06章水泥路面荷载应力分析讲稿

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路面设计原理与方法
五．多层地基板及有限尺寸板 １．多层地基板 了解层状地基与板的分析方法 ２．有限尺寸板 刚性指数 1 ２ E0 R 3 S＝ 3 ２ E h3 1－０
Ｒ－－ 板 的 刚 性 半 径 Ｓ＜０．５ 绝对刚性板 ０．５＜Ｓ＜１０ 有限刚性板 Ｓ＞１０ 绝对柔性板
六．混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 １．弹性力学问题的解法 理论法 有限差分法 有限元法 变分法 ２．有限元法的发展 张佑启和监克维奇１９６５年首先分析弹性地基板 Ｈｕｄｓｏｎ，Ｗ．Ｒ ａｎｄ Ｍａｔｌｏｃｋ，Ｈ 分析了刚性路面出现翘 曲的情况 Ｈｕａｎｇ，Ｙ．Ｈ 分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力 1．基本理论 利用弹性曲面微分方程，可以得出板中弯矩与挠度的关系为：
【３】荷载作用于板角（荷位３）
2 R 0.6 P c 31 l h2
5．半径Ｒ的修正 在弹性薄板假定中，忽略了竖向应力ｚ的影响， 并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直 线。如果作用在面板上的力不出现集中现象，荷载半 径Ｒ与厚度ｈ相差并不大，则以上的假定是符合实际 的． 假如出现集中现象， Ｒ同ｈ相比， 小于某一限度， 则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计 算。由此采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ的 关系按下式确定∶
1 Ec h 3 M ＝ 12 （1 c2 ） c 0
c
1 0
M ＝ D
2w － x ２ 2 w － y 2 2w － 2 xy
2w － ２ x 0 2w 0 － 2 y 1 ｃ 2w 2 － 2 xy
（6-42）
如果已知各结点的位移，则可以解出１２系数与结点位移的关系式，回代后得：
w＝ N
e
（6-43）
将式（6-43）代入式（6-40）得：
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2w － x ２ 2 w e － B 2 y 2w － 2 xy
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第四讲
水泥混凝土路面应力（一）
一．早期荷载应力计算（C.Older 1920 年） １．计算公式 假定地基脱空，板是悬臂变截面 梁，由此推导出计算公式。
M＝Pa＝
I
y

＝
2ah 2 2 12 ＝ ah h2 3
图 6-1 路面板与地基脱开
＝
h＝
3P h2 3P

二．地基假定 １．温克勒地基 ２．弹性半空间地基 三．Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ计算公式 １．基本假定 形变分量z 极其微小，可以不计，z＝０ ｚｘ＝ｚｙ＝０ ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ 2．理论分析 从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为Ｈ得单元，根据单元的平衡条件（Ｚ＝０； Ｍｘ＝０；Ｍｙ＝０），可导出当板表面作用竖向荷载ｐ，地基对板的作用反力ｑ，板中面 的挠曲微分方程为： Ｄ22w＋ｑ＝ｐ 由温克勒地基假定，ｑ（ｘ，ｙ）＝ｋw（ｘ，ｙ）得： Ｄ22w＋ｋw＝ｐ ＷＥＳＴＥＲＧＡＡＲＤ经过假定，提出了应力分析的理论公式。 3．荷载位置 4．应力计算 【１】荷载作用于板中（荷位１） 板底最大应力
1 ｃ P J1 a J1 r d 3 3 c J ０ r ０ a l ＋ r J1 r 1 r 2
当r0时 因 Lim
M r ＝M ＝
P 1 ｃ 2a




J １ a l 3 ＋ ３
图 6-8 单元结点力与结点位移 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力，转角的正向以右手螺旋规则决定。 由几何关系有 x
w w 及 y ，因此在节点 i，它的位移可以表示为 y x
w i wi w i xi y i yi w x i
l＝h３
2 Ec 1 － 0 2 6 E0 1 － c
均布荷载 p paJ1 a

＝
PJ1 a a
集中荷 载 p ＝ P 2
Mr ＝
M ＝
1 c P J1 a J r J1 r d 0 3 3 0 a l ＋ r
e＝0.572 4 lg
L P ＋lg b 2 b h
（6-21）
由计算结果可知，凯利结果比没有修正的结果大６－１７％ 【３】荷载作用于板角（荷位３） Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之一。
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P （6-22） 2 h Ｋｅｌｌｙ通过观测，在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，板与地基保持接 触，实测应力与理论计算结果一致；在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测 应力明显大于理论计算结果，且大于Ｂｒａｄｂｕｒｙ公式的计算结果，Ｋｅｌｌｙ提出 了修正公式。
i ＝ 0.316 4 lg

