北京大学2019年高等代数与解析几何试题及解答

⊗
E
−
E
⊗
(P2−1ATP2)
,
这个矩阵为上三角矩阵, 主对角线上元素即为 T 的特征值, 由此可得 T 的特征值为 λi − λj, i, j = 1, 2, · · · , n.
(2) 因 A 可对角化, 于是 A 有 n 个线性无关的特征向量, 设 Aξi = λiξi, i = 1, 2, · · · , n, 令 P = (ξ1, ξ2, · · · , ξn), 则 P −1AP = diag{λ1, λ2, · · · , λn}, 于是 T (P EijP −1) = (λi − λj)P EijP −1, 这说明 P EijP −1 是 T 的特征向量, 于是 T 有 n2 个线性无关的特征向量, 从而 T 也可对角化.
当 A 的特征值为 λ1, λ2, · · · , λn 时, T 的特征值为 λi − λj, i, j = 1, 2, · · · , n.
约定矩阵序列收敛是指矩阵序列中相同行相同列的元素构成的数列均收敛, 多项式序列收敛是指多项式的 同次幂的系数构成的数列均收敛.
先考虑 A 是可对角化的矩阵的情形, 上面证明原问题的第二小问的过程中就包含了这一结果.
为 ε 或 −ε 中的一个, 使得 |A + D| ̸= 0.
6.
(15
分)
设l1
:
x + y + z + 1 = 0 x + 2y + 3z + 3 = 0 ,
l2
:
x−1 1
=
y−1 2
=
z
− 1, 3
求这两条直线的距离和公垂线的方程.
7. (20 分) 在空间中有三条直线 l1, l2, l3 两两异面, 且不平行于同一个平面, 证明空间中与这三条直线都共面的 直线的并集是一个单叶双曲面.
−|I3 − A|, =⇒ |I3 − A| = 0, 于是 1 是 A 的一个特征值, (I3 − A)X = 0 的非零解即为特征值 1 对
应 的特征向量. 由 AX = X, 得 ATAX = ATX, 即 X = ATX, 因此 AX = ATX. 因为 A − AT =
a21
0 −
a12
a12 − a21 0
a13 a23
− −
aa3312 ,
结合
A
̸=
AT
知
X0
=
aa3123
− −
a23 a31
为
( A
−
AT) X
=
0
的一个
a31 − 非零解.
a13 此时
a32(− AA
a−23AT)
0 X0
=
0,
即
(A2
−
I )X0
=
0,
于是
a21 (A +
− a12 I) (A −
I) X0
=
0,
由
A
̸=
AT
可知
4.
(20
分)
设
A
∈ Mn(R),
AT
= A,
S
{ =X
∈ Rn
X T AX
=
} 0.
(1) 给出使 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明; (2) 若 r(A) = r < n 且 S 为 Rn 中的一个子空间, 求 dim S.
5. (20 分) 设 ε 是事先给定的正数, 证明对任意的 n 阶实方阵 A, 存在一个 n 阶对角矩阵 D, D 的每个对角元
北京大学 2019 年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.03.23
注: 本试题中 r(A) 表示矩阵 A 的秩；Eij 表示第 i 行第 j 列元素为 1，其余元素全为 0 的矩阵；AT 表示矩阵 A 的转置；|A| 表示矩阵 A 的行列式.
1. (20 分) 设 α1, α2, · · · , αr 是 Rm 中线性无关的列向量组,β1, β2, · · · , βs 是 Rn 中线性无关的列向量组. 求证： 若有实数 cij 使得 ∑r ∑s cijαiβjT = 0, 则 cij = 0, i = 1, 2, · · · , r, j = 1, 2, · · · , s.
