两条异面直线所成地角和距离教案设计讲解
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
高中数学两条异面直线所成的角
两条异面直线所成的角一、素质教育目标（一）知识教学点1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．（二）能力训练点1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．（三）德育渗透点进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．三、课时安排1课时．四、教与学的过程设计（一）复习提问引入课题师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．（二）异面直线所成的角师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，我们来思考两个问题．问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．（三）两条异面直线的距离师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？生：用两平行线间的距离来表示．师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线．定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．师：根据定义，思考问题．问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．问题2：两条异面直线的公垂线有几条？答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、 B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离．下面，我们来完成练习和例题．（四）练习（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′例设图1－53中的正方体的棱长为a，成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA′的距离．解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′∴直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段．∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．【练习】（P．16练习1、3．）1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？答：不一定，还可能异面．（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：（五）总结本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．五、作业P．17-18中9、10．。
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。
异面直线教案
异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。
《用向量法求异面直线所成的角》教案
第一讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形，再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具.它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念．为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题.以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结。
教学目标１.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；2。
使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；３.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高。
教学重点求解异面直线所成的角的向量法。
教学难点求解异面直线所成的角的向量法。
教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1、两异直线所成的角:(范围：]2,0(πθ∈)(１)定义：过空间任意一点ｏ分别作异面直线a 与b 的平行线a ´与b ´，那么直线ａ´与ｂ´ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角.(2）用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1: 当与的夹角不大于９0°时,异面直线a 、b 所成的角与 和 的夹角的关系？问题 2:与的夹角大于9０°时，，异面直线ａ、b 所成的角与 和的夹角的关系?两向量数量积的定义：><=⋅b a b a b a ,cos ||||abαθO两向量夹角公式：||||,cos b a b a b a >=<结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|||||||,cos |cos b a b a b a ⋅=><=θ2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:（１）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;（化为向量问题）(２)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算）(3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
高中数学《异面直线》教学设计
高中数学《异面直线》教学设计教学目标:会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.教学重点:异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.教学难点:异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.教学过程:Ⅰ.课题导入[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.Ⅱ.讲授新课[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:这样表示a、b异面正确吗?[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,所以这样画容易给人造成误解.[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?[生]无数个.[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.