正文：反比例函数是数学中一种重要的函数类型，其一般形式为y = k/x，其中k 为常数，x是自变量，y是自变量x的函数。
在反比例函数中，k的几何意义尤为重要。
首先，我们来回顾一下反比例函数的基本性质。
当k>0时，函数图像位于第一、第三象限；当k<0时，函数图像位于第二、第四象限。
此外，反比例函数的图像具有对称性，即关于原点对称。
接下来，我们来探讨反比例函数k的几何意义。
1.矩形面积模型：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积为SPM·PNy·xxyk。
因此，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。
2.三角形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个三角形。
根据三角形的面积公式，可得到三角形面积与k的关系。
3.梯形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个梯形。
根据梯形的面积公式，可得到梯形面积与k的关系。
4.平行四边形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y 轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个平行四边形。
根据平行四边形的面积公式，可得到平行四边形面积与k的关系。
5.菱形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个菱形。
根据菱形的面积公式，可得到菱形面积与k的关系。
6.圆面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个圆。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见几何模型反比例函数是一种特殊的函数类型，它描述了一种比例关系，其中一个变量的变化与另一个变量的变化成反比。
它在数学上的一般形式为y=k/x，其中k是一个常数，x和y是变量。
在几何学中，反比例函数常见于许多不同的模型中。
以下是一些常见的几何模型，这些模型可以用反比例函数来描述。
1.电阻和电流：欧姆定律描述了电阻和电流之间的关系，即电流与电阻成反比。
根据欧姆定律，电流I在电阻R中的关系为I=V/R，其中V是电压。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
2.凸透镜的放大力：凸透镜的放大力与物体离透镜的距离成反比。
放大力是指通过透镜放大影像的能力。
根据物理学的知识，放大力F与物体离透镜的距离s的关系为F=k/s，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来表示。
3.时间和速度：根据物理学中的速度定义，速度v等于物体所走的距离d除以所花费的时间t。
因此，速度与时间成反比。
速度v和时间t之间的关系可以表示为v=k/t，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
4.管道流量和管道直径：在液体或气体流体力学中，管道的直径和流量之间成反比。
根据伯努利原理，如果管道的截面积减小，则液体或气体的速度增加，从而使流量增加。
因此，管道的直径和流量之间的关系可以用反比例函数表示。
5.球体的表面积和半径：球体的表面积与其半径成反比。
根据数学知识，球体的表面积S与其半径r之间的关系为S=4πr^2、从这个方程可以看出，当半径增加时，表面积会减小。
因此，球体的表面积和半径之间可以用反比例函数描述。
6.声波的衰减：声波在传播过程中会经历衰减，衰减的程度与传播距离成反比。
声波的衰减率与传播距离之间的关系可以用反比例函数来描述。
以上是反比例函数在几何模型中的一些常见应用。
这些模型在科学研究和实际应用中都具有重要的意义。
通过理解和运用反比例函数，我们可以更好地了解和解释这些几何模型。
反比例函数k的八种几何模型及解法(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍考点1一点一垂线模型【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于12|k|．【示例】拓展：【例1】．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝（x ＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（）A．越来越小B．越来越大C．不变D．先变大后变小解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，则BC＝OA，设点P（x，），＝PA•BC＝••x＝3，则S△P AB当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，故选：C．变式训练【变1-1】．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是4，则k的值为﹣．解：设OM＝a，则OM＝MN＝NC＝a，∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，AM⊥OC、BN⊥OC，∴AM＝，BN＝，＝S△AOM+S四边形AMNB+S△BNC，∵S△AOC∴﹣×3a×＝﹣k+4﹣×a×，解得k＝﹣，故答案为：﹣．【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（）A．B．C．2D．解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，设直线OM的解析式为y＝mx，把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝，所以直线OM的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝，所以C点坐标为（2，），所以△OAC的面积＝×2×＝．故选：B．考点2一点两垂线模型【模型讲解】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k |．【示例】ABCD S k【例2】．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设直线AB 与x 轴交于点C ．∵AB ∥y 轴，∴AC ⊥x 轴，BC ⊥x 轴．∵点A 在双曲线y ＝的图象上，∴△AOC 的面积＝×10＝5．∵点B 在双曲线y ＝的图象上，∴△COB的面积＝×6＝3．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．故选：B．变式训练【变2-1】．如图，函数y＝（x＞0）和（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为．解：设点P（x，），则点B（，），A（x，），∴BP＝x﹣＝，AP＝﹣＝，＝＝，∴S△ABP故答案为：．【变2-2】．如图，直线AB∥x轴，分别交反比例函数y＝图象于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为4．解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，＝2，∵S△AOB∴cd﹣ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，故答案为：4．【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为﹣2．解：∵直线l∥x轴，∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，＝|k|，S△BOM＝×4＝2，∴S△AOM＝3，∵S△AOB＝1，∴S△AOM∴|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．考点3两曲一平行模型【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型1两条双曲线的k值符号相同【示例】【例3】．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（）A．﹣8B．﹣12C．﹣24D．﹣36解：设A（x，0）．∵正方形ADEF的面积为16，∴ADEF的边长为4，∴E（x﹣4，4），∵BF＝2AF，∴BF＝2×4＝8，∴B（x，12）．∵点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，∴4（x﹣4）＝12x，解得x＝﹣2，∴B（﹣2，12），∴k＝﹣2×12＝﹣24，故选：C．变式训练【变3-1】．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y＝；∴xy＝k＝1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y＝（x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，解得：a＝﹣．∴点E的坐标为：（+，﹣）．【变3-2】．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S＝1.7，则S1+S2等于 4.6．阴影解：如图，∵A、B两点在双曲线y＝上，＝4，S四边形BDOC＝4，∴S四边形AEOF∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故答案为：4.6．【变3-3】．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3+…+S n＝．（用n的代数式表示，n为正整数）解：当x＝1时，P1的纵坐标为2，当x＝2时，P2的纵坐标1，当x＝3时，P3的纵坐标，当x＝4时，P4的纵坐标，当x＝5时，P5的纵坐标，…则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；S2＝1×（1﹣）＝1﹣；S3＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；…S n＝﹣；S1+S2+S3+…+S n＝2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝．故答案为：．考点4两点一垂线模型【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．【示例】【例4】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k＝﹣；②不等式kx＜﹣的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3解：将x＝﹣4代入y＝﹣得y＝﹣＝2，∴点A坐标为（﹣4，2），将（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，解得k＝﹣，∴①正确．由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4，﹣2），∴当﹣4＜x＜0或x＞4时，kx＜﹣，∴②正确．＝S△AOB+S△BOC＝OB•y A+OB•（﹣y C）＝BO（y A﹣y C）＝×（2+2）∵S△AOC＝8，∴③错误．故选：C．变式训练【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为4．解：∵BC⊥y轴于点C，＝|﹣4|＝2，∴S△COB∵正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝﹣的图象均关于原点对称，∴OA＝OB，＝S△COB＝2，∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝2+2＝4，∴S△ABC故答案为：4．【变4-2】．如图，过点O的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为．解：∵点A反比例函数y＝的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，＝|k|＝，∴S△AOC∵过点O的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，∴OA＝OB，＝S△AOC＝∴S△BOC＝2S△ACO＝，∴S△ABC故答案为：．【变4-3】．如图，函数y＝x与y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂＝3，则k＝3．足为C，连接BC，若S△ABC解：设A（a，a）（a＞0），∵函数y＝x与y＝的图象的中心对称性，∴B（﹣a，﹣a），＝•a•2a＝a2＝3，∴S△ABC∴a＝，∴A（，），把A（，）代入y＝得k＝＝3．故答案为：3．考点5两点两垂线模型【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|．【示例】【例5】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为4．