BBT = BTB
(
Biblioteka Baidu
)
(
)(
)(
)(
)(
)
于是 P TAP = a 0 . 设 B = e f , 则 e f
eg
eg
=
ef ,
(
0B ) (
gh
)g h
fh
fh
gh
=⇒
e2 + f 2 eg + f h = e2 + g2 ef + gh , =⇒ f 2 = g2, 必定有 f = −g ̸= 0, 否则与
2
三角矩阵, 并且主对角线上元素分别为它们的特征值. 由于 (P1−1 ⊗ P2−1) (P1 ⊗ P2) = (P1−1P1) ⊗ (P2−1P2) = En ⊗ En = En2
于是 A ⊗ E − E ⊗ AT 相似于
(P1−1
⊗
P2−1)
( A
⊗
E
−
E
⊗
AT)
(P1
⊗
P2)
=
(P1−1AP1)
然后考虑一般的矩阵 A, 我们可以取一列可对角化的矩阵 Ak → A, (k → ∞), 并且 Ak 的特征值 λ(ik) 趋于 A 的特征值 λi, 即 λ(ik) → λi (k → ∞). 设 T 在基 E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , En1, En2, . . . , Enn 下的矩阵为 M, 则 M 的阶数为 n2, M 的元素为 A 中元素的一次多项式. 设当把 A 换成 Ak 后的线性变换 为 Tk, Tk 在上述基下的矩阵为 Mk. 此时将有 Mk → M, (k → ∞), 从而 Mk 的特征多项式 pk(x) 趋于 M 的特征多项式 p(x). 由前面已经证明的情形得
而 因此
∏n ∏n ( (
))
pk(x) =
x − λ(ik) − λ(jk) ,
i=1 j=1
∏n ∏n
pk(x) →
(x − (λi − λj)) , (k → ∞),
i=1 j=1
∏n ∏n
p(x) =
(x − (λi − λj)) .
i=1 j=1
因此 M 的特征值为 λi − λj, i, j = 1, 2, · · · , n. 这也是 T 的特征值. 把上面的极限过程去掉, 写得更代数一 点可以这样:
i=1 j=1
2. (20 分) 设 A 是 3 阶实方阵, AAT = ATA, 且 A ̸= AT.
(1)
证明存在正交矩阵
P,
使得
P TAP
=
a 0
0 b
0 c
, 其中
a, b, c 都是实数.
0 −c b
(2) 若 A = ∑3 ∑3 aijEij, AAT = ATA = I3, 且 |A| = 1. 证明 1 是 A 的一个特征值, 并求特征值 1 对应
3
设可逆矩阵 P 使得 P −1AP 为上三角矩阵, 考虑矩阵 A(t) = A + P diag{t, t2, . . . , tn}P −1, 则 A(t) 的特征 值为 λi + ti, 1 ≤ i ≤ n. 使 A(t) 有相同特征值的复数 t 只有有限个, 因此存在无穷个 t ∈ C 使 A(t) 的 n 个 特征值均不相同, 这样的 A(t) 为可对角化矩阵, 利用已经知道的 A 为可对角化矩阵时的结果, 这时线性变 换 TA(t) 在基 E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , En1, En2, . . . , Enn 下的矩阵 M (t) 的特征多项式为
ge + f h g2 + h2
f e + gh f 2 + h2
AT ̸= A 矛盾，令 f = c, 则 c(e − h) = −c(e − h),
=⇒
e = h, 记 e = b, 则 P TAP
=
a 0
0 b
0 c
,
0 −c b
其中 a, b, c 都是实数.
(2) 因为 AAT = ATA = I3 且 |A| = 1, 于是 |I3 − A| = |ATA − A| = |AT − I3||A| = |A||A − I3| =
8. (15 分) 证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.
1
1. 令 A = (α1, α2, · · · , αr), B = (β1, β2, · · · , βs), C = (cij)r×s , 则 0 = ∑r ∑s cijαiβjT = ACBT, 因为
i=1 j=1
r(A) = r, 因此 CBT = 0, 于是 BCT = 0, 又因为 r(B) = s, 因此 CT = 0, 因此 cij = 0, i = 1, 2, · · · , r, j =
(
)(
a αT , 0 B)
因为 AAT = ATA，所以 (P TAP )(P TAP )T = (P TAP )T(P TAP ), 即 a αT
a0
=
( a
α
)(
0
a
BT
0
)
(
αT , 于是 a2 + αTα
B
Bα
)(
αTBT
a2
=
BBT
aα
aαT
0B )
α BT α = 0
,故
,
BTB + ααT
把 T 看成两个线性变换 (一个是左乘矩阵 A, 一个是右乘矩阵 A) 的差, 则 T 在 Mn (C) 的一组基 E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n, . . . , En1, En2, . . . , Enn 下的矩阵 (写成矩阵张量积的形式) 为 A ⊗ E − E ⊗ AT, 由 J ordan 标准型理论知道存在可逆矩阵 P1, P2, 使得 P1−1AP1, P2−1ATP2 均为上
1, 2, · · · , s.
