2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(有答案解析)

2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科）
（2月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.在复平面内，复数是虚数单位对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.设复数z满足为虚数单位，z在复平面内对应的点为，则
A. B.
C. D.
3.设m为正整数，展开式的二项式系数最大值为a，展开式的二项式数的最
大值为b，若，则
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.函数的图象大致为
A. B.
C. D.
5.射线测厚技术原理公式为，其中，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然
对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅低能射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢的密
度为，则这种射线的吸收系数为
注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到
A. B. C. D.
6.设且，则
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右顶点为A，抛物线的焦点为若在E
的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，
则：
平面分正方体所得两部分的体积相等；
四边形一定是平行四边形；
平面与平面不可能垂直；
四边形的面积有最大值．
其中所有正确结论的序号为
A. B. C. D.
9.已知函数，则函数的零点个数为
是自然对数的底数
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
10.设，，则当时，取得最小值．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11.在平面直角坐标系xOy中，设定点，P是函数图象上一动点．若点P，A
之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为
A. B.
C. 或
D. 或
12.已知，设函数存在极大值点，且对于b的任意可能取
值，恒有极大值，则下列结论中正确的是
A. 存在，使得
B. 存在，使得
C. a 的最大值为
D. a的最大值为
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄
段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：
老年人的人数多于中年人的人数；
中年人的人数多于青年人的人数；
青年人的人数的两倍多于老年人的人数．
若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为______；
抽取的总人数的最小值为______．
14.已知数列的前n项和，如果存在正整数n，使得成
立，则实数p的取值范围是__________．
15.已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相
切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，，球与三棱锥的三个面和球都相切，且，则球的体积等于______，球的表面积等于______．
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互
相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成
两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”则下列有关说法中：
对于圆O：的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
函数是圆O：的一个太极函数；
存在圆O，使得是圆O的一个太极函数；
直线所对应的函数一定是圆O：
的太极函数；
若函数是圆O：的太极函数，则．所有正确的是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知．
求的最大值及取得最大值时相应的x的值；
若函数在区间上恰有两上零点，，求的值．
18.已知菱形ABCD的边长为4，，，将菱形ABCD沿对角线BD折起，
使，得到三棱锥，如图所示．
当时，求证：平面BCD；
当二面角的大小为时，求直线AD与平面ABC所成角的正切值．
19.半圆O：的直径两端点为，，点P在半圆O及直径AB上运
动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；
若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．
20.某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8
元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于，则销售5000件；若气温位于，则销售3500件；若气温低于，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到下面的频数分布表：
气温范围
单位：
天数414362115
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
求今年8月份这种食品一天销售量单位：件的分布列和数学期望值；
设8月份一天销售这种食品的利润为单位：元，当8月份这种食品一天生产量单位：件为多少时，y的数学期望值最大，最大值为多少？
21.已知函数为反比例函数，曲线在处的切线方程为．
求的解析式；
判断函数在区间内的零点的个数，并证明．
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为．
求曲线C的直角坐标方程；
设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为，求．
23.已知函数，不等式的解集为．
求m的值；
若，，，且，求的最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：
，
对应的点在第二象限．故选B．
注意到3rad的范围，再作进一步判断．
本题是基本概念的考查．
2.答案：B