[师]为什么?[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2]; ③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b是怎样的位置关系.[生]a 、b 平行.[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄,讨论[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?(生摆弄以后回答[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b既垂直又相交的直线有且只有一条.[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.[师]下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a .(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;(2求异面直线BC 和AA ′的距离.注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线BA ′与CC ′所成的角,因为AA ′与AB 垂直相交,BC 与AB 也垂直相交,所以AB 是异面直线AA ′和BC 的公垂线,AB 的长就是异面直线AA ′与BC 的距离.解:(1∵CC ′∥BB ′∴BB ′和BA ′所成的锐角,即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角(解题过程中,这句表述不能少.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°.(2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫='⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂''⊥a AB BC A A AB B BC AB BC AB A AB A A A A AB 的公垂线段和是⇒BC 和AA ′的距离是a . Ⅲ.课堂练习课本P 28练习1,2,3,4.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围,两异面直线的公垂线的定义,两异面直线间的距离.概念比较多,同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会,认真掌握,两异面直线所成的角,两异面直线间的距离,这两部分内容,在空间图形中的位置是相当重要的,在高考中也是经常涉及到的,同学们一定要予以高度重视,对于角与距离的求法,要多练习,才能掌握好,相信我们每个同学都会学得很好.Ⅴ.课后作业课本P28习题5,8,9.思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确的是(A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案:C2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:D5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是(A.1B.最多为1C.2D.1或2答案:B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是(A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案:C7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是(A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案:D二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与BD 1成异面直线的有_________条.答案:62.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点,则(1MN 与PQ 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(2MN 与B 1D 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(3异面直线MN 与B 1D 1间的距离为______.答案:(1相交 60° (2异面 90° (3a3.在空间四边形ABCD 中,对角线AC =BD =2a ,M 、N 分别是边AB 、CD 的中点,若MN = 2 a ,则AC 和BD 所成的角为______,MN 和AC 所成的角为______.答案: 90° 45°4.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DC 的中点,AD =AA 1= 2 ,AB =2,那么(1AA 1与BC 1所成角的度数是_____;(2DA 1与BC 1所成角的度数是_____;(3BC 1与D 1M 所成角的余弦是_____. 答案:(145° (290° (3 335.在空间四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD ,若AC =6,BD =4,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,则MN =______,MN 与BD 所成角的正切值为______.答案:13 326.空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1,点P 在边AB 上移动,点Q 在边CD 上移动,则点P 和点Q 的最短距离为_________. 答案:227.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD上的点且CF CB =CG CD =23,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_________.答案: 8 cm- 11 -。
异面直线所成角及线面角的求法教案
异面直线所成角及线面角的求法教案教案：异面直线角与线面角的求法一、教学目标：1.理解异面直线角与线面角的概念。
2.学会求解异面直线角与线面角的计算方法。
3.能够应用所学方法解决相关问题。
二、教学内容：1.概念：异面直线角与线面角。
2.计算方法：求异面直线角的方法、求线面角的方法。
3.实例分析：通过实例演示如何应用所学方法解决问题。
三、教学步骤：步骤一：概念介绍1.通过引导让学生回忆直线之间的角，进而引出异面直线角的概念。
2.定义异面直线角：两条不在同一个平面上的直线的交角称为异面直线角。
3.介绍线面角的概念：直线和平面之间的角称为线面角。
步骤二：异面直线角的求法1.通过示意图介绍异面直线角的计算方法。
2.定义异面直线的垂足：直线上到另一条直线的垂线的足点称为异面直线的垂足。
3.引导学生观察垂足与两条直线的关系，教授异面直线角的计算方法。
步骤三：线面角的求法1.通过示意图引出线面角的概念。
2.定义线面角的顶点：线面角的两个边分别与平面交于两点，这两点称为线面角的顶点。