解：∵点A在反比例函数y＝﹣上，且AB⊥x轴，∴＝2，∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，∴O是BD的中点，＝2S△ABO＝4．∴S△ABD故答案为：4．变式训练【变5-1】．如图，一次函数y＝kx与反比例函数上的图象交于A，C两点，AB∥y轴，BC∥x轴，若△ABC的面积为4，则k＝﹣2．解：设AB交x轴于点D，的面积为，由反比例函数系数的几何意义可得S△ADO由函数的对称性可得点O为AC中点，即DO为△ABC中位线，∴＝，＝4S△ADO＝2|k|＝4，∴S△ABC∵k＜0，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为2．解：∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，∴S△AOB又∵A点在反比例函数y＝的图象上，＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD×1＝，∴S△AOB＝4S△AOB＝4×＝2，∴S四边形ABCD故答案为：2．【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是5．解：过点A作AF⊥y轴，垂足于点F；过点B作BE⊥y轴，垂足为点E．∵点P是AB中点．∴PA＝PB．又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，∴△APF≌△BPE．＝S△BPE．∴S△APF＝S四边形ACOF+S四边形EODB＝|﹣2|+|3|＝5．∴S四边形ABCD故答案为：5．考点6反比例函数上两点和外一点模型【模型讲解】反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法．【示例】方法一：S △AOB ＝S △COD －S △AOC －S △BOD ．方法二：作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点M ，BF ⊥x 轴于点F ，则S △OAM ＝S 四边形MEFB （划归到模型一），则S △AOB ＝S 直角梯形AEFB ．【拓展】方法一：当BE CE 或BFFA＝m 时，则S 四边形OFBE ＝m |k |．方法二：作EM ⊥x 轴于M ，则S △OEF ＝S 直角梯形EMAF （划归到上一个模型示例）．【例6】．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，则S△AOB＝（）A．B．C．D．6解：把A（﹣4，1）代入y＝的得：k＝﹣4，∴反比例函数的解析式是y＝﹣，∵B（1，m）代入反比例函数y＝﹣得：m＝﹣4，∴B的坐标是（1，﹣4），把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得：，解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3；把x＝0代入一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，∴D（0，﹣3），＝S AOD+S△BOD＝×3×（1+4）＝．∴S△AOB故选：A．变式训练【变6-1】．如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x＝12，则k的值为（）轴上，且．若S△BCAA．12B．﹣12C．﹣6D．6解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A、B在反比例函数的图象上，直线AB经过原点，∴OA＝OB＝AB，＝12，∵，S△BCA＝S△BCA＝6，∴OB＝BC，S△BCO∵BE⊥OC，∴OE＝CE，＝S△BCO＝3，∴S△OBE∵BE⊥x轴于E，＝|k|，∴S△OBE∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：C．【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝与直线y＝交于A，B，x轴的正半轴上有一点C 使得∠ACB ＝90°，若△OCD 的面积为25，则k 的值为48．解：设点A 坐标为（3a ，4a ），由反比例函数图象与正比例函数图象的对称性可得点B 坐标为（﹣3a ，﹣4a ），∴OA ＝OB ＝＝5a ，∵∠ACB ＝90°，O 为AB 中点，∴OC ＝OA ＝OB ＝5a ，设直线BC 解析式为y ＝kx +b ，将（﹣3a ，﹣4a ），（5a ，0）代入y ＝kx +b 得，解得，∴y ＝x ﹣a ，∴点D 坐标为（0，﹣a ），∴S △OCD ＝OC •OD ＝5a ×a ＝25，解得a ＝2或a ＝﹣2（舍），∴点A 坐标为（6，8），∴k ＝6×8＝48．故答案为：48．【变6-3】．如图，正比例函数y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，点C 在x 轴上，连接AC ，BC ．若∠ACB ＝90°，△ABC 的面积为10，则该反比例函数的解析式是y ＝﹣．解：设点A 为（a ，﹣a ），则OA ＝＝﹣a ，∵点C 为x 轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为20，∴OA ＝OB ＝OC ＝﹣a ，∴S △ACB ＝×OC ×（y A +|y B |）＝×（﹣a ）×（﹣a ）＝10，解得，a ＝±（舍弃正值），∴点A 为（﹣，2），∴k ＝﹣×2＝﹣6，∴反比例函数的解析式是y ＝﹣，故答案为：y ＝﹣．考点7反比例函数上两点和原点模型【模型讲解】反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支上，用加法．【示例】方法一：S △AOB ＝12OD ·|x B －x A |＝12OC ·|y A －y B |．方法二：S △AOB ＝S △AOC ＋S △OCD ＋S △OBD ．方法三：作AE ⊥y 轴于点E ，BF ⊥x 轴于点F ，延长AE 与BF 相交于点N ，则S △AOB ＝S △ABN －S △AOE －S △OBF －S 矩形OENF ．【例7】．如图，直线AB 交双曲线于A 、B ，交x 轴于点C ，B 为线段AC 的中点，过＝12．则k的值为8．点B作BM⊥x轴于M，连接OA．若OM＝2MC，S△OAC解：过A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B为AC中点，∴MN＝MC，∵OM＝2MC，∴ON＝MN＝CM，设A的坐标是（a，b），则B（2a，b），＝12．∵S△OAC∴•3a•b＝12，∴ab＝8，∴k＝ab＝8，故答案为：8．变式训练【变7-1】．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且四边形ODBE的面积为21，则k＝7．解：设D点的横坐标为x，则其纵坐标为，∵BD＝3AD，∴点B点的坐标为（4x，），点C的坐标为（4x，0）＝21，∵S四边形ODBE﹣S△OCE﹣S△OAD＝21，∴S矩形ABCD即：4x•﹣﹣＝21解得：k＝7．故答案为：7．【变7-2】．如图，点是直线AB与反比例函数图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．解：（1）由点A（，4）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴n＝×4＝6，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0），将点B（3，m）代入y＝（x＞0）并解得m＝2，∴B（3，2），设直线AB的表达式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；（2）由点A坐标得AC＝4，则点B到AC的距离为3﹣＝，∴S1＝＝3，设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：∴DE＝6﹣1＝5，由点A（，4），B（3，2）知，点A，B到DE的距离分别为，3，∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝﹣＝，∴S2﹣S1＝﹣3＝．考点8两双曲线k值符号不同模型【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型1两条双曲线的k值符号相同【示例】【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）A．2B．3C．5D．6解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，∴设A点坐标为（x，﹣），则B点坐标为（﹣x，），C（﹣2x，﹣），＝×（﹣2x﹣x）•（﹣﹣）＝×（﹣3x）•（﹣）＝6．∴S△ABC故选：D．变式训练【变8-1】．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：y＝﹣，故A（a，﹣）；将x＝a代入反比例函数y＝中得：y＝，故B（a，），∴AB＝AP+BP＝+＝，＝AB•x P的横坐标＝××a＝，则S△ABC故选：D．【变8-2】．如图，点A和点B分别是反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上＝2，则m﹣n的值为4．的点，AB⊥x轴，点C为y轴上一点，若S△ABC解：连接AO．CO，∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点，∴AB∥y轴，＝S△ABO＝2，∴S△ABC∴＝2．∴＝2，即m﹣n＝4．故答案为：4．1．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝4，在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∴OB＝OA＝2，∴AB＝OB＝2，∴A点坐标为（﹣2，2），把A（﹣2，2）代入y＝得k＝﹣2×2＝﹣4．故选：B．2．如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA＝α，则k的值等于（）A．8sin2αB．8cos2αC．4tanαD．2tanα解：方法一：过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OA交OA的延长线于点F，设C点横坐标为：a，则：CE＝a•tanα，∴C点坐标为：（a，a•tanα），∵平行四边形OABC中，点D为边AB的中点，∴D点纵坐标为：a•tanα，设D点横坐标为x，∵C，D都在反比例函数图象上，∴a×a•tanα＝x×a•tanα，解得：x＝2a，则FO＝2a，∴FE＝a，∵∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA，∴△COE∽△DAF，∴＝＝2，∴AF＝，∴AO＝OF﹣AF＝a，∵点A的坐标为（3，0），∴AO＝3，∴a＝3，解得：a＝2，∴k＝a×a•tanα＝2×2tanα＝4tanα．方法二：∵C（a，a tanα），A（3，0），∴B（a+3，a tanα），∵D是线段AB中点，∴D（，a tanα），即D（，a tanα）．∵反比例函数过C，D两点，∴k＝a•a tanα＝（a+6）•a tanα，解得a＝2，∴k＝4tanα．故选：C．3．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，＝．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（）A．2B．3C．5D．7解：设OA＝3a，则OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a）．设直线AB的解析式是y＝kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y＝﹣x+4a，直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是x＝，则C的坐标是（，），将C点坐标代入反比例函数y＝，则k＝．设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，则OF＝CF＝，OE＝DE＝a，∵∠DOA＝45°，∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，∴OC＝OF＝a，OD＝OE＝a，∴CD＝OD﹣OC＝（）＝（﹣）＝a．∵以CD为边的正方形的面积为，∴＝，则a2＝，∴k＝×＝7．故选：D．4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF+∠EOA＝90°，∵∠BOF+∠FBO＝90°，∴∠EOA＝∠FBO，∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△BFO∽△OEA，在Rt△AOB中，cos∠BAO＝＝，设AB＝，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝，∴OB：OA＝：1，：S△OEA＝2：1，∴S△BFO∵A在反比例函数y＝上，＝1，∴S△OEA＝2，∴S△BFO则k＝﹣4．故选：B．5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．