解析几何——难点突破——离心率专题

解析几何——难点突破——离心率专题
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．
[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.1
3 B.1
2 C.2
3 D.34
[思路点拨]
本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．
[方法演示] 法一：数形结合法
如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为
x
－a
＋y 2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m a －c a
. 又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，
即
2m a －c a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1
3
.
法二：交点法
同法一得直线AE 的方程为x
－a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋y
m
＝
1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则
⎩⎪⎨⎪
⎧
－c －a ＋n
2m
＝1，－c a ＋n m ＝1，
消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1
3
.
法三：三点共线法
同法一得直线AE 的方程为x
－a ＋y
2m
＝1，由题意可知
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－c ，2m ⎝
⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则
2m ⎝
⎛⎭⎪⎫
1－c a －m
－c
＝
m
－a
，
解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1
3
.
法四：方程法
设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝
m a －c
(x ＋a )，所以
E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m
－c －a
(x －a )，与y 轴交于点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，
所以椭圆C 的离心率为13
.
法五：几何法
在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c
a
.
在△BFM 中，ON ∥MF ，所以
OE
2
MF ＝
a
a ＋c
，即
OE MF ＝2a
a ＋c
. 所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13
，
所以椭圆C 的离心率为1
3
.
[答案] A [解题师说]
1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.
个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．
[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．
[应用体验]
1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.433
B.233
C ．3
D ．2
解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|
.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，2π3，
由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝2
3sin ∠F 1F 2P ，
所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43
＝43
3，当且仅当
sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1
e 2
的最大值是
43
3
. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)
和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．
解析：设直线l 的方程为x a ＋y
b
＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的
距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝
b a －1
a 2＋b
2＋b a ＋1a 2＋b 2
＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2
，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，5
2≤e ≤ 5.
故双曲线离心率的取值范围为
5
2
， 5. 答案：5
2
，5
一、选择题
1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个
焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y
b
＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意
知|－bc |b 2＋c 2＝14
×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、
右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3，则E 的离心
率为( )
A. 2
B.32
C. 3
D ．2
解析：选 A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c
2a
＝
|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2|
|MF 2|－|MF 1|
＝sin ∠F 1MF 2
sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1 ＝2231－
13
＝ 2.
法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2
a
.
又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝1
3，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的
定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2
a
，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋
a 2
＝2a 2
，所以离心率e ＝c
a
＝ 2.
3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )
A.53
B.54
C.53或2516
D.53或54
解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21
n
－
x 2
－1
m
＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，对应的一条渐
近线方程为y ＝±a
b
x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝a b
x ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2
＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2
－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2
＝169
a 2＝c 2－a 2，
所以c 2
＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝5
3
；当m >0，n <0时，双曲线
的渐近线为y ＝±b
a
x ，
设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b
a
x ，即bx －ay ＝0，
∴
|3b －a |a 2＋b
2＝1， 即9b 2－6ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，
∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，
可得e ＝5
4.
综上，e ＝53或5
4
.
4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，
b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上
一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )
A.43
B.53 C ．2
D ．3
解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2
＋y 2
＝a 2
相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝
1
2
|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为5
3
.
5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P
是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.22
C.32
D.33
解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－2α＋2β
2
＝π
2
＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝sin 2α＋2β
sin 2α＋sin 2β＝
2sin
α＋βcos α＋β2sin
α＋βcos α－β＝
cos α＋β
cos α－β
.由已知得2|PM |
|PF 1|
＝
|PF 2||PM |，即2sin 2α
cos α－β
＝
cos α－β
sin 2β
，2sin 2αsin 2β＝cos 2(α
－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2
(α＋β)，
cos α＋βcos
α－β＝2
2
＝e ，所以该椭圆的离心
率e ＝2
2
.
6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)
的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )
A ．5
B.5
C.53
D.54
解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝4
3，
cos ∠PFO ＝3
5，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，
则
有
|FF 2|
＝
10.