3.引导学生理解线面角的计算方法，并通过计算实例进行演示。
步骤四：案例分析1.基于所学内容，给出一些实际问题并分析解决方法。
2.通过解答典型案例，让学生理解如何应用所学方法解决异面直线角和线面角的问题。
步骤五：课堂练习1.提供一些习题，让学生独立完成。
2.监督学生完成习题，并对答案进行讲解。
3.鼓励学生互相讨论和分享解题思路。
四、教学方法：1.案例分析法：通过实际案例来引导学生理解概念和应用方法。
2.示意图法：通过示意图来形象直观地介绍和解释概念。
3.问题导引法：通过提问引导学生自主思考和发现问题解决方法。
五、教学评估：1.通过课堂练习评估学生对异面直线角和线面角的理解程度。
2.通过学生的案例分析和问题解决过程，评估他们应用所学方法解决相关问题的能力。
六、教学资源：1.教材及课件。
2.示意图、习题和答案。
七、拓展延伸：1.异面直线角与线面角在三维几何中的应用。
【教案】1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第二课时 教学设计-人教版(2019)选择性必修一
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（2）一、内容和内容解析1.内容运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等.2.内容解析选择性必修第一册中关于空间向量安排了四节内容，是必修第二册中平面向量内容的延续和拓展，空间向量基本定理的内容可以由平面向量的知识类比得到.空间向量的四节知识彼此渗透，彼此衔接，共同完成了空间向量的知识体系.本节重点是空间向量基本定理在解决立体几何问题中线与线、线与面和面与面夹角的问题.在必修立体几何内容中，证明异面直线垂直、两直线平行以及异面直线成角的求法，已经有相应的定理、定义作为保证.空间向量基本定理中蕴含的基底法是解决向量问题的基本方法之一，空间向量应用在立体几何中，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难.利用空间向量基底法解立体几何问题，可以把抽象的立体几何问题平面化，转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性.对于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养有着重要意义.二、目标和目标解析1.目标（1）理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.（2）理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.（3）理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求二面角的大小.（4）让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.（5）通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．2.目标解析“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．向量方法是解决几何问题的常用方法．立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论．解决这些问题，主要运用向量方法．一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 ．这种利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性．三、教学问题诊断分析有空间向量基本定理做支撑，学生不难接受利用“基底法”解决立体几何中的相关问题.本节的难点在于三方面：一是忽略异面直线成角范围，导致错误答案.二是直线与平面所成的角是直线的方向向量和平面的法向量夹角的余角.三是对向量的相关运算不熟练，导致结果不正确.教学中可以适当用图形进行演示，让学生领会的更深刻一些.四、教学过程设计（一）旧知回顾建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键。
异面直线间的距离教学设计
异面直线间的距离教学设计教学设计：异面直线间的距离一、教学目标：1. 知识与技能目标：了解异面直线的概念，学会计算异面直线间的距离。
2. 过程与方法目标：培养学生观察分析和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学运算能力。
3. 情感态度价值观目标：培养学生的合作意识和创新思维，增强学生对数学的兴趣和信心。
二、教学准备：1. 教学资源：教材《高中数学必修3》、黑板、彩色粉笔、投影仪、电脑、PPT 等。
2. 学生准备：学生需要提前复习直线的方程和向量的相关知识。
三、教学过程：1. 导入（10分钟）：引导学生回顾直线的方程和向量的相关知识，提问如下问题：a. 两条平行直线的距离如何计算？b. 两条直线相交时，直线间的夹角如何计算？通过回答问题，引出本节课的主要内容——异面直线间的距离。
2. 知识讲解（20分钟）：a. 讲解异面直线的概念：两条不在同一平面上的直线称为异面直线。
通过示意图和实例，让学生理解异面直线的概念。
b. 解释异面直线间的距离：计算异面直线间的距离的一种方法是利用向量的相关知识。
通过示意图和实例，讲解向量表示直线和直线间的夹角，以及利用这些向量计算异面直线间的距离的原理。
3. 解题练习（40分钟）：将学生分组，提供一些练习题，并在黑板上进行解答，同时使用投影仪和PPT 演示解题过程。
组织学生讨论解题思路，鼓励学生积极参与，培养他们的合作意识和创新思维。
教师根据学生的解答情况进行指导和点评，解答过程中注重引导学生思考解题方法和思路。
4. 拓展应用（20分钟）：给出一些拓展题，让学生运用所学知识解决一些更复杂的问题。
这些问题可以与实际生活、工程设计等相关，增强学生对异面直线间距离计算的兴趣和应用能力。
学生可以使用投影仪和PPT演示自己的解题过程，并对其他同学的解题方法进行评价和讨论。
5. 总结反思（10分钟）：在课堂结束前，对本节课的内容进行总结，并对学生的学习情况进行反思。
a. 教师总结本节课所学的知识点，强调学生需要牢固掌握的重点和难点。
9.3《直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角》
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！/。
异面直线的夹角教案
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题——用向量方法解决夹角问题之异面直线的夹角一、内容和内容解析1.教学内容运用空间向量研究立体几何中异面直线所成的角的问题2.内容解析在必修立体几何内容中，解决立体几何问题主要采取的方法是“形到形”的综合推理方法，即根据条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线、线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，导致大多数学生都感到束手无策。
本章引入了空间向量的知识，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