解：如图，∵点A坐标为（﹣1，1），∴k＝﹣1×1＝﹣1，∴反比例函数解析式为y＝﹣，∵OB＝AB＝1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（﹣，t），∵PB＝PB′，∴t﹣1＝|﹣|＝，整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选：A．6．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6解：∵A与C关于OB对称，∴A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入y＝得：2＝，解得：k＝6．故选：D．7．如图，直线y＝与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（）A．3B．6C．D．解：∵将直线y＝向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝x+4，分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD，∵点B在直线y＝x+4上，∴B（x，x+4），∵点A、B在双曲线y＝上，∴3x•x＝x•（x+4），解得x＝1，∴k＝3×1××1＝．故选：D．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k等于﹣12．解：设点C坐标为（a，），（k＜0），点D的坐标为（x，y），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD的中点坐标相同，∴（，）＝（，），则x＝a﹣1，y＝，代入y＝，可得：k＝2a﹣2a2①；在Rt△AOB中，AB＝＝，∴BC＝2AB＝2，故BC2＝（0﹣a）2+（﹣2）2＝（2）2，整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，将①k＝2a﹣2a2，代入后化简可得：a2＝4，∵a＜0，∴a＝﹣2，∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．故答案为：﹣12．方法二：因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点B、A分别向左平移a，向上平移b得到的．故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0），∴﹣a（2+b）＝b（﹣1﹣a），整理得2a+ab＝b+ab，解得b＝2a．过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，由已知易得AD＝2，AH＝a，DH＝b＝2a．AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，得a＝2．所以D坐标是（﹣3，4）所以k＝﹣12．9．如图，点E，F在函数y＝（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF＝1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是2，△OEF的面积是（用含m的式子表示）解：作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，∵△OEP的面积为1，∴|k|＝1，而k＞0，∴k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴＝＝，即HF＝mPE，设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，∵S△OEF＝S△OEC＝1，而S△OFD＝S梯形ECDF＝（+）（tm﹣t）∴S△OEF＝（+1）（m﹣1）＝．故答案为：2，．10．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝．解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．则有PD⊥OA，PE⊥AB．设⊙P的半径为r，∵AB＝5，AC＝1，＝AB•PE＝r，S△APC＝AC•PD＝r．∴S△APB∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，∴OB＝3．＝AC•OB＝×1×3＝．∴S△ABC＝S△APB+S△APC，∵S△ABC∴＝r+r．∴r＝．∴PD＝．∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，∴∠PDC＝∠BOC＝90°．∴PD∥BO．∴△PDC∽△BOC．∴＝．∴PD•OC＝CD•BO．∴×（4﹣1）＝3CD．∴CD＝．∴OD＝OC﹣CD＝3﹣＝．∴点P的坐标为（，）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，∴k＝×＝．故答案为：．11．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①＝；②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是①④（把所有正确的结论的序号都填上）．解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，∴＝，故①正确；∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分＝（k1﹣k2），故②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△CNO，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案为：①④．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x﹣1，双曲线y＝，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝﹣，a2013＝﹣；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是0、﹣1．解：当a1＝2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2＝﹣，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2＝﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3＝﹣，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3＝﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4＝2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4＝，即当a1＝2时，a2＝﹣，a3＝﹣，a4＝2，a5＝﹣，b1＝，b2＝﹣，b3＝﹣3，b4＝，b5＝﹣，∵＝671，∴a2013＝a3＝﹣；点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y＝﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；综上可得a1不可取0、﹣1．故答案为：﹣；﹣；0、﹣1．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CF⊥x轴于F，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴x A＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，∴y P＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），﹣y B＝y P′﹣y A得，由y Q′0﹣1＝y P′﹣3，＝2，∴y P′当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，）．∴P′（4，﹣）．∴PP′＝1，∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，解得x＝．∴C（，0）．＝•（x C﹣x K）•PP′∴S△PKC＝×（﹣1）×1＝．∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．15．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），∴m+1＝2，∴m＝1，∴A（1，2），∵反比例函数y＝经过点（1，2），∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由题意，得，解得或，∴B（﹣2，﹣1），∵C（0，1），＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；∴S△AOB（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．16．已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形OCPD是矩形，∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，∴PC＝PD，∴矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，∵A（3，0）、B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴BD＝4﹣x，∵PD∥OA，∴△PDB∽△AOB，∴，∴，解得x＝，∴P（，），设过点P的函数表达式为y＝，∴k＝xy＝＝，∴y＝；（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，∴ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，＝S△AON+S△ABN，∴S△AOB∴＝+，解得，ON＝，∴N（0，），设直线AN的函数解析式为y＝mx+，则3m+＝0，∴m＝﹣，∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，。
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。
例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
反比例函数的常见模型
反比例函数的常见模型
解决反比例函数的问题，除了掌握反比例函数的图像及性质以及反比例函数常见的面积模型之外，还要熟练掌握以下几个经典模型：【模型 1】正比例函数图像被反比例函数图像所截得的线段相等【模型2】一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段
【模型 3】同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线
【模型 4】反比例函数与矩形（1）
【模型 5】反比例函数与矩形（2）
【模型 6】反比例函数与最值
