第2节_第二型曲线积分教材

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类似地, F( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为
其中
d s (d x , d y , dz)
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第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，
当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时，每一小曲线段的
若 L 为封闭曲线，则记为 Pdx Qdy
L
若记 F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)), ds (dx,dy),
则记
L
Pdx
Qdy
LF
ds
于是，力 F( x, y) (P( x, y), Q( x, y)), 沿有向曲线 L
对质点所作的功为
W L P( x, y)dx Q( x, y)dy
终点，则
P [ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)d t
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对空间有向光滑曲线 L:
x (t) y (t) t , z (t)
参数 t =α对应曲线 L 的起点 t =β对应于曲线 L 的 终点，则
P [ (t), (t), (t)](t)
1. 若第二型曲线积分 L P1dx Q1dy , L P2dx Q2dy
存在，则
L P1dx Q1dy L P2dx Q2dy L (P1 P2 )dx (Q1 Q2 )dy LPdx Qdy LPdx L Qdy
其中 , 为常数.
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2. 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
1. 分割: 插入分点 Mi ( xi , yi ), i 0, 1, 2, , n
2. 近似代替 Wi F(i ,i ) Mi1Mi
Mi1Mi ( xi xi1, yi yi1 ) (xi , yi )
其中 xi , yi 分别是曲线段
y
Mn •
Mi1Mi 在 x 轴与 y 轴上的投影
平面有向可求长度曲线 L: AB, 对 L 的任一分割 T
它把 L 分成 n 个小曲线段： Mi1Mi i 1, 2, , n
其中 M0 = A， Mn = B . 记各小曲线段 Mi1Mi
的弧长为 si ,
分割 T 的细度
||
T
||
max
1 i n
si
,
分点 Mi 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 xi xi xi1,
12 x
1 [(1 t )(1 2t ) 1 t 2]dt 25
0
6
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y
例1
计算
xy dx ( y x)dy,
L
3
B(2,3)
其中 L 为
⑵ ACB (抛物线：y = 2( x – 1)2 + 1 )
解 抛物线 ACB 的方程为
1 A(1,1)
y = 2( x – 1)2 + 1 1 x 2
Q[ (t), (t), (t)] (t)
R[ (t), (t), (t)](t)d t
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例1
计算
xy dx ( y x)dy,
L
其中 L 分别
沿如图所示路线
⑴ 直线 AB 解 直线 AB 的参数方程为
y
B(2,3) 3
x 1t
y
1
2t
0t 1
1 A(1,1)
所以 xy dx ( y x)dy L
所以 xy dx ( y x)dy L
12 x
2 { x[2( x 1)2 1] 1[2( x 1)2 1 x] 4( x 1)]dx 1
2 (10x3 32x2 35x 12)dx 10
的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为
P( x, y)dx Q( x, y)dy 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy
L
AB
也记为 L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
或 P( x, y)dx Q( x, y)dy
AB
AB
简记为 LPdx Qdy
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方向都改变，从而小曲线段的投影 xi , yi 也随之 改变符号，故有
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
AB
BA
而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的
乘积，它与曲线 L 的方向无关. 这是两类曲线积分的
一个重要区别.
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第二型曲线积分的性质
yi yi yi1, (i 1, 2, , n) 在每个小曲线段 Mi1Mi
上任取一点 (i ,i ), 若极限
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n
n
lim
||T ||0
i 1
P ( i
,i
)xi
lim
| |T | |0
i 1
Q( i
,i
)yi
存在，则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y),沿有向曲线 L
§2 第二型曲线积分
一、第二型曲线积分的定义
变力沿曲线作功.
设一质点受如下变力作用F( x, y) (P( x, y), Q( x, y))
沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ，求力 F ( x, y ) 所 作的功
常力沿直线作功：
力 ·位移
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F( x, y) (P( x, y), Q( x, y))
则 L P( x, y)d x Q( x, y)d y
k
P( x, y)d x Q( x, y)d y
i1 L i
说明
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、第二型曲线积分的计算
在有向光滑曲线
x (t)
L
:
y
(t
)
t
上连续, t =α对应曲线 L 的起点 t =β对应于曲线 L 的
•
（此投影不一定是非负的）
于是
Wi F (i ,i ) Mi1Mi
P(i ,i )xi Q(i ,i )yi
M
• 0
O
(i ,i )
M i•
• F(i ,i )
•
M1
•
•
M i 1
x
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3. 求和 n
W F (i ,i ) Mi1Mi
i 1 n
P(i , i ) xi Q(ξi , i ) yi
4. 取极限
i 1
n
W
lim ||T ||0
Hale Waihona Puke i 1F (i ,i ) Mi1Mi
n
lim ||T ||0 i 1
P(i , i ) xi Q(ξi , i ) yi
其中||
T
||
max
1 i n
{si
},
si 是第 i 个小弧段的弧长.
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定义1 设函数 P (x,y)与 Q(x,y) 定义在