本节我们将学习如何利用向量法解决立体几何中异面直线所成的空间角的问题，此方法将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷，体现了数形结合的思想，避免了传统立体几何中的技巧性问题，降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难.激发学生学习向量的兴趣。
本节课的教学重点是利用空间向量解决空间异面直线的夹角问题。
解决这一重点的方法是通过简单的例题让学生先理解向量法求解异面直线夹角问题的方法步骤，感受此法的便捷性。
再通过变式练习让学生加强巩固向量法解决空间异面直线夹角的方法。
二、目标和目标解析1.教学目标(1)理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.(2)让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.(3)使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.2.目标解析用向量法解决空间夹角问题，是本节的重点知识，也是考试解决空间几何问题的主要方法，需要学生在理解异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系的基础上，通过练习，掌握向量法求异面直线所成角的大小。
引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，能根据具体问题的特点选择合适的方法。
为了使学生掌握以上教学目标，主要以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．三、教学问题诊断分析在本节课学习过程中，学生可能会遇到的主要问题是：将异面直线的夹角转化为异面直线的方向向量的夹角这一过程难以理解四、教学过程设计问题一、什么是异面直线所成的角？问题1：如何确定异面直线所成的角？例题1、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，作出直线BD 与直线B 1C 所成角，并求出其夹角的大小.师生活动：学生自己动手作出异面直线的夹角，理解异面直线所成的角设计意图：问题2：异面直线所成角的范围是多少？师生活动：教师引导学生，异面直线的夹角是通过平移相交后，相交直线的夹角，固异面直线所成角的范围就是平面内两直线所成角的范围。
高二数学异面直线所成角说课稿
高二数学异面直线所成角说课稿高二数学异面直线所成角说课稿异面直线所成角说课稿《异面直线所成角》是高中数学《立体几何》一章中的第二节《空间两直线》中的重要内容.《立体几何》是高中数学教学中相对独立的一章,而本节内容恰是把平面内的直线扩展为空间任两条直线的位置关系问题,是培育同学建立空间想象力的关键,下面就从以下四个方面说课.*第一方面:教学设计意图:高中《数学教学大纲》要求同学具有良好的空间想象力和肯定的作图识图技能,本节教学也要求培育同学对空间两直线所成角这一立体概念的理解,在此基础上,再依据对同学进行素养教育的目标制定了以下教学目标:1.认知目标:理解空间两异面直线所成角的概念,并会作出,求出两异面直线所成角.2.技能目标:培育同学的识图,作图技能,在习题讲解中,培育同学的空间想象力和发散思维.3.德育目标:在对同学进行制造性思维培育的同时,激发同学对科学文化知识的探求热忱和规律清楚的辩证主义观点.本节课的重,难点:教学重点:对异面直线所成角的概念的理解和应用.教学难点:如何在实际问题中求出异面直线所成角.*第二方面:教法的选定本节内容作为《立体几何》中两大重要概念之一角的初次接触,就要求同学能坚固的落实两异面直线所成角的概念及作法,并能对详细问题求出所成角,这样才能真正提高其空间想象力,依据上述目标要求和同学思维模式缺乏立体性这一特点,我采纳了练习教学法,从习题入手,辅以计算机软件,将平面图形立起来,为同学创设较好的思维空间,加强了教学的直观性,再利用问题中心式教法,提出问题,对同学进行启发,让同学自己动脑,动口,动手,这样既可以发挥老师的主导作用,又突出了同学的主体地位.第三方面:学法的指导要从两个方面教会同学落实本节内容.1.依据计算机软件所设计的空间几何图形,带领同学去识图,读图,作图,并能依据图形的特点去分析,作出或找出所要求的所成角,从而加强同学的图形空间想象力.2.找到所求角后,还需指导同学利用规律的分析和学过的平面几何知识最终解决问题.第四方面:教学过程和板书设计第一步:采纳温故式导入,提问同学两异面直线所成角的定义,加深同学对概念的掌控,在同学回答的同时,由计算机打出概念,并在重点字锐角或直角处闪动,突出重点.再利用计算机演示空间两异面直线所成角的作法,重点表达选取不同点平移均可.第二步:进入例题讲解:如何对详细问题求异面直线所成角呢首先,由计算机给出本节第一道例题,及图.老师带领同学一起审题,该题为求证两直线平行的简约证明题,其目的在于加强同学对异面直线所成角概念的理解,突出选取空间任一点平移直线均可这一原那么,为此,特由计算机设计出选取不同点平移的图及证法,再一次强调概念.然后,进入第二道例题,同样由计算机给出题目和图,该题为在已知正方体内求两组异面直线所成角问题,不同于前题教法处在于,在老师进行了启发性提问后,由计算机给出3个不同选点,老师让同学自己分析并到前面操作电脑,选取解法,用计算机进行演示,并由同学自己讲解.最末由老师对同学的解法进行归纳总结,从而得出对非常几何体中异面直线所成角问题应以几何体为依托,查找非常位置进行平移,并利用三角函数及平面几何知识进行求解这一结论.例3的讲解思路及方法同例2相同.同类热门：高二数学三垂线定理说课稿范文。
高中数学新课程创新教学设计案例--异面直线
15异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄明白“共面〞、“异面〞的区不，正确理解“异面〞的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，如此处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，能够比立轻易地引导学生实现由平面直瞧到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1.理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2.理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间咨询题平面化的全然数学思想方法．3.通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑咨询题的习惯，培养学生的空间想象能力．任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的全然性质根底上提出来的．学生对此已有一定的感性熟悉，然而此熟悉是浅薄的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直瞧的图形开始介绍．“直瞧〞是这节内容的宗旨．多给学生考虑的时刻和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分表达了化回的数学思想．要让学生通过全然咨询题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其全然求法．教学设计一、咨询题情境〔１〕1.同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？