解析几何——难点突破——离心率专题

解析几何——难点突破——离心率专题

离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．

[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )

A.1

3 B.1

2 C.2

3 D.34

[思路点拨]

本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．

[方法演示] 法一：数形结合法

如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为

x

－a

＋y 2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m a －c a

. 又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，

即

2m a －c a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1

3

.

法二：交点法

同法一得直线AE 的方程为x

－a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋y

m

＝

1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则

⎩⎪⎨⎪

⎧

－c －a ＋n

2m

＝1，－c a ＋n m ＝1，

消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1

3

.

法三：三点共线法

同法一得直线AE 的方程为x

－a ＋y

2m

＝1，由题意可知

M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

－c ，2m ⎝

⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则

2m ⎝

⎛⎭⎪⎫

1－c a －m

－c

＝

m

－a

，

解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为1

3

.

法四：方程法

设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝

m a －c

(x ＋a )，所以

E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m

－c －a

(x －a )，与y 轴交于点

⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，

所以椭圆C 的离心率为13

.

法五：几何法

在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c

a

.

在△BFM 中，ON ∥MF ，所以

OE

2

MF ＝

a

a ＋c

，即

OE MF ＝2a

a ＋c

. 所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13

，

所以椭圆C 的离心率为1

3

.

[答案] A [解题师说]

1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.

个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．

[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．

[应用体验]

1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π

3

，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )

A.433

B.233

C ．3

D ．2

解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|

.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，2π3，

由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝2

3sin ∠F 1F 2P ，

所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43

＝43

3，当且仅当

sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1

e 2

的最大值是

43

3

. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)

和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥4

5

c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．

解析：设直线l 的方程为x a ＋y

b

＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的

距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝

b a －1

a 2＋b

2＋b a ＋1a 2＋b 2

＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2

，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，5

2≤e ≤ 5.

故双曲线离心率的取值范围为

5

2

， 5. 答案：5

2

，5

一、选择题

1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4

，则该椭圆的离心率为( )

A.13

B.12