几种特殊类型函数的积分

解得： A2,B4,C5, 33 3
Ixd x3 2x1 1d xx4 3 2 x x 5 31dx
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Ixd x3 2x1 1d x3 22 xx 2 1 x 2 3 1dx
x d 3 2 x x 1 1 d 3 2 x x 2 2 x x 1 1 d x x 2 1 x 1 dx
x d x 3 2 x 1 1 d x 3 2 d (x x 2 2 x x 1 1 ) (x 1 1 )2 3 dx 24
1 x 2 2 ln |x 3 1 |2ar2 c x 1 t a Cn
23
3
3
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
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1 4tsa ix x n n1 4taxn sci2o x n xdsx14 tan x
1 4c1ox s1 4s1ixn dx14co12sxdx
1 1lncsxccoxt1tanxC.
4cos x 4
4
说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大， 故在计算三角函数有理式的积分时，通常先 考虑其它方法，不得已再用万能置换。
解1： sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2
si1n3xsisnxinxdx2s1in2sxicnxoxsdx
4s1inxscionx2sxdx
14sinx1co2sxdx14co1s2
dx x
用万能公式较繁
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14sinx1co2sxdx14co1s2
第四节
第四章
几种特殊类型 函数的积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理式的积分
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一、有理函数的积分
定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
即 Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
11uu2du
1
1
du u
11u2du 1uu2du
1
1
du u
arcu ta1lnn(1u2)ln |1u| C
2
u tan x 2
x 2
ln| secx |ln|1tan x|C.
2
2
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例8：求积分 si1n3xsisnxinxdx.
系 数 法 确 定
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四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln x a C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(
x
a )1 n
C
(n 1)
3.
Mx N x2 px
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q
)n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
x
1
1
x
1
x2
. 1
多项式的不定积分是容易求的，因此， 下面我们只讨论真分式的不定积分。
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设 P (x )是 真 分 数 ， 它 的 不 定 积 分 可 按 下 面 步 骤 求 ： Q (x )
（ 1） 将 Q(x)在 实 数 范 围 内 分 解 成 一 次 多 项 式 和 二 次 多 项 式 的 乘 积 ： (xa)k， (x2pxq)l， 其 中 p24q0， k,l是 正 整 数 ；
例7：求积分 1sisnxin xcoxsdx.
解： 由万能置换公式 令 u tan x 2
sinx12uu2 ,
cosx
1 1
uu22，dx12u2
du，
1sisnxinxcoxsdx(1u)2u(1u2)du
2u (1
1
u2 u)(1
1 u u2 )
2
du
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例 4：求积分 I
(
x2
4
x
1 4)(
x2
4
x
dx 5)
；
解: I(x24 1 x4x24 1 x5 )dx (x 12)2dx (x2 1)21dx
1 arcxta 2) nC( x2
A 2B 0,
B
A
2C 0, C 1,
A4,B2,C1, 5 55
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(12x)1(1x2)1542x152xx215.
(12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 4 1 1 2 x d x 5 2 1 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
2
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例9：求积分 I si4nx 1co4sxdx
解1: 满 R ( sx , 足 i c n x ) o R (s x s , c x i ) o n s
令 ta x n t
xarcttadn x
1 1t2
dt
sin2x1tatan2xn2x
1
t2 t2
（2）分母中若有因式 (x2px q)k, 其中 p24q0
则分解后含有下列项：
(x M 2 1 x p N q 1 x ) k (x 2 M 2 p x N q x 2 ) k 1 x M 2 k x p N k q x
其 中 A i， M i,N i都 是 常 数 (i1,2,,k)， 用 待 定
（2）按Q(x)的分解结果，将P(x)拆成若干个部分 Q(x)
分式的和（部分分式是指如下两种类型的分式： (xAa)n，(x2M pxxNq)n，n1,2,，p2 4q0）。
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具体步骤如下：
（1）分母中若有因式 (xa)k，则分解后含有下列项: (x A 1 a)k(x A a 2)k1xA ka,
2
注意本题技巧 按常规方法较繁
x 221122aarrcctatannxx222x11x
x
1 24
11 22
l2n
lxn2 x2
x x
1x2x 1x2x
21 21
CC ( x
0)
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二、三角函数有理式的积分
三角函数的有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构
A x(x B1)2xC 1,
1 A ( x 1 ) 2 B C ( x x 1 ) x( 1 )
代入特殊值来确定系数 A,B,C
取 x0, A1 取 x1, B1
取 x2, 并将 A,B值代入 (1) C 1
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x(
1 x
1)2
1x(x11)2x11.
dx x
1
4
sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx
14
1 cos2
dx x
1 4cso i2x n xsd x1 4s1 ix ndx 14co1s2
dx x
1 4c1 o 2xd s(cxo )1 4 ss1 ixd nx 14co1s2
dx x
1 1lncsxccoxt1tanxC.