瞧瞧教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或瞧瞧天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2.如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型〔１〕1.首先引导学生瞧瞧实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此根底上总结出异面直线的定义．2.在学生讨论回纳异面直线定义的根底上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线喊作异面直线．强调：〔1〕所谓异面，即不共面，因此它们既不平行，也不相交．〔2〕“不共面〞，指不在任何一个平面内，要害是“任何〞二字．3.先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．〔1〕共面与异面．共面分为平行和相交．〔2〕有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________平行直线和异面直线．4.异面直线的画法．先让学生体会以如下面图形，并让其指出哪些更为直瞧．显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托能够显示得更清楚．三、咨询题情境〔2〕刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？轻易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的咨询题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1.我们明白AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比立合理呢？2.回忆我们已学过的“距离〞概念，发现“距离〞具有“最小性〞，现在直线AB和D1C 上各取一点，这两点必定存在距离，试咨询在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步考虑：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型〔2〕在学生充分讨论、探究的根底上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1.异面直线a与b所成的角两条异面直线a，b．通过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角〔或直角〕，喊作异面直线a与b所成的角．强调：〔1〕“空间角〞是通过“平面角〞来定义的．〔2〕“空间角〞的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理〞．为简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上．〔3〕异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．〔4〕异面直线垂直的意义．今后所讲的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2.关于咨询题2，学生讨论，能够发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．现在，我们就讲BC的长度确实是根基AB和D1C的距离．引导学生瞧瞧、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：〔1〕“垂直〞与“相交〞同时成立．〔2〕公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1.如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．注：要紧考查异面直线的定义，那个地点可考虑用反证法证实．要让学生体会用反证法的缘由．2.：如图，正方体ABCD—A′B′C′D′．〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪些棱所在直线与直线AA′垂直？〔4〕直线BB′与DC间距离是多少？注：要紧是理解、稳固有关异面直线的一些全然概念．解题格式要标准，合理．［练习］1.要是两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2.垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3.与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是如何样的？4.：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．〔1〕BC和A′C′所成角是多少度？〔2〕AA′和BC′所成角是多少度？〔3〕AA′和BC所成的角和距离是多少？〔4〕A′B与B′C所成的角是多少？〔5〕AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1.判定异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内只是该点的直线是异面直线．请给以证实．2.设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________条．〔特别多〕3.异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，那么过点P且与a，b所成的角根基上30°的直线有____________条．〔2〕假设a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清楚．案例首先通过直瞧的图形引出定义，如此有利于学生的同意．然后探究了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探究过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的稳固和形成起到了特别好的作用．“拓展延伸〞中提出的咨询题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．。
《4.2.2 异面直线》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上册
《异面直线》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握异面直线的定义。
2. 理解异面直线的公垂线，以及异面直线的距离定义。
3. 能够通过观察，判断和识别异面直线。
二、教学重难点1. 教学重点：异面直线的公垂线段的长度以及异面直线的距离。
2. 教学难点：正确识别异面直线。
三、教学准备需要准备一些几何模型，以及白板、白板笔等教学工具。
另外，准备一些相关的图形，便于教学。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：学生回顾初中所学直线概念，以及公理“两点确定一条直线”。
2. 创设情境：利用多媒体展示生活中异面直线的实际应用，如地铁轨道和车厢的平行线、三棱镜中光的色散图等。
