张永德教授量子力学讲义 第九章

第二部分 第九章
进一步内容
电磁作用分析和重要应用
电磁和弱作用是迄今了解得最为清楚的基本作用力。 特别是电磁 作用部分，在经典力学中对其基本规律就已有很好的研究和阐述。因 此，量子力学对于电磁作用下单体、两体等可解问题的解答就成为检 验量子力学正确性的试金石和支撑点。 除已叙述过的库仑场束缚态问 题之外，本章继续阐述在电磁场作用下，粒子的定态问题和某些含时 问题。量子力学的确不负所望，继库仑场之后，在这类问题上再次给 出了微观粒子电磁现象的正确、统一的理论描述。不仅如此，根据 AB 效应，量子力学还指出了经典电磁理论仅仅用场强描述（而不用 势来描述）全部电磁现象的局限性，并以简明的方式丰富了规范理论 关于位相物理学的内容。
§9.1, 电磁场中的 Schrodinger 方程
1, 最小电磁耦合原理及电磁场中的 Schrodinger 方程 在建立 Schrodinger 方程的一次量子化中，使用了以下对应
E i t p i

(9.1)
现在有电磁场情况下，记电磁势为 A A, i 。按经典 QED 的
“最小电磁耦合原理” ：对电荷为 q 的粒子，其 H q 和 p c A 之 q
间的动力学关系如同无电磁场时 H 和 p 的动力学关系一样1 。 这里 p
1


Л.Д.朗道，E.M.里夫席茨，场论，高等教育出版社，1965。
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为正则动量（广义动量） 。由这个原理和正则量子化规则可知，为了
得到有电磁场时的 Schrodinger 方程，量子化规则应当变更成为
i i - q t t -i -i - q A c
（9.2）
这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程。 原则上， （9.2） 式应当是一个
假设，它的正确性按照由其导出的结论与实验是否符合来决定。迄今 的实验事实都证明（9.2）式是对的。
方程为 于是，有电磁场时的 Schrodinger
i
2 1 q i A V q t c 2
(9.3)
这里，V 为其它（如引力势等）势能项， P p A 是机械（普 通）动量算符， p i 为正则动量算符 1。现在需要注意， 机械动量 P 正则动量 p 与此同时，
q P 1 粒子的速度算符 (i A) c


q c


（9.4）
（对无电磁场情况，粒子机械动量=粒子正则动量，仍然是正则量子 化。 ）

1
将 x 和其正则动量 p 量子化为满足对易子= i 的算符，称为正则量子化方法。设 L 为有电

磁场下粒子的拉氏量， 按 Legendre 变换， 得哈密顿量 H= L ， 这里 p
L q P A c 为正则动量。其中 P 为粒子的机械动量，将 p （而不是 P ）量子化为算符 i ，即 L
为正则量子化。这一量子化方法对任何非奇异的拉氏量系统（即 Hessian 行列式不等于零， Legendre 变换可以进行） ，均普遍适用。这里已将电磁场作为经典的外场来处理，所以这里 的量子系统拉氏量是非奇异的，可以实施正则量子化。
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2, 方程的某些考察
将方程（9.3）展开，为此先计算
q 2 2 2 2q q 2 2 q 2 q p A p p, A A p A p 2 A c c c2 c c
其中{，}为反对易子符号。这里第二步等号是因为已取定了横向规范 条件 A 0 。于是得到方程（9.3）的展开形式
p 2 q q2 2 i A p A q V 2 t 2 c 2 c

(9.5a)
其次，往求概率流密度的表达式并考察概率守恒问题。对方程 （9.3）取复共轭，得
i
2 1 q i A q V t c 2
（9.5b）
将这个方程和方程（9.3）分别乘以 和 * 并相减，即得
t q A 0 c 2 i
令
q ， j A c 2 i
（9.6a）
前者为 态中 x,t 处的概率密度，后者为在电磁场中 态的（态的平
均）流密度。于是仍存在表征概率守恒的连续性方程
j 0 t

(9.6b)

这时 j 表达式和以前不同，多出含电磁场矢势 A 的第二项，它显示出 磁势影响了带电粒子的机械动量，从而使概率流密度有相应的变化。
其三，考察一下电磁场下 Schrodinger 方程的规范不变性。对任
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意可微函数 f rt (它具有磁通的量纲),可引导出对电磁势的一个规范
变换
A A' A f 1 f ' c t



(9.7a)

可以证明,在方程（9.3）中,当电磁势 A,i A',i' , 即经受（9.7a） 式的规范变换时,只需波函数也同时经受如下位相变换(注意此相因子 依赖于空间变数 x ，是定域的)
qf ' exp i c