解析：【分析】
本题考查复数模的求法，是基础题．
由已知求得z，代入，求模整理得答案．
【解答】
解：由z在复平面内对应的点为，且，
得，
，
整理得：．
故选：B．
3.答案：B
解析：解：为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为a，
以及二项式系数的性质可得，
同理，由展开式的二项式系数的最大值为b，可得．
再由，可得，即，
即，即，解得，
故选：B．
根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程求得m的值．
本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．
4.答案：A
解析：解：，即函数在定义域上为奇函数，故排除D；
又，故排除B、C．
故选：A．
由函数为奇函数，排除D；由，，排除BC，进而得解．
本题考查由函数解析式确定函数图象，旨在考查函数性质的运用，属于常规题目．
5.答案：C
解析：【分析】
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．
由题意可得，两边取自然对数，则答案可求．
【解答】
解：由题意可得，，
，
即，则．
这种射线的吸收系数为．
故选：C．
6.答案：D
解析：解：，，
，
，
由诱导公式可得，
，，
，变形可得，
故选：D．
由题意和三角函数公式变形可得，由角的范围和余弦函数的单调性可得．
本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．
7.答案：B
解析：解：双曲线的右顶点为，
抛物线C：的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
可设，
即有，，
由，可得，
即为，
化为，
由题意可得，
即有，
即，
则．
由，可得．
故选：B．
求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：
数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．
本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．
8.答案：C
解析：【分析】
本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题．
运用正方体的对称性即可判断；
由平行平面的性质可得是正确的；
当E、F为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得正确；
当F与A重合，当E与重合时，的面积有最大值，当F与A重合，当E与重合时，
的面积有最大值，可得正确
【解答】
解：如图，则：
对于：由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分
的体积相等，故正确；
对于：因为平面，平面平面
，平面平面，
，同理可证：，故四边形一定
是平行四边形，故正确；
对于：当E、F为棱中点时，平面，又因为
平面，所以平面平面，故不正确；
对于：当F与A重合，当E与重合时，的面积有
最大值，故正确．
正确的是，
故选：C．
9.答案：B
解析：【分析】
本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．
注意到当时，函数值恒小于0，当时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，通过分类讨论结合数形结合思想得解．
【解答】
解：不妨设，，
易知，在上恒成立，且在单调递增；
，
设，由当x趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，，且函数在上单增，
故函数存在唯一零点，使得，即，则，故当时，，，单调递减；当时，，，
单调递增，
故，故；
令，，
当时，，解得，此时易知有一个解；
当时，，即，作函数与函数的图象如图所示，
由图可知，函数与函数有两个交点，设这两个交点为，，且，，
而由图观察易知，，均有两个交点，故此时共有四个解；
综上，函数的零点个数为5．
故选：B．
10.答案：C
解析：解：因为，，
要取得最小值，则，
则，
，
当且仅当，时取等号，此时，
因为，
所以，，
故选：C．
要取得最小值，则，，利用基本不等式可求．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
11.答案：D
解析：解：设，则
．
令
令，．
该函数对称轴
时，递增，
解得或舍
时，
解得或舍．
综上，a的取值为或．
故选：D．
先利用两点间距离公式表示出，然后利用换元法将转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值时得到关于a的方程，求解即可．
本题主要考查两点间距离公式和代数变换求最值，属于中档题．
12.答案：D
解析：解：函数的定义域为，
则函数的导数，
若函数存在极大值点，
则有解，
即有两个不等的正根，
则，得，，
由得，，
分析易得的极大值点为，
，，
，
则，
设，，
的极大值恒小于0等价为恒小于0，
，
在上单调递增，
故，
得，即，
故a的最大值为是，
故选：D．
求函数的导数，根据函数存在极小值等价为有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可．
本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．
13.答案：6 12
解析：解：若青年人的人数为4，则老年人数小于，故老年人数最多为7，
老年人的人数多于中年人的人数，
故中年人的人数对多为6．
由题意，青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5，
抽取的总人数的最小值为，
故答案为：6；12．
由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论．
本题主要考查分层抽样，属于基础题．
14.答案：
解析：解：数列的前n项和，
，
，
又，
，
由题意知数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正，
偶数项为递增的等比数列且各项为负，
不等式成立即存在正整数k使得成立，
只需要，
即即可，
故即实数p的取值范围是
故答案为：
求出，，
从而数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正，偶数项为递增的等比数列且各项为负，进而不等式成立即存在正整数k使得成立，只需要
，由此能求出实数p的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n项和与数列中的项的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
