08-刚体定轴转动动能定理 刚体复合运动

o
dA M d
力F 的功 力矩的功
0
r
P

A
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M d
3
刚体内力的功？
2. 力矩的功率
dA d P M M dt dt
力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。 3. 刚体定轴转动动能：
1 1 2 Ek i mi vi mi ri2 2 2 2 1 1 2 E k m i v i ( m i ri 2 ) 2 2 2 1 1 2 J z J 2 2 2
动量守恒？
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四、刚体转动的动能定理 1. 力矩的功 在外力 F 作用下，刚体移过d 角，外力功为
dA F dr F cos ds cos sin ds r d
z
d dr F
dA F sin r d
O’
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C
三、刚体的进动
dL M dt
M
M dt d L
L
M
r mg 不旋转的陀螺
倒了！
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r mg
旋转的陀螺 转轴进动！
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L L
dL
M
俯视图
回转仪的进动 刚体的角动量在水平面之内。 | M || rC mg | mgrC sin mgl
dt
2 J r 转动惯量 dm
角动量 L J dL M J 转动定律
dt
动量定理
F d t m v 2 m v1
角动量定理

M dt J 2 J 1
动量守恒定律 F外 0 条 件， P 常矢量
2 2 m r ii
2 1 Ek 1 mv C 2 2
刚体的总动能＝质心的平动动能＋绕质心的转动动能
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J
例1：在光滑的水平桌面上有一静止的匀质细棒， 现在棒的一端施一垂直于棒的水平力 F。 求：①棒的质心加速度。②棒上何处加速度为零。 解：①由质心运动定律： ac F / m ②由刚体转动定律：
E p mi ghi g mi hi
刚体重力势能 E p mghc 根据质心定义
1 1 2 2 E E E mgh J mv 刚体机械能 p k c C 2 2
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例1：一刚性均匀细棒可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴 转动。棒长l 质量为m，令棒由水平位置自由下摆，求：(1) 棒在任意位置 时的角加速度; (2) 棒从开始摆至垂直位置 时重力矩做的功；(3) 垂直时的角速度。 解： (1) M l cos mg
M J f R J
f
N
mg

2 2 3 mR 2 mRa C a C R g sin 3 3 5 2 5 5 M J mgR sin ( mR 2 mR 2 ) mRR mRaC 3 3 3
②因摩擦力不做功，可用机械能守恒定律。
mgL sin mgh
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1 12 5 mv 2 m R 2 2 mv 2 2 23 6
9
v
6 gh 5
例3：内壁光滑的圆环形细管绕竖直光滑固 定轴OO’自由转动。环半径为R。一质量为 m的小球静止于管内最高点A处。由于微小 扰动，小球向下滑动，判断在下滑过程中 下列说法是否正确。 A. 小球的动量不守恒.
三、刚体对定轴的角动量守恒定律 dL M 0 , J 22 J11 M dt 角动量守恒： a) 一个刚体，J 不变： 不变 b) 一个刚体，J ↑(↓)： ↓ (↑) 茹可夫斯基凳，滑冰, 跳水… c) 刚体系统：
m m
r2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r1
J 11 J 2 2 恒量
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3g l
0
§3.3 刚体的复合运动
质心平动 + 绕通过质心轴转动 复合运动 = 平动 + 转动
一、质心系的动量 ri rC ri mi ri mi rC mi ri
z
m m r m r m r ii i C ii m i ri 0 mi vi 0 , mi ai 0

M

L J , L ( J ) t M J M J M L
M 进动角速度： L
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l
mg
L
t
L
平动与转动的主要内容对照 平 动 转 动 质量m 动 量 p mv dp ma 牛顿定律 F
1 1 2 A mv 2 m v12 2 2
重力势能
E P mgh
E p mghc
机械能守恒 A外 A非保 E Ek E p


求解刚体及与质点构成系统的有关问题
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M J
F
l, m
x
l 1 F J m l 2 2 12

6F l m
设距质心右侧 x 处在运动开始的瞬间加速度为零。 l F 6F at ( x ) aC x x 0 x 击打中心问题 m lm 6
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例2：一个质量为m、半径为R的球壳在长为L的斜 面的顶端由静止无滑动地下滚。 求：①下滚加速度②落底速度。 解：①以质心为转轴，列方程： N mg cos 0 mgsin f maC
3g cos 2l l (2) A Md 2 l mg cos d mg 0 2 2
(3) 90 0 杆机械能守恒
2 l 1 2 cos mg ml 2 3
M J

mg
l 1 1 1 2 2 2 mg J ( ml ) 2 2 2 3
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角动量守恒定律 条 件，M 0 L 常矢量
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平动与转动的主要内容对照 平 动
b a
转
F dr
动

0
力的功：A
力矩的功： A Md 刚体定轴转动的动能定理： 1 1 2 A J 2 － J 12 2 2 重力势能
质点的动能定理：
O A
R
B
B. 小球对OO轴的角动量守恒 C. 地球、环管和小球组成的系统的机械能不守恒 分析：A. 正确. 小球下滑过程始终受管壁压力和重力作用, 而两力方向不同, 合力不为零. B. 不正确. 重力始终与OO 轴平行, 重力矩为零, 但管 壁对小球的压力方向不通过OO 轴, 力矩不为零. C. 不正确. 在此系统中, 当球下滑时, 只有重力作功. 小球和环组成的系统的角动量是否守恒？
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k
oj o oi
mj
mi

4. 刚体定轴转动的动能定理
A Md
1
2
2
1
d J d dt

2
1
J d
1 1 合外力矩对刚体所做的功 2 2 A J 2－ J 1 2 2 等于刚体转动动能的增量。
5. 刚体的重力势能 刚体重力势能等于组成刚体各个质点的重力势能之和。
x
ri
O
r i rC
O
二、柯尼希定理 vi vC vi
Ek
1 m v2 2 i i
Σ m i ri rC m
y
2 2 1 1 Ek 2 mvC 2 mi vi
1 m (v 2 i C
v i ) (vC v i )
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例7：质量为M的均匀直杆长为l，垂直挂在光滑的 水平轴上，质量为m的子弹以v0水平射入杆底。 求：木杆与子弹启动时的角速度。 解：设子弹入射并嵌入瞬间完成。 对于子弹和木棒组成的系统，选择 悬挂点为参考点，则所有外力矩的 和恒为零。故此过程角动量守恒。
M,l
m, v0
1 1 2 2 2 mlv ( Ml ) ( ml Ml ) mlv 0 0 3 3 1 3 mv 0 2 2 J ml Ml ( M 3 m )l 3