【模型 7】反比例函数与黄金分割。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=kxk≠0．其解析式有三种表示方法：①xk y =0≠k ；②1-=kx y 0≠k ；③k xy = 2．反比例函数y=kxk≠0的性质1当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一,三象限内⇔在每一象限内,y 随x 的增大而减小．2当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二,四象限内⇔在每一象限内,y 随x 的增大而增大．3在反比例函数y=kx中,其解析式变形为xy=k,故要求k 的值也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积.4若双曲线y=k x图像上一点a,b 满足a,b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根,求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2,又ab=k,∴k=－2,故双曲线的解析式是y=2x-．5由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零,所以图像和x 轴,y 轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图,点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点,且AB 垂直于x 轴,则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点,且3=∆AOB S ,1求m 的值 2求ABC ∆的面积变式题1、如图所示,点1A ,2A ,3A 在x 轴上,且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线,与反比例函数y=x8x>0的图像交于点1B ,2B ,3B ,分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线,分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图,点A 在双曲线1y x =上,点B 在双曲线3y x=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点,直线AB 交x 轴于M点,交y 轴于N 点,再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点,x BF ⊥轴于F 点,再连结DF 两点,则有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MNxy O例2：如图,一次函数y a x b =+的图象与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,与反比例函数ky x=的图象相交于C ,D 两点,分别过C ,D 两点作y 轴,x 轴的垂线,垂足为E ,F ,连接CF ,DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．把你认为正确结论的序号都填上例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ,与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴,垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴,BD y ⊥轴,垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ,连接CD ．1若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上,如图1,试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． 2若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上,如图2,则AN 与BM 还相等吗 试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图,已知反比例函数ky x=k ≠0,x>0上任意两点P 、C ,过P 做PA ⊥x 轴,交x 轴于点A ,过C 做CD ⊥x 轴,交x 轴于点D,则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图,在直角坐标系中,一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A 1,4、B 4,1两点,则△AOB 的面积是______.例5：如图,在直角坐标系中,一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A 1,4、B 3,m 两点,则△AOB 的面积是______.例6：如图1,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点,且点A 的横坐标为4． 1求k 的值；2如图2,过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点点C 在第一象限且在点A 的左边,当四边形ACBD 的面积为24时,求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中,OB =a ,OA =b ,分别以OB ,OA 所在直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点不与B 、C 重合,过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ,则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示,点P 在ky x=的图象上,PC ⊥x 轴于点C ,交1y x =的图象于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图象于点B ,当点P 在ky x=的图象上运动时,以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________把你认为正确结论的序号都填上．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0,则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图,大致是xB FC E A O yA. B. C. D 2、如图,点A 在双曲线xy 6=上,且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴,垂足为c,OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为A.72B.5C.74D.22 3、如图,双曲线xky =k>0经过矩形OABC 的边BC 的中点E,交AB 于点D,若梯形ODBC 的面积为3,则双曲线的解析式为 A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题54、如图,A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点,BC//x 轴,AC//y 轴,ABC ∆的面积记为S,则SA.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示,等腰直角三角形ABC 位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A 在直线y=x 上,其中A 点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC 分别平行于x 轴,y 轴,若双曲线y=kxk≠0与△ABC 有交点,则k 的取值范围是A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图,点A 在双曲线1y x =上,点B 在双曲线3y x=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四DB AyxO C边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .2、如图,双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C,∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB ∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C,B ＇点落在OA 上,则四边形OABC的面积是 . 3、如图,将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中,B 2,0,∠AOB ＝60°,点A 在第一象限,过点A 的双曲线为y = 错误! ,在x 轴上取一点P ,过点P 作直线OA 的垂线l ,以直线l 为对称轴,线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.1当点O ′与点A 重合时,点P 的坐标是 .2设Pt ,0,当O ′B ′与双曲线有交点时,t 的取值范围是 .4、如图,已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为6-,4,则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图,14y x=, 过1y 上的任意一点A ,作x 轴的平行线交2y 于B , 交y 轴于C ,若1AOB S ∆=,则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图,直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点Pa,b,且a,b 是方程t 2－4t －2=0的两个根,则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点,则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点Pa,b,其中a,b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根,那么点P 的坐标是_______． 5、如图,已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ,与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3,则k ＝___．第5题图 第6题图 与反比例函数y=2x的图像6、如图,已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点,点B 在x 轴的负半轴上,且OA=OB,那么△A OB 的面积为 A ．2 B ．22C ．2D ．227、已知P 为函数y=2x的图像上一点,且P 到原点的距离为3,则符合条件的P 点数为 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个AB CD E yx O。
2021中考备考资料-中考数学专题讲义-反比例函数常见几何模型
分别过,,作y 轴平行1A 2A 3A ,作x 轴的平行线，2B 3B 影部分的面积之和为上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，任意不重合的两点，直线AB 交轴于M x 轴于F 点，x BF ⊥D
F
图1图2
x 的面
两点，
A. B. C. D
的中点E ，交AB 于点D ，若梯形 D. x
y 6
= 题3 题4 如图，A,B 是函数的图像上关于原点对称的任意两点，x
y 2=的面积记为S ，则S （ ）A.S=2 B.S=4
C.2<S<4 、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，
AB=AC=2，直角顶点A 在直线1≤k<4上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，
B
、如图，双曲线经过四边形的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC )0(2 x x
y =轴正半轴的夹角，AB ∥轴，将△x
2、反比例函数y=k
x
的图像上有一点
k=_______；点P到原点的距离3、已知双曲线xy=1与直线
4、反比例函数y=k
的图像经过点
2
x
的图像在第一象限内的交点，
的面积为（）
2。
反比例函数几何模型(9大模型11类题型)(模型梳理与题型分类讲解)(解析版)25学年九年级数学上册
反比例函数几何模型（9大模型梳理11类题型讲解）第一部分【模型梳理与题型目录】反比例函数存在面积不变形的特征,所以可以和很多基础图形组成相关模型,而这些模型恰好是反比例函数压轴题的解答关键,现总结如下:【模型1】矩形面积模型变式1 变式2 变式3 变式4 变式5【模型2】三角形面积模型变式1 变式2 变式3 变式4 变式5【模型3】直角三角形与平行四边形面积模型基本图形 变式1 变式2 变式3【模型4】三角形面积等于梯形面积模型基本图形：BECDAOE S S 梯形=∆基本图形BECD AOE S S 梯形=∆变式图形ACDB AOB S S 梯形=∆ 【模型5】双曲线对称模型双曲线为中心对称图形，坐标轴的交为其对称中心【模型6】双曲线组合面积模型若A 、B 两点分别在双曲线x k y 1=和xky 2=上，而且AB//x变式变式【模型7】垂直形成平行线段模型基本图形：MNAB x BN y AM //⇒⊥⊥轴轴，基本图形：MN AB x BN y AM //⇒⊥⊥轴轴， 变式图形 BD AC =证明思路：基本图形中连接AN 、BM ，利用面积相等同底等高可得AB//MN,变式图形中，利用三角形全等可证AC=BD.【模型8】矩形中的平行线段模型如上图,反比例函数的图象与矩形OABC 边分别交于P 、Q 两点，则有以下两个结论：（1）PQ ∥AC ； （2）AP:PB=CQ: QB 【模型9】双曲线组合平行模型如上图：有任意两个反比例函数图象,过原点任意作两条指向第一象限的射线,与前两图象分别交于A 、C 以及B 、D 点，则AB//CD.