清远市2014届高三年级调研考试(理数)

清远市2014届高三年级调研考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有—项是符合题目要求的．
1、函数lg(1)y x =-的定义域是（ ）
A.{}|1x x ≤
B.{}|1x x ≥
C.{}|1x x <
D.{}|1x x > 2、i 为虚数单位，复平面内表示复数1
1
z i =
-的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、在等比数列{}()n a n N *
∈中，若141
1,8
a a ==
，则该数列的前5项和为（ ）
A.312()2-
B.412()2-
C. 512()2-
D.6
12()2
-
4、按照如图的程序框图执行，若输出的X 值为31，则M
处的条件为（ ）
A.2k ≤
B. 3k <
C. 3k ≤
D.4k ≤ 5、“1m <”是“方程2
20x x m ++=有实数解的（ ）条件 A.充分必要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要
6、已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为1
2
y x =，则双曲线的离
心率为（ ）
A.
2
B. C.
5
4
D.2
7、如右图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长 均为2，基正（主）视图如图所示，则此三棱 柱侧（左）视图的面积为（ ）
A. B.4
D.
8、ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分,1,3ACB CB CA ∠==，2CA CB ⋅=
，则CD =
（ ）
A.
4
B. 2
C. 118
D.32
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．（9-13题必做题，
14-15选做题） 9、
1
1
sin xdx -=⎰
___________
10、二项式8
2()x x
-的展开式中，则常数项是______________（用数字作答）
11、设实数x,y 满足,1,1y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y -的最大值是______________
12、根据下列4个图形及黑方块的个数的变化规律，现用()f n 表示第n 个图黑方块总数，则(5)f =___________，（2分）试猜测()f n =____________（3分）
13、函数2
()f x x m x
=+
-在(]0,3上有且仅有一个 零点，则实数m 的取值范围是_____________ 14、（几何证明选讲选做题）如右图，O 是半圆的圆心， 直径2AB =，PB 是O 的一条切线，割线PA 与半圆交
于点C ，AC=4，则PB=_____________. 15、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为：
12x t
y t =⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到l 的距离为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 1 6．（本题满分12分）
已知函数2()2cos sin (0)2
x
f x x ωωω=+>的最小正周期为π
（Ⅰ）求()4
f π
的值；
（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若()2,3,f A c ==ABC ∆
的面积为
a 的值
1 7．（本题满分12分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60 名学生， 将其成绩（均为整数）分成六段
[)[)[]40,50,50,60,90,100后画出如下部分
频率颁布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图， 并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
（Ⅱ）若将频率袖为概率，从这个学校的高一学生中抽取3个学生（看作有放回的抽样），求其成绩在80分至100分（包括80分）的学生数X 的分布列和数学期望。

1 8．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，已知4,2,2AB AD PA ===
（Ⅰ）证明AD PB ⊥
（Ⅱ）求二面角P BD A --的余弦值
19．（本题满分14分）
已知抛物线1C 的焦点F 与椭圆22
24:13
y C x +=的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点。

（Ⅰ）求这条抛物线1C 方程；
（Ⅱ）设圆M 过A(1,0)，且圆心M 在1C 的轨迹上，BD 是圆M 在y 轴的截得的弦，当M 过去时弦长BD 是否为定值？说明理由。

60PD PAB =∠=
20．（本题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
210,n n n n S S a S n N *
--⋅+=∈
（Ⅰ）求n S 与1(2)n S n -≥的关系式，并证明数列11n S ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列； （Ⅱ）设n n n b a S =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：2
2(2)3
n n T n <<+
21．（本题满分14分） 已知函数()(1)x
f x ax e =+
（Ⅰ）若1a =-，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a >时，求函数()f x 在[]2,0-的最小值；
（Ⅲ）设,0,()()n N a F x f x x ∈==-，求证1
(1)(2)21
n n n e e +++<
-
参考答案。