（二）新课探究1. 概念教学教师出示硬纸条AB和CD，将它们按图1的方式放置在黑板面上，AB和CD确定不在同一平面内。
提问：如果将放置在黑板上的两根铅笔AB和CD看成异面直线的两直线，那么它们的位置关系是什么？学生通过观察、思考、讨论，得出异面直线位置关系的特点是既不平行，也不相交。
教师：请同学们举出一些异面直线的例子。
学生举例，如：三棱柱的侧棱、长方体中不同在同一个平面内的两条直线等。
教师：我们把这样的两直线叫做异面直线。
教师出示图2的模型，其中AB和CD是异面直线，提问：哪些部分可以看成是异面直线的平行线？并引导学生从图上找出答案。
学生讨论得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线或直线与直线的延长线都叫做异面直线。
请学生阅读教材，理解异面直线的定义及表示方法。
2. 性质探究教师：请同学们利用手中的模型或笔等工具，通过观察、测量、比较等方法探究异面直线所成的角。
学生讨论后回答：可以利用模型将异面直线在同一个平面内投影，再根据投影与原直线所成夹角求出异面直线所成的角。
教师提问：在正方体中是否存在异面直线的对角线？为什么？引导学生得出异面直线所成角的范围是(0°，90°]。
教师出示图3所示的模型中的BD与AC(或延长线)所在的直线分别为a和b，分别与面ABC成30°、45°和90°的角。
异面直线教案
异面直线一、教学目标：1、知识与技能：理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定方法，会判断两直线是否为异面直线，掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角2、过程与方法：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。
3、情感与价值观：通过体验，感受数学的魅力，体现数学语言的严谨性。
二、教学重点：异面直线的概念三、教学难点：异面直线所成角四、教学过程：（一）创设情境1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。
它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线，它们之间有什么特点和关系呢？）前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。
我们称为“异面直线”。
（板书课题）（二）知识建构1、异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。
（重点理解定义中的“任”，指出“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线）举反例说明分别在两个平面上的两条直线不一定是异面直线（长方体中）2、两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。
3、空间中两直线的位置关系：相交 有且只有一个公共点共面直线平行 无公共点异面直线 无公共点例1： “a ，b 是异面直线”是指① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面 β且a ∩b =Φ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立上述结论中，正确的是4、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义前言：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线 线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成 角等。
考点一：两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。
构成向量CD AB ,。
><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。
随堂练习：1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1， 则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10153、 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.图1－6(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．考点二：直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为 |c o s |________θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。
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两条异面直线所成的角和距离教案北京师大二附中古永喜教学目标1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题．教学重点和难点这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念．教学设计过程一、引入有关概念的必要性师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念．（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）例如a∥b， c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同．师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念．（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同．师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念．（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同．（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同．师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义．二、异面直线所成的角的定义（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角．师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义．定义直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．（如图3）师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1∥a，b1∥b，那么这时a1和b1所成的锐角与a′和b′所成的锐角是否相等呢？生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等”．因为a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推论．