例9：求积分 I si4nx 1co4sxdx
解2：I co4xs(11 ta4n x)dx co 2xs(11 ta4x n)dtaxn
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三角函数有理式的主要积分类型及代换
(1 ) R (sx ) icno x dsx令 sx i n t (2 ) R (cx )o six sd nx令 cx o ts (3 ) R (tx a )sn 2 e x d cx令 ta x tn
( 4 ) 若 R (x s , c i x ) o n R ( s x s , c x i ) o n 令 ss ixn t ( 5 ) 若 R ( sx , c ix n ) o R ( s x s , c x i ) o 令 n cs o x s t ( 6 ) 若 R ( sx , i c n x ) o R (s x s , c x i ) o 令 n ta s x n t (7)万能代换令tanxt
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例5：求积分
x2 ( x2 2x 2)2 dx .
解: 原式
( x2 2x 2) (2x 2)
( x2 2x 2)2
dx
(
x2 x2
2x 2 2x 2)2
dx
2x 2 ( x2 2x 2)2 dx
(
x
dx 1)2
1
d( x2 2x 2) ( x2 2x 2)2
此 处 P(x)， Q(x)之 间 没 有 公 因 式 ， 即 P(x)是 Q(x)
既 约 分 式 。
(1) nm , 称此有理函数是真分式； (2) nm , 称此有理函数是假分式；
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说明：
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和。
例
x
3 x2
x(
1 x
1)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln |x|1ln |x1| C . x1
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
；
解1: x4 x3 2 x2 11x2xx 23 x1 1
x(x21x)2(x2xx11) xxA 1xB 2 x xC 1
成的函数．一般记为 R(sin x,cos x)
求 R (sin x , cos x) dx 的一般方法：
令utanx x2arcut（a万能n置换公式）
2
sin x2sin xcoxs
22
2 tan sec 2
wenku.baidu.com
x
2 x
x
2tan 2
1 tan2 x
2u 1 u2
2
2
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arctan( x
1)
x2
1 2x
2
C
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例6：求积分
dx x4
1
解: 原式 1
2
(x2
1) ( x2 x4 1
1)
dx
1
2
1
2
1
1 x2
x2
1 x2
d( x
dx 1)
x
( x 1 )2 2
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
1 d( x
d
x
1 x
)
2 ( x 1 )2
5 2 1 1 2 x d (2 x ) 1 5 1 1 x 2 d2 x 1 5 1 1 x 2 dx
2 ln |1 2 x| 1 ln 1 x (2 ) 1 arx c C t.an
5
5
5
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例2：求积分 x(x11)2dx.
解:
x
(
1 x1
)2
co2sx11t2
I
t4 1 1 11t2dt
(1t2)2(1t2)2
1 1
t2 t4
dt
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I
1t2 1t4dt
1
1 t2
t2
1 t2
dt
(t11)22d(t1t) t
1
t 1 arctan t C
2
2
1arcttaa xn n 1C
2
2taxn
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4cos x 4
4
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例8：求积分 解2：同解1
si1n3xsisnxinxdx.
si1n3xsisnxinxdx
14sinx1co2sxdx14co1s2
dx x
1 4
1 sin
x
d
tan
x
1 tan 4
x
1 4tsa ix x n n1 4taxn sci2o x n xdsx14 tan x
coxs2co2sx1 2
1
2 tan2
x
1
2
12u2111 u u22,
万能置换公式 令 u tan x x2arcutan
2
sinx12uu2, cosx11uu22 , dx12u2 du
R (sx i,c no x)d s xR1 2u u2,1 1 u u2 212u2d.u
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( p2 4q 0 , n 1)
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1
例1 求积分 (12x)(1x2)dx.
解
1 (12x)(1
x2)1A2xB 1xxC 2 ,
1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2 C ) x C A ,
；
解2: x4 x3 2 x2 11x2xx 23 x1 1 x3 2x33x21xx311x3 2x33x 21x21x1
Ixd x3 2x31 1d3x(x1 1)23dx
24
1 x 2 2 ln |x 3 1 |2ar2 c x 1 t a Cn
23
3
3
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