七年级数学专题一 数学思想解读华东师大版

初一数学专题一数学思想解读华东师大版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

专题一数学思想解读

二、内容概要

数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多. 通过七年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等几种数学思想方法.

三、知识点分析

1. 方程思想.

所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用.

2. 数形结合思想

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.

3. 分类讨论思想

分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.

4. 转化思想

转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题就意味着转化，即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”，把“高次”转化为“低次”，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等.

5. 整体思想

研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想.

6. 由特殊到一般的归纳思想：

在研究数学问题时，常常通过对特殊情况的问题的探究，推广到一般情况，从而归纳出一般规律. 本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想.

7. 对称思想

数学家赫尔曼⋅外尔曾经说过：对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、美丽和完善……”.利用对称思想，同学们可较简单地进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题.

【典型例题】

例1. 一个多边形的外角和是内角和的

2

7

，求这个多边形的边数. 分析: 根据“n 边形的内角和等于(2)180n -⋅”与“多边形的外角和等于360”和已

知条件，列方程可求解.

解答: 设多边形的边数为n ，则根据题意得方程：

2

(2)1803607

n -⋅⨯= 解得9n =

所以，这个多边形的边数为9. 评注：对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数问题或几何问题.

例2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，BD 是∠ABC 的平分线，求∠A 的度数.

解析: 由于BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，又∠BDC ＝∠A+∠ABD ，所以由已知条件可建立∠A 与∠C 的关系，列出方程.

设∠A=x °，由于BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝

111

222

ABC C BDC ∠=∠=∠，而∠BDC ＝∠A+∠ABD ，所以2∠BDC ＝2∠A+∠ABC ，所以∠ABC ＝2∠A ＝2x °，

则有x °＋2x °+2x °=180°，所以x °＝36°，即∠A ＝36°. 评注：解决几何中的求值问题，往往通过建立方程（组）来求解.

例3. 求不等式组255246715x x

x x -<-⎧⎨--⎩

≥的自然数解.

分析: 欲求不等式组的自然数解，一般思路是先求出不等式组的解集，再在数轴上表示

出其解集，从而进一步求出问题的答案.

解答: 解不等式2552x x -<-得52

x < 解不等式46715x x -≥-得3x ≤ 所以，原不等式组的解集是5

2

x <

，其解集在数轴上表示如图所示

所以，其自然数解为0、1、2.

评注：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0.

例4. 等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长.

分析: 由于已知的“一条边的长是6”，未告之是腰长，还是底边长，所以应分类讨论求解.

解答: （1）当周长为16，腰长为6时，该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长为16－6－6=4，即另两边分别为6和4；

（2）当周长为16，底边长为6时，该等腰三角形的另两边都是腰，其长为（16－6）÷2=5，即另两边长为5、5.

评注：求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均需用分类讨论思想求解.

例5. 在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长.

解析：因为中线是BD，所以AD＝CD，分成两部分周长不等的原因是AB≠BC，所以需要分AB＞BC或AB＜BC两种情况进行讨论.

设AB=x cm，则AD=CD=1

2

x，若AB>BC，则有AB+AD＝15，即

3

15,10,

2

x x

==

即AB＝AC＝10cm，CD＝1

2

x＝5 cm. 则BC+CD＝12，BC＝12－CD＝7（cm）.

AC+AB>BC，可构成三角形；

若AB

12,8,

2

x x

==即AB＝AC＝8（cm）. CD＝

1

2

x＝4

cm. 则BC+CD＝15，BC＝15－CD＝11（cm）. AC+AB>BC，可构成三角形；

于是三角形三边的长分别为10cm，10cm，7cm，或8cm，8cm，11cm.

评注：三条线段能否构成三角形，只需两条相等线段之和大于第三条线段，那么这三条线段一定构成等腰三角形. 涉及到等腰三角形求边问题时往往需要分类讨论.

例6. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？

分析：由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于180，所以若内角为锐角，则其外角为钝角，将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷.

解答：因为多边形的外角和为360

所以多边形的外角中最多有3个钝角，

所以多边形的内角中最多有3个锐角.

评注：此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.

例7. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.