师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小与O点的选择无关，所以为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的．师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．师：设两条异面直线所成的角为θ，问θ角的取值范围？生：θ∈（0°，90°]，半开、半闭区间．师：θ角能否等于0°．生：不能，因为当θ=0°时，异面直线就转化为平行直线．师：对，θ≠0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了．至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的．三、练习例正方形ABCD－A1B1C1D1．求：（1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？（如图4）师：请你们依次回答上述的四个问题．生：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，CC1∥BB1，所以A1B与CC1所成的角为∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B与CC1所成的角为45°．师：请回答第（2）问．生：因为CC1∥BB1，所以A1B1与CC1所成的角为∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1与CC1所成的角为90°．师：请回答第（3）问．生：因为BC∥B1C1，所以A1C1与BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1与BC所成的角为45°．师：请回答第（4）问．生：与棱B1B垂直的棱有8条．师：有哪几条是与B1B相交垂直？有哪几条是与B1B异面垂直？生：与B1B相交垂直的棱有4条，为AB，A1B1，BC，B1C1；与B1B异面垂直的棱也有4条，为AD，A1D1，CD，C1D1．师：对．这里我们需要指出，在立体几何中．“垂直”、“相交垂直”、“异面垂直”这三个不同概念的联系和区别．以后我们讲两直线垂直，则是指这两直线可能是相交垂直，也可能是两直线异面垂直．这里我们要破除在平面几何中形成的思维定式，就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”．四、异面直线的距离的定义师：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？（同时拿出两根小棍做为异面直线a，b，再拿出一根小棍c摆出与a、b都垂直状，而小棍c在保持与a、b都垂直的情况下可平行移动，用这样的模型让学生观察，再让学生回答）生：有无数条．师：对．现在再问与这两条异面直线都相交垂直的直线有几条？生：只有一条．师：对，由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且只有一条，现在可以给出下面两个定义．定义和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．定义两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．要注意这两个定义之间的联系与区别，公垂线是一条直线，这直线在这两条异面直线间（两垂足间）的线段的长度是这两条异面直线的距离．五、练习例在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。
求：（1）异面直线A1A与BC的距离；（2）异面直线A1A与C1D1的距离；（3）异面直线A1B1与BC的距离．（如图5）师：在第（1）问中A1A与BC的距离等于多少？为什么？生：因为ABCD－A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A与BC的距离为4cm．师：在第（2）间中，A1A与C1D1的距离等于多少？为什么？生：因为A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A与C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A与C1D1的距离为3cm．师：在第（3）问中，A1B1与BC的距离等于多少？为什么．生：因为B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的长度就是异面直线A1B1与BC 的距离，因为B1B=2cm，所以A1B1与BC的距离等于2cm．师：现在你们自己看课本第15页到第16页的例，看完后你们自己来讲．可根据课本来回答．例设图6中的正方体的棱长为a．（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；（3）求异面直线BC和AA′的距离．（可根据课堂情况灵活掌握让学生看3～5分钟后，叫学生回答）师：现在你们先回答第（1）问．生：因为A′平面B′BCC′，而点B、直线CC′都在平面B′BCC′内，且B CC′．所以直线BA′与CC′是异面直线．同理，直线C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直线BA′成异面直线．师：刚才回答是正确的，但它们的理论根据是什么呢？生：是根据课本第10页例，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．师；对，过去我们已经讲过，课本第10页上的例，应该明确把它“升格”为定理．这定理有的书上叫它为异面直线存在定理，有的书上把它叫做异面直线判定定理．以后，我们叫这定理为异面直线判定定理．过去我们还小结过，证明两条直线是异面直线的方法有两个，是哪两个方法．生：一是用反证法，二是用异面直线的判定定理．师：现在回答第（2）问．生：因为C′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．因为∠A′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°．师：现在回答第（3）问．生：因为AB⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂线段，因为AB=a，所以BC和AA′的距离是a．师：今天我们讲了两个很重要的概念，两条异面直线所成的角和距离，我们一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题．作业课本第17页，第9，10两题．补充题1．正方体12条棱中，组成异面直线的对数是多少？[24]2．空间四边形的对角线互相垂直，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的四边形是矩形，试证明．[提示：证有一个角是直角的平行四边形是矩形] 3．空间四边形ABCD，AB，BC，CD的中点分别是P， Q和R，[90°]4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和CC1的中点，求异面直线EF和GH所成的角是多少度？[60°]课堂教学设计说明1．为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要，一定要运用类比推理的思想，从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念，为了区别不同的相交直线要有角的概念．