题型目录【题型1】矩形面积模型.....................................................4; 【题型2】三角形面积模型...................................................8；【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型..................................11；【题型4】三角形面积等于梯形面积模型......................................14；【题型5】双曲线对称模型..................................................18；【题型6】双曲线组合面积模型..............................................20；【题型7】垂直形成平行线段模型............................................23；【题型8】矩形中的平行线段模型............................................29；【模型9】双曲线结合平行模型..............................................34;【模型10】直通中考.......................................................36;【模型11】拓展延伸.......................................................37.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】矩形面积模型【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A (0,3)，()1,0B ，以线段AB 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．若反比例函数()0ky x x=>的图象经过点C ，则k 的值为 ．【答案】4【分析】过点C 作CE x ⊥轴于点E ,作CF y ⊥轴于点F ，根据等腰直角三角形的性质可证出()AAS ACF BCE V V ≌，从而得出AOB ABC OECF OBCA S S S S ==+△△矩形四边形，勾股定理可得出AB 的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k 的几何意义，即可求出k 值．解：如图，过点C 作CE x ⊥轴于点E ,作CF y ⊥轴于点F ，Q CE x ⊥轴，CF y ⊥轴，90EOF Ð=°∴四边形OECF 是矩形，90ECF \Ð=°ABC QV 为等腰直角三角形，90,ACF FCB FCB BCE AC BC \Ð+Ð=Ð+Ð=°=,ACF BCE\Ð=Ð在ACF △和BCE V 中90AFC BEC ACF BCE AC BC Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î()AAS ACF BCE \V V ≌,ACF BCES S \=△△AOB ABCOECF OBCA S S S S \==+△△矩形四边形∵点A (0,3)，()1,0B，AB \==ABC QV为等腰直角三角形，AC BC \==1113422AOB ABC OECF S S S \=+=´´+=△△矩形,Q 反比例函数ky x=（x ＞0）的图象经过点C ，4k \=．【点拨】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、全等三角形的判定及性质、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角度的计算，证出()AAS ACF BCE V V ≌是解题的关键．【变式1】（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，点A 是反比例函数()40y x x=-<的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数()0k y k x =¹系数k 的几何意义：从反比例函数()0ky k x=¹图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH OB ⊥于H ，根据平行四边形的性质得AD OB ∥，则AHOD ABCD S S =矩形平行四边形，再根据反比例函数()0ky k x=¹系数k 的几何意义得到44AHOD S =-=矩形，所以有4ABCD S =平行四边形．解：作AH OB ⊥于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD OB ∥，∴AHOD ABCD S S =矩形平行四边形，∵点A 是反比例函数()40y x x=-<的图象上的一点，∴44AHOD S =-=矩形，∴4ABCD S =平行四边形．故选：B ．【变式2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 过原点O ，与反比例函数8y x=-图象交A B 、两点，AC x ⊥轴于点C ，则ABC V 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，根据反比例函数的对称性和反比例函数系数k 的几何意义，可求出1122AOC BOC ABC S S S k ===V V V ，再根据k 的值求面积即可．解：由对称性可知，OA OB =，\1122AOC BOC ABC S S S k ===V V V ，AC x ⊥Q 轴，8y x=-，\11822AOC BOC ABC S S S ===´-V V V ，8ABC S \=V ．故答案为8．【变式3】（23-24九年级下·山东菏泽·开学考试）如图，在反比例函数()20y x x=>的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P ，…，n P ，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n ，…，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，4S ，…，n S ，…，则1232024S S S S +++×××+的结果为 ．【答案】40482025/202312025【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为k ．根据反比例函数几何意义，1232024S S S S +++¼+等于点1P 与坐标轴围成的矩形面积，即可解题．解：由题可知：点1P 坐标为()1,2，点n P 的坐标为2n n æöç÷èø，，∴点1P 与点1n P +的纵坐标之差为221n -+，∴1232024240481220252025S S S S æö+++¼+=´-=ç÷èø．故答案为：40482025．【题型2】三角形面积模型【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（ ） 个．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数ky x=（k 为常数，0k ¹）图象上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k ．据此逐项分析即可．解：左起第一个图．阴影部分面积为11212´-´=，此选项符合题意；第二个图．阴影部分的面积为11212´´=，此选项符合题意；第三个图．阴影部分的面积为 11112222æö´-+´´=ç÷èø，此选项不符合题意；第四个图．阴影部分的面积为 1111122´-+´=，此选项符合题意；所以正确的个数共有3个．故选：B ．【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知点A 为反比例函数()60y x x=>图像上一点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，C 为y 轴上一点，则ABC V 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义，连接OA ，由已知条件可得AB OC ∥，进而可得出OAB CAB S S =△△，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得出116322OAB S k ==´=V ，即可得出答案．解：连接OA ，如图：∵AB x ⊥轴，∴AB OC ∥，∴OAB CAB S S =△△，而116322OAB S k ==´=V ，∴3ABC S =△，故选：A ．【变式2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，点A 在x 轴的负半轴上，点C 在反比例函数(0)ky k x =>的图象上，AC 交y 轴于点B ，若点B 是AC 的中点，AOB V 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】本题主要考查了反比例系数k 的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过C 作CD y ⊥轴于D ，证明DBC OBA ≌△△，求得BD BO =，3DBC OBA S S ==△△，得到3DBC OBC S S ==△△，即可确定k 的值．解：过C 作CD y ⊥轴于D ，如图：CD y ⊥Q 轴，AO y ⊥轴，\CD AO ∥，\DCB OAB Ð=Ð，Q DBC OBA Ð=Ð，点B 是AC 的中点，\AB BC =，\DBC OBA ≌△△，\BD BO =，3DBC OBA S S ==△△，\3DBC OBC S S ==△△，6COD S \=△，Q 点C 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，\1||62k =，12k \=．故选：C ．【变式3】（2024·河南南阳·三模）如图，点A 是反比例函数 8y x=()0x >图象上的一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点Q 是x 轴上任意一点，连接QA QB ，，则ABQ V 的面积为．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义，连接AO ，根据反比例函数k 值的几何意义解答即可，熟练掌握k 值的几何意义是关键．解：如图，连接AO ，Q 过点A 作AB y ⊥轴于点B ，AB x \∥轴，8422ABO ABQ k S S \====△△，故答案为：4．【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型【例3】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，直线AB 经过原点O ，与反比例函数ky x=交于A B 、两点，AC y ∥轴，BC x ∥轴，若ABC V 的面积为2，则k 的值为 ．【答案】1【分析】此题考查了直线与反比例函数交点问题，相似三角形的性质和判定，利用k 的几何意义是解题的关键．设AC 与x 轴交于点M ，证明出AOM ABC ∽△△，然后得到221124AOM ABC S OA S AB æöæö===ç÷ç÷èøèøV V ，然后求出12AOM S =△，然后利用k 的几何意义求解即可．解：设AC 与x 轴交于点M∵直线AB 经过原点O ，与反比例函数ky x=交于A B 、两点，AC y ∥轴，BC x ∥轴，∴OA OB =，AOM ABC∽△△∴221124AOM ABC S OA S AB æöæö===ç÷ç÷èøèøV V ∵ABC V 的面积为2∴12AOM S =△∴21AOM k S ==V ∵反比例函数图象在一，三象限∴1k =．故答案为：1．【变式1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，P 是函数4y x=在第一象限的图象上任意一点，点P 关于原点的对称点为P ¢，过P 作PA 平行于y 轴，过P ¢作P A ¢平行于x 轴，PA 与P A ¢交于点A 点，则PAP ¢V 的面积（）A ．随P 点的变化而变化B ．等于8C ．等于4D ．等于6【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、关于原点对称的点的坐标，设(),P x y ，则(),P x y ¢--，根据题意得2PP A S xy ¢=V ，再根据函数解析式即可求解，解决本题的关键把所求的三角形的面积整理为和反比例函数的比例系数有关的式子．解：设(),P x y ，则(),P x y ¢--，那么PP A ¢V 的面积1122222PA P A y x xy ¢=´´=´´=，4xy Q =，∴PAP ¢V 的面积为8，故选B ．【变式2】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，OABC Y 的边BC 与y 轴交于点D ，且D 是BC 边的中点，反比例函数5(0)y x x=-<与9(0)2y x x =>的图象分别经过B ，C 两点，则OABC Y 的面积为 ．【答案】192【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明BDE CDF V V ≌，推出BDE CDF S S =V V ，由反比例函数的性质求得52OBE S =△，94OCF S =V ，再求得194OBC S =△，据此求解即可．