注 此题与 Michael Artin 的 Algebra 英文版第二版第 100 页题 3.7 类似.
2. (1) 由于 A ∈ M3(R), 故必有一个实的特征值，设为 a，设它对应的一个单位特征向量为 ξ1, 将 ξ1(扩充为一)组
标准正交基 ξ1, ξ2, ξ3, 则 Aξ1 = aξ1, 设 P = (ξ1, ξ2, ξ3), 则 P TAP = P T(aξ1, Aξ2, Aξ3) =
注 上面证明中用到丘维声老师的《高等代数》创新教材下册 301 页例 27 给出的一个结论 (容易证明):
设 A, B 分别是 n 阶, m 阶复方阵，则矩阵方程 AX − XB = 0 只有零解的充分必要条件是 A 与 B 没有公共特征值.
与此题相关的题目: 中国科学技术大学线性代数考研试题 2013 年第 10 题，2009 年第 7 题. 矩阵张量积的 知识请自行查阅教材, 这里只说一点, 定义 A ⊗ B = (aijB) , 即运算所得矩阵是一个更大的矩阵, 若看做分 成相同大小的分块矩阵, 则第 i 行第 j 列对应的小矩阵为 aijB. 此题第一问与 Michael Artin 的 Algebra 英 文版第二版第 151 页题 2.3 几乎完全一样, 利用该书第五章第二节中的内容可以给出此题的另一个做法. 此 题第一小问相当于是要证明:
det (A + I) ̸= 0, 从而 (A − I) X0 = 0, 因此 kX0 (k ̸= 0) 为特征值 1 对应的特征向量.
注 实际上考的正规变换矩阵的正交相似标准型，在蓝以中老师的《高等代数学习指南》第 306 页有更一般性 的结论, 在丘维声老师的《高等代数》创新教材下册也能找到类似的题目. 此题第二问为 Michael Artin 的 Algebra 英文版第二版第 151 页题 1.5 的 (b).
i=1 j=1
的特征向量.
3. (20 分) A ∈ Mn(C), A 的特征值为 λ1, λ2, · · · , λn. 定义 Mn(C) 上的线性变换 T 为
T : Mn(C) −→ Mn(C) B −→ AB − BA
(1) 求变换 T 的特征值;
(2) 若 A 可对角化, 证明 T 也可对角化.
3. (1) 设 λ 是 T 的特征值, B (B ̸= 0) 是其对应的一个特征向量，则 T (B) = λB, 即为 AB − BA = λB, ⇐⇒ AB = B(λE + A), ⇐⇒ A与λE + A 有相同的特征值, ⇐⇒ ∃ i, j ∈ {1, 2, · · · , n}, λi = λ + λj, ⇐⇒ ∃ i, j ∈ {1, 2, · · · , n}, λ = λi − λj. 于是 T 的所有特征值构成的集合为 {λi − λj | i, j = 1, 2, · · · , n.} . 特别地, 0 始终是 T 的特征值. 前面的论述告诉我们 T 的特征值的所有可能取值, 但是并没有告 诉我们那些特征值的代数重数. 下面用一种更直接的方法来证明一个更精确的结果: T 的特征值为 λi − λj, i, j = 1, 2, · · · , n. 也即是说 T 的 n2 个特征值为让 i, j 分别取遍 1 到 n 计算得到的 λi − λj. 特别地, 0 为 T 的特征值且代数重数至少为 n.