这样为了区别不同的异面直线要引入异面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了．例（Ⅱ）由（I）可得∠AEB 是二面角 A—EB1—B 的平面角，在 Rt△ABE 中，由 AB= 2 ， BE=1，得 tanAEB= 2 . 又由已知得平面 A1B1E⊥平面 BB1C1C，故二面角 A—EB1—A1 的平面角θ = π 2 -∠AEB ，故 tan θ = tan( 解法三：π 2 -∠AEB = cot AEB = 2 . 2 （I）以 B 为原点， BB1 、 BA 分别为y、z 轴建立空间直角坐标系. 由于 BC=1，BB1=2，AB= 2 ，∠BCC1= 在三棱柱ABC—A1B1C1 中有 B（0，0，0），A（0，0， 2 ） 1（0，2，0），B ，π3 ， C( 3 1 3 3 ,- ,0, C1 ( , ,0 2 2 2 2 设 E( 3 , a,0,由EA ⊥ EB1 ,得 EA ? EB1 = 0, 即 2 3 3 , 2 - a ,0 ,- a , 2 ? ( - 2 2 0 = (- = 3 3 + a ( a - 2 = a 2 - 2 a + , 4 4 1 3 1 3 3 1 得(a - (a - = 0,即a = 或a = (舍去, 故E ( , ,0 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 = ( , ,0 ? (-?? 0 = - + = 0,即BE ⊥ EB1 . 2 2 2 2 4 4 又 AB⊥面 BCC1B1，故AB⊥BE. 因此 BE 是异面直线 AB、EB1 的公垂线，则 | BE |= 3 1 + = 1 ，故异面直线 AB、EB1 的距离为 1. 4 4 （II）由已知有 EA ⊥ EB1 , B1 A1 ⊥EB1 , 故二面角 A—EB1—A1 的平面角θ的大小为向量 B1 A1与EA 的夹角.1由A1 (2,0, 3 , C1 (0,2 3 , 3 , 3 3 , ,0, 2 2 1 3 3 3 3 , 3 , EC1 =(- , 得 EA1 = ( ,- , 3 , 2 2 2 2 E( 3 9 ∴ EA1 ? EC1 = -- + 3 = 0, 4 4 ∴ EA1 ⊥ EC1 , 即EA1 ⊥ EC1 . ∴二面角A1 - BD - C1的大小为90 o. （Ⅲ）如图，由 D（0，0，0），A（2，0，0） 1（0， 2 3 ， 3 ，，B （3， 3 ，0），C ）得 AD = (-2,0,0, BC1 (-3, 3 , 3 , ∴ AD = BC1 = 6, | AD |= 2, | BC1 |= 15, ∴ cos( AD, BC1 = AD ? BC1 | AD || BC1 | =6 2 15 = 15 . 5 15 . 5 ∴异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos 解法三：（I）同解法一. （II）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为 E. 连结A1E，C1E，A1C1. 与（I）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1 为二面角A1—BD—C1 的平面角. 由 E（0，0，0） 1（0，－1， 3 , C1 (0,3, 3 , ，A 得 EA1 = (0,-1, 3 , EC1 = (0,3, 3 . Q EA1 ? EC1 = 0 ∴ EA1 ⊥ EC1 , 即EA1 ⊥ EC1 . ∴二面角A1 - BD - C1的大小为90 o . （Ⅲ）如图，由 A （0，－1，0），D（- 3 ，0，0），B（ 3 ，0，0） 1（0，3， 3 ）. ，C 得 AD = (- 3 ,1,0, BC1 = (- 3,3, 3 . ∵ AD ? BC1 = 3 + 3 = 6, | AD|= 2, | BC1 |= 15 , ∴ cos AD , BC1 = AD ? BC1 | AD || BC1 | = 6 2 15= 15 , 5在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与B1B所成的角是多少度？（45°）（2）问与AD1异面，且所成的角是45°的正方体的棱有哪几条？（4条即为B1B，C1C，B1C1，BC）（3）问AD1与B1C所成的角是多少度？（90°）（4）如果M，N分别是B1C1，C1C的中点，问MN与AD1所成的角是多少度？（90°）由第（4）问这个特殊的题，用一般化的方法得出定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条．例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与A1C1所成的角的度数？（△D1AC为等边三角形，∠D1AC=60°）（2）如果M，N分别为A1B1，B1C1的中点，求MN与BC1所成的角的度数？（60°）（3）如果P，Q分别是A1A，A1D1的中点，求PQ与MN所成的角的度数？（60°）例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB与A1C1所成的角的正切？（2）A1A与BC1所成的角的正弦？（3）A1C1与AD1所成的角的余弦？这叫余弦定理，我们补充的定理．详见代数课本第239页二解斜三角形中的3．5余弦定理．在讲完这三个例题后，可做如下总结．小结（1）以概念为指导作出异面直线所成的角；（2）找出这个角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解这个三角形，求出所要求的角．在求异面直线所成的角的三个步骤中，关键是第（1）步，即把空间角（异面直线所成的角）转化为平面角，把解立体几何中的问题化归为解平面几何中的问题．这节课可留如下作业．（1）重做课堂练习中的例3．（2）看代数课本第239～242页．余弦定理只要求记住定理和用法，定理证明过程可略．（3）做代数课本中第243页练习1（1）（2）（3）（4）．以上就是讲完异面直线所成的角和距离后第一节练习课的讲课提纲．在这节课中我们补充了余弦定理．在讲立体几何第一章中要不要提前补充余弦定理．在什么时候补充余弦定理，下面就谈一下自己在教学实践中的想法．4．对补充余弦定理想法余弦定理本来是初中的教材，在立体几何第一章的教学中不存在补充的问题．现在的教材把余弦定理放在高一的下半学期才讲，这就出现了在立体几何第一章的教学中要不要补充余弦定理的问题．从理论上来说，求异面直线所成角的问题都要归结到解三角形的问题．而解直角三角形的问题一般来说都比较简单，达不到提高学生解题能力的目的．而要解斜三角形，一般来说就要用到余弦定理，所以余弦定理是我们在解立体几何有关问题时思维链条中不可缺少的一个环节，所以一定要补上这一环，否则学生的解题能力很难提高．从实践上来说，1994年我从北京师大二附中退休后一直在教学第一线上工作．从1996年到1999年都在北京第九十二中教立体几何就补充了余弦定理，而且就是讲了异面直线所成的角以后补充．从教学实践的效果来看，学生完全能够理解，掌握余弦定理，并利用余弦定理来求异面直线所成的角．用一句通俗的话来说“过了这一村，就没有这个店”．错过了在这个时候补充余弦定理，并用余弦定理来求异面直线所成的角的机会，以后就很难有适当的机会再来解这些类型的题．当然，以上的一些想法只是个人在教学中的体会，提出来仅供老师们参考．。