解：过点B 和C 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 和F ，连接OB ，∴BE CF ∥，BED CFD Ð=Ð，BDE CDF Ð=Ð，∵D 是BC 边的中点，即BD CD =，∴BDE CDF V V ≌，∴BDE CDF S S =V V ，∵点B 在反比例函数5(0)y x x =-<的图象，∴52OBE S =△，同理94OCF S =V ，∴5919244OBC OCF OBE S S S =+=+=△△△，∴OABC Y 的面积为1922OBC S =△，故答案为：192．【题型4【例4】（2024·江苏泰州·三模）如图，点A ，B ，在反比例函数4y x=的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为1S 、2S ；若11S =，则AMBN= ．【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12k 是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出OAM V 、OBN V 的面积，然后求出OCM V 的面积，利用相似三角形的性质得到2OCM OBN S OM S ON æö=ç÷èøV V 即可求解．解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴2OAM OBN S S ==V V ，∴1211OCM OAM S S S =-=-=V V ，又∵AM BN P ，∴OCM OBN V V ∽，∴212OCM OBN S OM S ON æö==ç÷èøV V ，∴OM ON =又∵OM AM ON BN ×=×，∴AM ONBN OM==【变式1】（2024·贵州黔东南·一模）如图，已知()()121,4,A y B y 、为反比例函数()40y x x=>图象上的两点，连接OA OB AB ，，，则三角形OAB 的面积是（ ）A ．4B ．92C ．154D ．152【答案】D【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点A B 、作y轴和x 轴的垂线，垂足分别为E F 、，且EA FB 、的延长线交于点P ．根据()OAB OEA OFB APB EOFP S S S S S =-++V V V V 四边形求得即可．解：分别过点A B 、作y 轴和x 轴的垂线，垂足分别为E F 、，且EA FB 、的延长线交于点P ，()()121,4,A y B y Q 、都是反比例函数4y x=图象上的两点，124,1y y \==，()()1,44,1A B \、，16EOFP S \=四边形，9172222OEA OFB APB S S S ++=++=V V V Q ，()152OAB OEA OFB APB EOFP S S S S S \=-++=V V V V 四边形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则OAB △的面积是（ ）A ．3B ．2C ．3.5D ．4【答案】A【分析】如图所示，分别过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，根据反比例函数比例系数的几何意义得到2ACO BDO kS S ==△△，进而证明AOB ACDB S S =△梯形，求出A 、B 的坐标，得到212AC BD CD ===，，，再根据梯形面积公式进行求解即可．解：如图所示，分别过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，∵A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，∴2ACO BDO k S S ==△△，∵AOB BOD AOC AODB ACDB S S S S S =+=+△△△四边形梯形，∴AOB ACDB S S =△梯形，在4y x=中，当2x =时，2y =，当4x =时，1y =，∴()22A ，，()41B ，，∴212AC BD CD ===，，，∴212322AOB ACDB AC BD S S CD ++==×=´=△梯形，故选A ．【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，证明AOB ACDB S S =△梯形是解题的关键．【变式3】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数()0ky k x=¹经过A 、B 两点，分别过A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若AEO △的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（ ）A ．2B ．32C ．3D ．1【答案】C【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，由k 的几何意义得ACO BDO S S k ==V V ，即AEO OCE OCE BDCE S S S S +=+V V V 四边形，即可求解；理解k 的几何意义“过反比例函数上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为12k ．”是解题的关键．解：由题意得ACO BDO S S k ==V V ，AEO OCE OCE BDCE S S S S \+=+V V V 四边形，AEO BDCE S S \=V 四边形，3AEO BDCE S S \==V 四边形；故选：C ．【题型5】双曲线对称模型【例5】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点()2,P a a 是反比例函数8y x=的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】16【分析】本题考查了反比例函数图象和正方形的中心对称性、反比例函数比例系数k 的几何意义和正方形的面积，由反比例函数比例系数k 的几何意义求出点P ，再利用反比例函数图象的中心对称性求出阴影部分的面积，解题的关键是通过比例系数k 的几何意义求出点P 的坐标从而求出点B 的坐标．解：如图，∵点()2,P a a 在反比例函数8y x=图象上，∴28a a ´=，解得：2a =，或2a =-（舍去），∴()4,2P ，∵正方形ABCD 的中心为原点O ，∴()4,4B ，∴8864ABCD S =´=正方形，∵反比例函数图象具有中心对称性，∴11641644ABCD S S ==´=阴影正方形，故答案为：16．【变式1】（2024·陕西·模拟预测）已知P 、Q 两点分别在反比例函数()20my m x =¹和()33m y m x-=¹的图象上，若点P 与点Q 关于y 轴对称，则m 的值为 ．【答案】1【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设(),P a b ，根据点P 与点Q 关于y 轴对称，求出(),Q a b -，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解．解：设(),P a b ，Q 点P 与点Q 关于y 轴对称，\点(),Q a b -，Q P 、Q 两点分别在反比例函数()20my m x =¹和()33m y m x-=¹的图象上，\23m abab m =ìí-=-î\23m m=-解得：1m =，故答案为∶1．【变式2】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，8AB =，直线AB 经过原点O ，点C 在y 轴上，AC 交x 轴于点D ，:4:3CD AD =，若反比例函数ky x=经过A ，B 两点，则k 的值为 ．【答案】-【分析】过点A 作AE x ⊥轴于点E ，可得COD AED ∽V V ，根据对应边成比例可知4CO =，进而可得A 的坐标，代入即可得k 解：解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，ODC EDA Ð=ÐQ ，90COD AED Ð=Ð=°，COD AED \∽V V ，\43CD CO AD AE ==，A Q 、B 关于原点对称，OA OB \=，ABC △Q 为直角三角形，1184CO AB \==´=，3AE \=，OE \)3A\-，把A 的坐标代入ky x=可得k =-．故答案为：-【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由两角对应相等得到三角形相似是解题关键．【题型6】双曲线组合面积模型【例6】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数()10y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x=>的图象交于点B ，则AOBO 的值为（ ）A ．12B ．14C D ．13【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，证明AOC OBD △∽△，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．解：过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∴11122ACO S =´-=V ，1422BDO S =´=V ，90ACO ODB Ð=Ð=°，∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD Ð=Ð=°-Ð，∴AOC OBD △∽△，∴2ACO BDO S OA S OB æö=ç÷èøV V ，即2122OA OB æö=ç÷èø，∴12OA OB =（负值舍去），故选：A ．【变式1】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，函数1(0,0)a y a x x =>>，2(0,0)by b x x=>>的图像与平行于x 轴的直线分别相交于A ，B 两点，且点A 在点B 的右侧，点C 在x 轴上，ABC V 的面积为2，则a b -= ．【答案】4【分析】连接AO 、BO ，设直线AB 与y 轴的交点为D ，根据反比例函数图像上的点的性质可得12AOD S a =V ，12BOD S b =V ，则可得()12AOB AOD BOD S S S a b =--V V V ，再根据AOB V 与ABC V 同底等高，面积相等，即可求出a b -的值．本题主要考查了反比例函数图像的性质：从反比例函数()0ky k x=¹图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点所构成的直角三角形的面积等于12k ．熟练掌握以上知识是解题的关键．解：连接AO 、BO ，设直线AB 与y 轴的交点为D ，∵A ，B 两点分别 在函数1(0,0)a y a x x =>>，2(0,0)by b x x=>>的图像上，∴111222AOD S AD OD a a =×==V ，111222BOD S BD OD b b =×==V ，()111AOB AOD BOD S S S a b a b \=-=-=-V V V．AB x Q ∥轴，2A C AOB B S S =\=V V ，()122a b \-=，4a b \-=．故答案为：4．【变式2】（23-24八年级上·上海·阶段练习）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，过点A 、B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D 、C ，那么四边形ABCD 的面积是．【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数关系k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形EODA 的面积为1，矩形BCOE 的面积是3，则矩形ABCD 的面积为312-=．解：过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AB P x 轴，则点E A B 、、在同一直线上，∵点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，∴矩形EODA 的面积为1，矩形BCOE 的面积是3，∴矩形ABCD 的面积为312-=，故答案为：2．【题型7】垂直形成平行线段模型【例7】（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线my x=相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．如图，当点A 落在x 轴负半轴时，过点C 作x 轴的垂线垂足为E ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．当2CD=时，则点C 的坐标为 ．【答案】()3,2--【分析】先证明EFC V 的面积和EFD V 的面积相等； 证明四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形，故可得出CE BF =，FDB EAC Ð=Ð，再由全等三角形的判定定理得出DFB AEC ≌V V ，故AC BD =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==， 可得12DB AB =，再证明DFB AOB ∽△△，可算出2OA =，4OB =，进一步可得答案．