在
△
PFF 2中，|PF 2|＝
|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C 的离心率为e ＝c
a
＝5. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线
右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，2)
D ．(2，＋∞)
解析：选C
如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°.
设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1.
又其渐近线的方程为y ＝b a x ，
则b
a
＜1，又e ＝ 1＋b 2
a
2，
所以1＜e ＜2，
故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．
8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2
a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(2，2＋1)
B ．(1，2＋1)
C ．(1，3)
D ．(3，＋∞)
解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2
b 2＝1，所
以y ＝±b 2
a
，不妨设
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1
―→＝－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b
4
a
2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－
6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.
9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线
将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫1，52 B.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
52，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎪⎫1，54
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的渐近线方
程为y ＝±b
a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y <b a
x ，y >－b
a x
所确定，
又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b
a ，即
b a >1
2
，因此题中的双曲
线的离心率e ＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫52，＋∞. 10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率
为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的
射影恰好为右焦点F .若13<k <1
2，则椭圆C 的离心率的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎝
⎛⎭⎪⎫0，12
解析：选 C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2
a ，于是k
＝a 2－c 2a a ＋c .又13<k <12，所以13<a 2－c 2a a ＋c <12，化简可得13<1－e 21＋e <12
，从而可得12<e <23
.
11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过
其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，2)
D ．(2，＋∞)
解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与
渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝a
b
x ＋c .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝a
b
x ＋c ，y ＝－a
b x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－bc 2a
，
y ＝c
2，
即M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－bc 2a ，c 2.
因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，
故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 22
＜c 2，化简得b 2＜3a 2， 即c 2
－a 2
＜3a 2
，解得c
a
＜2，
所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．
12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦
点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥3
5
|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.5
3，＋∞ B.5
4，＋∞ C ．1，5
3
D ．1，5
4
解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2
a ，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，
b 2a ，
B ⎝
⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±
b
a x ，得y ＝±bc a ，不妨取C ⎝
⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc
a .因为
|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥
9
25c 2
，即1625c 2≥a 2，所以e 2
≥2516，所以e ≥54
.
二、填空题
13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C 是椭圆E 上
关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．
解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0
－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 0
3x 0－a ≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E
的离心率为1
3
.
法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a
3
，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心
率为13
.
答案：1
3
14．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：
x 2
4
＋y 2
3＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．
解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2
＝4－3＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，
x 2a 2
－y
2b 2
＝1，
解得交点的坐标满足
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝4a 2
，y 2
＝31－a
2
，
由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的
交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3
1－a 2＝83·a 2·1－a 2≤83·
a 2＋1－a 2
2
＝43，
当且仅当a 2
＝1－a 2
，即a 2
＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－
y 21
2＝1，离心率e ＝ 2.
答案：2
15．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心
到直线x ＝a 2
a 2－b
2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．
解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16
b
2
＝1，所以b 2
＝16a 2
a 2－9.因为a >
b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a
2，从而
a 2>25.
设椭圆的中心到直线x ＝
a 2a 2
－b
2
的距离为d ，则
d ＝a 2
a 2－b
2＝
a 4
a 2
－16a 2a 2
－9
＝
a 2
1－16a 2
－9
＝
a 2a 2－9a 2－25
＝
a 2
－25＋400
a 2－25
＋41≥2400＋41＝9，
当且仅当a 2
－25＝400
a 2－25
，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，
c 2
＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝5
3
.
答案：5
3
16．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，
B .则双曲线
C 的离心率e 的取值范围为________．
解析：抛物线y ＝14
x 2
化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双
曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，
所以双曲线C ：x 2a
2－y 2
＝1(a >0)．
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，
消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.
∵与双曲线交于两点A ，B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－a 2
≠0，4a 4＋8a 21－a
2
>0
⇒0<a 2<2且a 2≠1.
而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1，
∴离心率e ＝c a ＝a 2＋1a
＝
1＋1
a
2>
1＋12＝6
2
，且e ＝
1＋1
a
2≠2，
∴e 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
62，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
62，2∪(2，＋∞)
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。