图论及其应用 第二章答案

)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图

<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）

证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.

于是，将上图的区域和边可转化成下图：

由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.

<2.>下列图形中哪些能一笔画成.

解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.

<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.

证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.

证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.

具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.

<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？

解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.

<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.

解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .

<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。 证明：设,X m Y n ==，反证法：假设G 为H —图，则存在回路C 经过,X Y 中点一次且仅一次，令S Y =，设m n >，则()G Y m Y ω-=>。

<8.>设简单图(,),,G V E V n E n ===，若有212n m C -≥+，则G 是H —图。 证明：反证法，若G 不是H —图，则,u v G ∃∈不相邻，且()()1G G d u d v n +≤- 令{}1,G G u v =-，则121()(2)(3)22

n G n n ε-⎛⎫≤=-- ⎪⎝⎭， 1221()()()

1(2)(3)12

1(32)12

1(1)(2)122

G G n E G d u d v n n n n n n n C ε-=++≤--+-=-++=--+<+矛盾。 <3.>如下图.图中各边数字所标注的数字，表示改变的长度（权）.邮递员从邮局A 出发.求他的最优投递路线.

解：下图中的任一个欧拉环游就是邮递员的最优邮递路线.

补：

(1.)连通图G 是欧拉图的充分必要条件是G 中无奇点.

连通图G 具有欧拉路充分必要条件是G 恰好有两个奇点.

(2.)

H —图的必要条件：

若G 是H —图，则对()V G 的每一个非空真子集S ，均有()G S S ω-≤.其中，()G ω表示G 的连通分支个数.

H —图的充分条件：

a .设(3)n n ≥阶连通图G 中任意两个不相邻的顶点u 与v ，均有()()G G d u d v n +≥，则G 是H —图.

b .若G 是具有(3)n n ≥个顶点的简单图，每个顶点的度至少是2

n ，则G 是H —图.