解：如图，连接CF ，ED ，CO ，∵y kx b =+于my x=相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．∴6m =，即反比例为6y x=，设(),C a b ，则6ab =，∵1632EFC EOC S S ==´=V V ，而11632EFD S =´´=V ，∴EFC EFD S S =V V ；∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴EF CD ∥，∵DF AE ∥，BF CE ∥，∴四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形， FDB BAO Ð=Ð，∴CE BF =，∵BAO EAC Ð=Ð，∴FDB EAC Ð=Ð， ∵90BFD CEA Ð=Ð=°，∴DFB AEC ≌V V ， ∴AC BD =， ∵2CDAB=，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==， ∴12DB AB =， ∵DF AO ∥， ∴DFB AOB ∽△△， ∴12DF DB BF AO AB BO ===， ∵1DF =， ∴2OA =， ∵6OF =， ∴4OB =，∴A (―2,0)，()0,4B ，∴直线AB 的解析式为24y x =+，联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得246y x y x ìïíï=+î= ， 解得：32x y =-ìí=-î，16x y ìíî== ， ∴()3,2C --．故答案为：()3,2--【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A ，B 分别在函数()0ay a x=>图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数by x=(0b <，0x <)图象上，AE x P 轴，BD y ∥轴，连接DE ，BE ．（1）若2AC BC =，ABE V 的面积为9，则a b -的值为 ．（2）在（1）的条件下，若四边形ABDE 的面积为14，则经过点D 的反比例函数解析式为 ．【答案】123y x=-【分析】（1）设,a A m m æöç÷èø，可求,bm a E a m æöç÷èø，可求A B y AC y BC =-，从而可求2,2a B m m æö--ç÷èø，2,2b D m m æö--ç÷èø，由()192E B AE y y ×-=，即可求解；（2）可求5BDE S =V ，由()152E B BD x x -=，即可求解．解：（1）解：设,a A m m æöç÷èø，Q AE x ∥轴，b a x m \=，解得：bm x a=，,bm a E a m æö\ç÷èø，2AC BC =Q ，2ACBC \=，A B y AC y BC \=-，2Bam y \=-，解得：B a y =-，2a a x m \=-，解得：2x m =-，\2,2a B m m æö--ç÷èø，Q BD y ∥轴，2,2b D m m æö\--ç÷èø，A EAE x x \=-bm m a=-，Q ABE V 的面积为9，()192E B AE y y \×-=，1922bm a a m a m m æöæö\-+=ç÷ç÷èøèø，解得：12a b -=；故答案：12．（2）解：Q 四边形ABDE 的面积为14，1495BDE S \=-=V ，由（1）得：D BBD y y =-22b a m m æö=---ç÷èø2a bm-=，()152E B BD x x \-=，12522a b bm m m a -æö\´×+=ç÷èø，12a b -=Q 解得：3b =-，3y x \=-；故答案：3y x=-．【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键．【变式2】（22-23九年级下·山东威海·阶段练习）如图，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数ky x=的图象交于点E ，F ．若2AB EF =，则k 的值为 ．【答案】34/0.75【分析】作FH x ⊥轴，EC y ⊥轴，垂足分别为H ，C ，FH 与EC 交于点D ，首先求出A B 、的坐标，再证明OAB △为等腰直角三角形，进而得出12EF AB ==DEF V 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出1DE DF ===，然后设点F 的坐标为()2t t -+，，则点E 的坐标为()11t t +-+，，再根据yx k =，得出()()()211t t t t -+=+-+，解出即可得出点E 的坐标，再把点E 的坐标代入yx k =，计算即可得出答案．解：如图，作FH x ⊥轴，EC y ⊥轴，垂足分别为H ，C ，FH 与EC 交于点D ，∵直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴当0y =时，2x =，当0x =时，2y =，∴()20A ，，()02B ，，∴2OA OB ==，∵90AOB Ð=°，∴45OAB OBA Ð=Ð=°，∴OAB △为等腰直角三角形，∴AB ==∴12EF AB ==∵FH x ⊥轴，EC y ⊥轴，∴FH OB ∥，EC OA ∥，∴45DFE OBA Ð=Ð=°，45DEF OAB Ð=Ð=°，∴DEF V∴1DE DF ===，又∵点F 、E 在直线2y x =-+上，∴设点F 的坐标为()2t t -+，，则点E 的坐标为()11t t +-+，，∵点F 、E 在反比例函数ky x=上，又∵yx k =，∴()()()211t t t t -+=+-+，解得：12t =，∵312t +=，112t -+=，∴点E 的坐标为3122æöç÷èø，，∴313224k xy ==´=，∴k 的值为34．故答案为：34【点拨】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、解一元一次方程，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并正确作出辅助线．【题型8】矩形形成平行线段模型【例8】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形OABC 顶点A 、C 分别在x 、y 轴上，双曲线()0ky x x=>分别交BC AB 、于点D 、E ，连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接AC ．下列结论：①DE CA ∥；②ACDF S k =四边形；③若2BD CD =，则2AE BE =；④若点E 为DF 的中点，且3AEF S =△，则12k =；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】设()B a b ，，则()0A a ，，()0C b ，，k D b b æöç÷èø，，k E a a æöç÷èø，，待定系数法可得直线AC 的解析式为b y x b a =-+；直线DE 的解析式为b ky x b a a =-++；可得DE CA ∥，可判断①的正误；如图，连接OD ，则2COD kS =V ，证明四边形ACDF 是平行四边形，则2COD ACDF S S k ==V 四边形，可判断②的正误；当2BD CD =时，2k k a b b -=´，即3k a b =，则3k B b b æöç÷èø，，30k A b æöç÷èø，，33k b E b æöç÷èø，，3b AE =，23b BE =，可得2BE AE =，可判断③的正误；当点E 为DF 的中点时，证明()AAS DEB FEA V V ≌，则BE AE =，3DEB FEA S S ==V V ，132BD BE ×=，同理③，BD CD =，则212ACDF S CD AB BD BE =´=´=四边形，12ACDF S k ==四边形，可判断④的正误．解：设()B a b ，，则()0A a ，，()0C b ，，∵点D 、E 在双曲线()0ky x x=>上，∴k D b b æöç÷èø，k E a a æöç÷èø，，待定系数法可得直线AC 的解析式为by x b a=-+；同理可得，直线DE 的解析式为b k y x b a a=-++；∴DE CA ∥，①正确，故符合要求；如图，连接OD ，∴2COD kS =V ，∵DF CA ∥，CD AF ∥，∴四边形ACDF 是平行四边形，∴2COD ACDF S S k ==V 四边形，②正确，故符合要求；当2BD CD =时，2k k a b b -=´，即3k a b=，∴3k B b b æöç÷èø，，30k A b æöç÷èø，，33k b E b æöç÷èø，，∴3b AE =，23b BE =，∴2BE AE =，③错误，故不符合要求；当点E 为DF 的中点时，∵90DBE FAE Ð=°=Ð，DEB FEA Ð=Ð，=DE EF ，∴()AAS DEB FEA V V ≌，∴BE AE =，3DEB FEA S S ==V V ，∴132BD BE ×=，同理③，BD CD =，∴212ACDF S CD AB BD BE =´=´=四边形，∴12ACDF S k ==四边形，④正确，故符合要求；故答案为：①②④．【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k 的几何意义等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定与性质，反比例函数比例系数k 的几何意义是解题的关键．【变式1】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线()0k y x x=>图象上有A ，B 两点，过A 点作AC x ⊥轴于点C ，过B 点作BD y ⊥轴于点D ，AC BD 、交于点E ，若AOB V 的面积为2，COD △的面积为3，则k 的值为 ．【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．设(),,,0k k A a B b a b a b æöæö>>ç÷ç÷èøèø，可得点(),,0,0,k k E a C a D b b æöæöç÷ç÷èøèø，，从而得到,k k AE BE a b b a=-=-，再由四边形OCED 是矩形，26COD OCED S S ==矩形V ，6k b a =，从而得到()()261212ABE k k k S a b b a æè-=-=ö-ç÷øV ，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得12AOC BOD S S k ==V V ，再由AOB AOC BOD ABE OCED S S S S S =+++矩形V V V V ，列出方程，即可求解．解：设(),,,0k k A a B b a b a b æöæö>>ç÷ç÷èøèø，由函数图象得：0k >，Q AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，AC BD 、交于点E ，\点(),,0,0,k k E a C a D b b æöæöç÷ç÷èøèø，，\,k k AE BE a b b a=-=-，Q 90COD OCE ODE Ð=Ð=Ð=°，\四边形OCED 是矩形，Q COD △的面积为3，\26COD OCED S S ==矩形V ，6k b a =，()()261212ABE k k k S a b b a æè-=-=ö-ç÷øV ，Q 双曲线()0ky x x =>图象上有A ，B 两点，\12AOC BOD S S k ==V V ，Q AOB V 的面积为2，COD △3，AOB AOC BOD ABE OCED S S S S S =+++矩形V V V V ，()2211662212k k k \-=+++，整理得：212k =，k \=±0k >Q ，k \=，故答案为：【变式2】（21-22九年级上·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(k 0,x 0)k y x=¹>的图像与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ，ND x ⊥轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①OCN OAM @V V ；②ON MN =；③四边形DAMN 与MON △面积相等；④若45MON Ð=°，2MN =，则点C的坐标为1)．其中正确结论的有 ．【答案】①③④【分析】设正方形OABC 的边长为a ，表示出A ，B ，C ，M ，N 的坐标，利用SAS 得到三角形OCN 与三角形OAM 全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON 与MN ，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN 与三角形OAM 全等，根据三角形MON 面积=三角形OND 面积+四边形ADNM 面积-三角形OAM 面积，等量代换得到四边形DAMN 与MON ∆面积相等，结论③正确；过O 作OH 垂直于MN ，如图所示，利用ASA 得到三角形OCN 与三角形OHN 全等，利用全等三角形对应边相等得到1CN HN ==，求出a 的值，确定出C 坐标，即可对于结论④做出判断．