（9.7b）
方 则方程（9.3）的形式将保持不变。这说明：电磁场中 Schrodinger
程（9.3）具有定域规范变换不变性。 证明： 假定变换后的方程成立，即有
i

' 1 q 2 ( p A') ' V ' q' ' t 2 c
这里 ', A', ' 分别由上面变换式（9.7a，b）表示， 往证由此可以导 出原先方程（9.3） 。注意有
qf i qf q f i c c i i t c t e t e qf qf q q i i q i qf q p A f e c ( p A ) A' e c e c p f c c c c

1 q 2 1 f q f i t c t 2 ( p c A ) V q c t
由此即得规范变换之前的方程（9。3） ：
i 1 q 2 ( p A) V q t c 2
由于电磁势是不确定的,它们可以相差任一定域规范变换,因此这
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时粒子的波函数也就可以有一个局域的任意位相因子。 最后,再考察一下时间反演问题。对于一个定态问题，
p2 q q2 2 A p A q V E 2 2 c 2 c
(9.8)
在时间反演下, p p ,于是只有同时也改变磁场，即令 A A (由于
B A ,所以也即 B B )，方程才可以保持不变，这与经典力学磁


场中运动的情况相同。
§9.2
均匀磁场中库仑场束缚电子的运动

1, 均匀磁场中类氢原子基本方程的考查
将上面方程用于均匀磁场 B 中的类氢原子问题。此时无外加电场
0 ，而（ e > 0 ）
V r = Ze 2 , r
1 A= Br 2
A B
注意，前面考虑磁场作用时，漏算了与自旋有关的两项作用：旋—轨 耦合能和自旋磁矩在外磁场中的附加能，它们的表达式分别为
ξ r L S
和
e S B SB c
于是补入这两项之后，此系统的更全面的 Hamilton 量应当为
2 p e e2 e H V(r ) A p A r L S SB 2 c c 2 2 c H0
2 e e2 e A p A r L S SB c c 2 c 2
2
（9.9）
其中
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e2 2 e2 2 e2 B r (B r) A = (B r) = 2 2 2 2μc 8μc 8μc ^ e2 2 2 2 e2 2 2 2 = B r B r = B r sin Br 2 2 8μc 8μc
e e e A p = (B r) p = B (r p) μc 2μ c 2μ c e = BL 2μ c
此处含 B L 的项显然正是轨道磁矩 L




e 2 c
L 在外磁场 B 中的附加
能 L B 。取 B Be z ，于是体系 Hamilton 量成为
eB e2 H = H0 + ξ r L S + Lz + 2Sz + 2 B 2 x 2 + y 2 2μc 8μc
（9.10）
2
2 现来估算一下 B 2 项和 B 项的比值。 原子的 x 2 y 2 ~ B ~ 10 8 cm ， 对
于磁场 B 10 5 高斯，有
含B 2 term 含B term
~
B 10 5 高斯
eB B 2 B B 2 B B 2 10 4 4 c c 4 137 e 4e 2 e
可知，如果磁场不是非常强，和含 B 的一次幂项相比可以略去 B 2 项。 总之， 考虑到自旋及轨道磁矩对外磁场取向的附加能以及旋—轨耦合 能这三项附加能，并略去 A 2 项，最后得到均匀外磁场下氢原子的 Hamilton 量为
eB H H0 r L S Lz 2Sz 2 c
(9.11)
如果将 H 0 中的 V r 代以 V r eff ，方程（9.11）也可适当推广地用于 非类氢原子。下面为书写简明，记
nl 2 ,
eB 2 c
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即得
H H 0 L S ( Lz 2 S z )
(9.12)
这里，角动量 L 和 S 均已无量纲化，而参量 α，β 的量纲均为能量。 方程（9.12）是本节论述的出发点。

2, 基本方程的求解
由于上面 H 中含有 L S 及 J z S z 项， 于是， 除能量之外，L2 、S 2 及 J z 守恒，但 J 2 , S z 0 ，故 J 2 不守恒, j 不是好量子数。这时好量子 数为（ nlsm j ） ，这允许我们在这几个好量子数均有确定值的任一个子 空间中考虑问题。这时 j 1 1 / 2 ，将取两个可能的值。这里，作为 径向半径 r 函数的 r 只与好量子数 nl 有关，在此子空间中，它可代 以平均值 nl nl r nl 。这一定态问题（也包括给定初态的含时问 题）实际上概括了 Zeeman 效应、反常 Zeeman 效应、Paschen-Back 效应等磁场下谱线分裂现象。 以往对它们的处理是在微扰论的不同近 似下分别求解。下面对这几个效应及有关现象作统一的叙述1。 引入升降算符 L Lx iLy 和 S