15.答案：
解析：解：如图，设球半径为，，球的半径为，E为CD中点，球与平面ACD、BCD切于F、G，球与平面ACD切于H，
作截面ABE，设正四面体的棱长为a，
由平面几何知识可得，解得
，
同时，解得，
把代入的，，
由平面几何知识可得数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，故球的体积；
球的表面积，
故答案为；
利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列是以为首项，公比为的等
比数列，代入计算即可
本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．
16.答案：
解析：解：对显然错误，如图
对，点均为两曲线的对称中心，且能把圆
一分为二，正
对，函数为奇函数，当
时，
，
当时，，，函数递减；
当时，，
当时，，，
函数关于中心对称，有三条渐近线，，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．
对于直线恒过定点，满足题意．
对于函数为奇函数，与圆的交点恒坐标为，
，
，
令，得，
即
得即；
对，当时显然无解，即时也无解，
即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分．
若时，函数图象与圆有4个交点，
若时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．
，
故所有正确的是
故答案为：
利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．
本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．17.答案：解
的最大值为2，此时，即
，
令，，
设，是函数的两个相应零点，，
由图象性质知，即，
．
解析：本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值最值的求解一般是整体思想，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的
运用，利用三角公式化简函数
结合正弦函数的性质，把看成中的“x“分别求解
代入可得，换元，从而可得，，结合正弦函数的图象可求．
18.答案：解：证明：在中，，
，
，
，即，
，且，
平面BCD；
由知，，以O为坐标原点，OC，OD所在
直线分别为x轴，y轴
建立如图的空间直角坐标系，
则，
，，
为二面角的平面角，
，
，，
设平面ABC的一个法向量为，则，可取
，
设直线AD与平面ABC所成角为，则，
．
解析：由勾股定理可得，又，即可证得平面BCD；
建立空间直角坐标系，求出直线AD的方向向量以及平面ABC的法向量，利用向量公式即可求得正切值．
本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理能力，属于常规题目．19.答案：解：设，则，由题意可得当P在直径AB上运动时，
显然；当P在半圆O上时，，
所以曲线C的方程为或；
设曲线上两动点，，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，
不妨设，则，
，，
等号成立时，，或，，
由两点的距离公式可得，
故曲线C的“直径”为．
解析：设，则，分别讨论P在直径AB上时，以及P在半圆O上时，代入方程，
化简可得所求曲线的方程；
设曲线上两动点，，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．
本题考查曲线的方程的求法和运用，考查坐标转移法和转化思想、以及二次函数的最值求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．
20.答案：解：今年8月份，这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，
，，，X
X 2000 3500 5000
P
X的数学期望为．
由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑
，
当时，若气温不低于30度，则，
若气温在之间，则，
若气温低于25度，则，
此时，
当时，若气温不低于25度，则，
若气温低于25度，则，
此时，
所以时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900．
解析：销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，求出每个X的取值对应的概率即可得分布列与数学期望；
这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑，然后分和两个类别，分别计算数学期望，再比较两者的大小即可．本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，及期望的实际应用，考查学生的数据分析能力和运算能力，属于中档题．
21.答案：解：设，则，
又直线的斜率为，过点，
，，又，
．
函数在上有3个零点，证明如下：
证明：，则，
又，
在上至少有一个零点，
在上单调递减，在上有一个零点．
当时，，故F，
函数在上无零点；
当时，令，，
在上单调递增，又，
，使得在上单调递增，在上单调递减，
，在上有2个零点，
综上，函数在上有3个零点．
解析：根据条件，利用待定系数法求出的解析式；
函数在上有3个零点，然后利用综合法证明函数存在3个零点即可．
本题考查了函数解析式的求法，利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
22.答案：解：曲线C的方程，
，，
即曲线C的直角坐标方程为：．
把直线代入曲线C得，
整理得，．
设，为方程的两个实数根，则，，，为异号，
又点在直线l上，
．
解析：由曲线C的方程的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．
把直线代入曲线C得由此能求出．
本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.答案：解：，的解集为，
，解得，即．
，．
又，，，
，
当且仅当，结合解得，，时，等号成立，的最大值为32．
解析：通过的解集为，利用绝对值的几何意义转化求解即可．通过，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．
本题考查绝对值不等式的解法，均值不等式求解表达式的最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。