解：设正方形OABC 的边长为a ，得到(,0)A a ，(,)B a a ，(0,)C a ，(,)k M a a ，(k N a，)a ，在OCN ∆和OAM ∆中，90k CN AM a OCN OAM OC OA a ì==ïïÐ=Ð=°íï==ïî，()ΔΔOCN OAM SAS \@，结论①正确；根据勾股定理，ON ===2|MN a k ==-，ON \和MN 不一定相等，结论②错误；ΔΔODN OAM S S =Q ，ΔΔΔMON ODN OAM DAMN DAMN S S S S S \=+-=四边形四边形，结论③正确；过点O 作O H M N ⊥于点H，如图所示，ΔΔOCN OAM @Q ，ON OM \=，CON AOM Ð=Ð，45MON Ð=°Q ，2MN =，1NH HM \==，22.5CON NOH HOM AOM Ð=Ð=Ð=Ð=°，()ΔΔOCN OHN ASA \@，1CN HN \==，\1k a=，即k a =，由2|MN a k -得，22|a a -，整理得：210=，解得：1a ==\点C 的坐标为1)，结论④正确，则结论正确的为①③④，故答案为：①③④【点拨】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．【题型9】三角形形成平行线段模型【例9】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB V 的顶点A 在函数4(0)y x x =>的图象上，顶点B 在x 轴正半轴上，边AO ，AB 分别交的数1(0)y x x =>，4(0)y x x=>的图象于点M ，N ．连接MN ，若MN x ∥轴，则AOB V 的面积为．【答案】6【分析】设M 点的坐标为1,b b æöç÷èø，N 点的坐标为4,b b æöç÷èø，表示出3MN b =，根据相似，求出6OB b =，2AF b =，进而求出AOB V 的面积．解：∵MN x ∥轴，∴AMN AOB V V ∽，点M ，N 的纵坐标相同，设M 点的坐标为1,b b æöç÷èø，N 点的坐标为4,b b æöç÷èø，∴3MN b=，如图，过点M 作ME x ⊥轴，点A 作AF x ⊥轴，∴MOE AOF V V ∽，根据反比例函数与三角形的面积关系可得：2AOF S =V ，0.5MOE S =V ，∴0.5124MOE AOF S S ==V V ，∵相似三角形中面积比等于相似比的平方，∴12OM OA =，∴12AM OA =，∵AMN AOB V V ∽，∴1AM MN ==，即312b OB =，∴6OB b=，∵M 点的坐标为4,b b æöç÷èø，∴ME b =，∴2AF b =，∴1162622AOB S OB AF b bV =××=´´=，故答案为：6．【点拨】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型9】直通中考【例10】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A ，B 分别在函数(0)a y a x=>图象的两支上（A 在第一象限），连接AB 交x 轴于点C ．点D ，E 在函数(0,0)b y b x x=<<图象上，AE x P 轴，BD y ∥轴，连接,DE BE ．若2AC BC =，ABE V 9，四边形ABDE 的面积为14，则a b -的值为 ，a 的值为 ．【答案】 12 9【分析】如图，延长BD ，AE 交于点Q ，BD 与x 轴交于点K ，而AE x P 轴，BD y ∥轴，可得90Q Ð=°，BDE V 的面积是5，设,a A m m æöç÷èø，,a B n n æöç÷èø，则,a Q n m æöç÷èø，,b D n n æöç÷èø，,bm a E a m æöç÷èø，利用面积可得()()10b a bm an na --=①，()()18n m a b n --=②，由OK AQ ∥，2AC BC =，可得2QK BK =，可得2n m =-③，再利用方程思想解题即可．解：如图，延长BD ，AE 交于点Q ，BD 与x 轴交于点K ，而AE x P 轴，BD y ∥轴，∴90Q Ð=°，∵ABE V 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，∴BDE V 的面积是5，设,a A m m æöç÷èø，,a B n n æöç÷èø，∴,a Q n m æöç÷èø，,b D n n æöç÷èø，,bm a E a m æöç÷èø∴b a BD n n =-，bm EQ n a =-，bm AE m a =-，a a BQ m n=-，∴152b a bm n n n a æöæö--=ç÷ç÷èøèø，192bm a a m a m n æöæö--=ç÷ç÷èøèø，整理得：()()10b a bm an na --=①，()()18n m a b n --=②，∵OK AQ ∥，2AC BC =，∴12BK BC QK AC ==，∴2QK BK =，∴2a a m n æö=´-ç÷èø，则2n m =-③，把③代入②得：()()3182m a b m --=´-，∴12a b -=，即12b a =-④，把③代入①得：()()220b a b a a -+=-⑤，把④代入⑤得：9a =；故答案为：12；9【点拨】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．【题型11】拓展延伸。
反比例函数6个模型
反比例函数6个模型反比例函数是数学中常见的一种函数关系，表示两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
在实际生活中，有很多与反比例函数相关的问题，如速度与时间、密度与体积等。
下面将介绍6个反比例函数的模型及其应用。
一、速度与时间模型速度与时间成反比例函数的模型可以表示为v=k/t，其中v表示速度，t表示时间，k为比例常数。
在实际应用中，比如汽车行驶，行驶的速度与所用的时间成反比。
这个模型在物理学和工程学中非常常见。
二、密度与体积模型密度与体积成反比例函数的模型可以表示为d=k/V，其中d表示密度，V表示体积，k为比例常数。
例如，气体的密度与其体积成反比，当气体的体积增大时，密度相应减小。
三、电阻与电流模型电阻与电流成反比例函数的模型可以表示为R=k/I，其中R表示电阻，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路中非常重要，它描述了电阻对电流的阻碍作用。
四、人口增长与资源消耗模型人口增长与资源消耗成反比例函数的模型可以表示为P=k/R，其中P表示人口数量，R表示资源消耗，k为比例常数。
这个模型可以用来研究人口爆炸对资源的需求与消耗关系。
五、物体质量与重力加速度模型物体质量与重力加速度成反比例函数的模型可以表示为m=k/g，其中m表示物体质量，g表示重力加速度，k为比例常数。
这个模型可用于计算物体在不同重力场中的质量。
六、电压与电流模型电压与电流成反比例函数的模型可以表示为V=k/I，其中V表示电压，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路分析中广泛使用，它描述了电阻对电流和电压的影响。
总结起来，反比例函数具有多种模型，分别应用于速度与时间关系、密度与体积关系、电阻与电流关系、人口增长与资源消耗关系、物体质量与重力加速度关系以及电压与电流关系。
这些模型在不同领域有着广泛的应用，帮助我们理解和解决实际问题。
初中数学58种模型之41、反比例函数常见几何模型
x
x
的图象于点 B，当点 P 在 y k 的图象上运动时，以下结论：
x
①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与
PB 始终相等；④当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．其中一定正
确的是
_________（把你认为正确结论的序号都填
上）．
线，与反比例函数
y=
8 x
(x>0)的图像交于点
B1
,
B2
,
B3
，分别过点
B1
,
B2
,
B3
作
x
轴的平行线，
分 别 与 y 轴 交 于 点 C1 , C2 , C3 , 连 结 OB1, OB2 , OB3 , 那 么 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 之 和 为
__________
2、 如图，点 A 在双曲线 y 1 上，点 B 在双曲线 y 3 上，且 AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，
图1
图2
-3-
模型三：
如图，已知反比例函数 y k （k≠0，x>0）上任意两点 P、C，过 P 做 PA⊥x 轴， x
交 x 轴于点 A，过 C 做 CD⊥x 轴，交 x 轴于点 D，则 SOPC S梯形PADC .
例 4：如图，在直角坐标系中，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y k2 的 x
x
x
若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为
.
模型二：
如图：点 A、B 是双曲线 y k (k 0) 任意不重合的两点，直线 AB 交 x 轴于 M x
点，交 y 轴于 N 点，再过 A、B 两点分别作 AD y 轴于 D 点， BF x 轴于 F
人教版 九年级下册 第26章 反比例函数常见几何模型 (无答案)
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kxk≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AND FABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D=其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y xDCA B O F E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x=与双曲线(0)ky kx=>交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线(0)ky kx=>于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．模型四：在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数(0)ky xx=>的图象与AC边交于点E，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数kyx=和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1yx=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx=的图象于点B，当点P在kyx=的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形P AOB的面积不会发生变化；③P A与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．xBFCEAOy课堂练习一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4DBAyxOC二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k(xky＞经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．第5题图第6题图6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）A．2 B．22C．2D．227、已知P为函数y=2x的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个ABCDEyxO。
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反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kxk≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D=其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y xDCA B O F E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．xBFC EAOy课堂练习一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4DBAyxOC二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图 6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个AB CD E yx O。