L P 0.633 2 h b
（6-20）
由计算结果可知，修正结果比没有修正的结果小 9－28％ 【２】荷载作用于板边（荷位２） 在没有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力与理论计算结果很一致；假如ａ值 较大，则实测应力大于理论计算结果；假如ａ较小，则实测应力小于理论计算结果，但差 异很小。在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力略大于理论计算结果；在夜 晚有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果。 Ｋｅｌｌｙ提出了修正。当Ｌ＝５ l 时
2 1－２ 0 q E0


D ４W
Ｅ0 W p 2 1－２ 0


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W
D 4＋

E0 2 2 1－0
p


W（r） W J 0 r d
0 2 （ 2 1－0 ） （ p ）J 0 r W（r） d 0 E0 1 l与方法
1 式中： Ech3 D 12 （1 c2 ） c 0
c
1 0
1 ｃ 2 0 0
由此可知，只要知道板的位移表达式，可以得出板中的弯矩。 2．矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块，因此在有限元分析中，采用矩形 单元较为合适。此外，采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质。一 块连续的薄板被离散化，分割为若干个单元之后，单元各结点相互连接。由于相邻单元之 间有法向力和力矩传递，所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结 点，它的广义位移，对于每个单元都是相等的，所承受的广义结点力也相等。单元的编号 顺序与结点的编号顺序是任意的，但是必须保证计算分析时，计算机程序结构紧凑，总刚 度矩阵带宽较窄，少占机器内存。 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度 w 来表示，因此，薄板单 元中的位移模式问题，就是挠度 w 取什么样的函数(坐标 x 和 y 的函数)的问题。如取弹性 地基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度，故挠度 w 的表达式含有 12 个参数，现取如下的位移模式： ２ ２ ３ ２ Ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘ ＋ａ５ｘｙ＋ａ６ｙ ＋ａ７ｘ ＋ａ８ｘ ｙ＋ａ９ｘ ２ ３ ３ ３ ｙ ＋ａ１０ｙ ＋ａ１１ｘ ｙ＋ａ１２ｘｙ

T
F dxdydz
T
（6-46）
将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为：
F 因 B
T ｅ

e

T
Mdxdy
（6-47）
e
M D B
０
d
４．贝塞尔函数的计算 计算方法同前 ５．弹性半空间地基板路面计算程序（ＣＰ０３） （１）程序 （２）数据文件 cp03dat 1,4,4,350000.,500.,0.15,0.35,15. 0.,0.,20.,20. 0.,40.,0.,40. -20.,-20.,20.,20. -40.,40.,-40.,40. 5000.,5000.,5000.,5000. 15.,15.,15.,15. 48. （３）计算结果 cp03out
D
2 121 c
Ech 3
３．公式推导 利用亨格尔变换方法，可以推导理论解。 亨格尔变换∶
f ( ) f (r ) J 0 ( r )rdr
0
f (r ) f ( ) J 0 ( r )d
0



0
(r )J 0 ( r )rdr 2 0
当 R 1.724h 时，b＝ 16 . R 2 h 2 0.675h 当 R 1.724h 时，b R
图 6-4 半径修正 （6-18） 6．阿灵顿试验路 １９３０年美国在阿灵顿（Ａｒｌｉｎｇｔｏｎ）进行了混凝土路面足尺试验，通过 试验，对应力计算公式进行了修正。 【１】荷载作用于板中（荷位１） 认为实测应力小于计算值，Ｋｅｌｌｙ和Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出了应力修正公式。 当Ｌ＝１．７５ l ，＝０．１５时，Ｋｅｌｌｙ板底最大应力修正公式： L P （6-19） i ＝0.316 4 lg 0.178 2 h b 当 L=5 l ，＝０．１５时，Ｂｒａｄｂｕｒｙ板底最大应力修正公式。
（6-44）
将式（6-44）代入式（6-39）得：
M D B e
（6-45）
3．单元刚度矩阵（虚功原理） 根据虚位移原理，如果在一组外荷载作用下，弹性体是处于平衡状态的，当其受到一 附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后， 结构仍为一连续体)， 同时力系在 虚位移过程中始终保持平衡，则外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个弹性体内应力在虚 应变上的虚功。