高等数学 第八章 数列与无穷级数 无穷级数

k k 1 k 1 k 1
2 n n! 例4 判别 n 的敛散性。 n 1 n

n! 0. n n n n! n! 证明：记a n n 正向级数 a n n n n 1 n 1 n 由于收敛 必要条件， n! 故 lim n 0，证毕。 n n 例5利用级数收敛的必要条 件证明lim

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数 基本性质及收敛的必要条件。 掌握几何级数和p-级数的收敛性。 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛 法。 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断 误差。 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛 与收敛的关系。 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收 敛性可不作要求）。
了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 会利用泰勒公式和的马克劳林（Maclaurin）展 开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。 了解函数在近似计算上的简单应用。 了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克 雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展 开为正弦或余弦级数。
9 3 绝对收敛与条件收敛 一 交错级数及其审敛法
-1 a n a1 -a 2 a 3 - -1 a n ,(a n 0)
n-1 n-1 n 1

审敛法(莱布尼兹判别法) 设交错级数 -1 a n (a n 0)满足
n-1 n 1
（1）绝对值逐项递减，a n＋1 a n (n 1,2, ) (2) lim a n 0
n
则交错级数收敛，其余项 rn a n＋1
证明 : S2n a 1 - a 2 a 3 - a 4 a 2n -1 - a 2n - a 2n 0 S2n a 1 lim S2n S
n
而S2n a 1 - a 2 - a 3 - a 4 - a 5 - - a 2n -2 - a 2n -1
定理(阿贝尔)：若x 0 0是幂级数 a n x n的收敛点，
n 0

则满足 x x 0 之一切x，幂级数绝 对收敛；反之，若 0是发散点，则 x x x 0 之一切x，幂级数发散。 复习： 276页，预习： 286页 268 276 习题： 3 9 1(1) ~ (7)
9 1 常数项级数的基本概念与性质 一 基本概念 数列a n ,a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a n , 式子
a
n 1

n
a1 a 2 a n 称为无穷级数

其前n项部分和记为：Sn a1 a 2 a n 若 lim Sn S 称 a n收敛于和S
第九章 无穷级数(16学时）
无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数表示、数 值计算、研究函数性质、微分方程的求解等诸多方面，都 有着不可替代的作用。无论对数学理论本身，还是在科学 技术的应用中，无穷级数都是一个有效的工具。 本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三部分组成。 主要介绍无穷级数的基本概念、基本性质、敛散性的审敛 法、幂级数以及将函数展开为幂级数和傅立叶级数的方法 及其应用。具体要求如下：

n
a 0 a1 x-x 0 a 2 x-x 0
2
a n x n a 0 a1x a 2 x 2 (x 0 0) x n 1 x x 2 x 3 (a n 1)
n 0
1 几何级数 x 1时收敛于S x ,x (-1,1) 1-x
9 4幂级数（续） a n 1 收敛半径：设 a n x ,若 lim ，则其收敛半径为 n a n 0 n
n
1 ,0 R , 0 0, 证明：由正向级数比值收敛法，有 a n 1x n 1 an xn a n 1 x x (n ) an
n
lim a n 0
a n Sn - Sn -1 0
注意： 1.区别 lim Sn S与 lim a n 0
n n
2.性质5非充分条件。
n n 1
3.其逆命题亦真，即lim a n 0， a n 发散。 复习： 259页 253 预习： 267页 259 习题：（259页） 9 1 1(1) ~ (4),2(1)(2 )(5)(6),3
骣 1 骣 1 1 骣 1 1 1 1 解：S2m + 1 = 珑+ 鼢 1 + + + + + + +L + 珑 2鼢 桫 4 鼢 3 桫 桫 6 7 8 5 骣 1 1 1 ç + m + L + m + 1 ÷+ L ÷ ç m ç2 + 1 2 + 2 桫 2 ÷ 1 S2m + 1 > (m + 1) 桩 ギ( 当m 时) 2 二 无穷级数的基本性质 性质1. 级数中去掉（或加上）有限多项，级数敛散性不变； 若收敛时，一般地讲其和要改变。 性质2. 若级数邋a n 收敛于和S，" k R,则 ka n 收敛于kS.
三 根值审敛法（柯西审敛 法） 设正向级数 a n，若 lim n a n , 则 1收敛
n 1 n
1发散
例6 判别下列级数敛散性。 1 （） n 1 n 1 n

an (2) p (对a进行讨论) n 1 n

复习: 259 267页 预习: 268 276页 习题 : 9 2 1(1)(3)(4) ,2,3(2)(4) ,4(5)
a n 1 lim , 对于上述，N 0,当n N时， n a n 有 a n 1 - 即 an a n 1 r an
即有a N 1 ra N , a N 2 ra N 1 r 2 a N , , 故有： a N r 收敛 a N＋k收敛 a n收敛
1 解：若p 1, p - 级数即为调和级数 ，发散 n 1 1 1 1 p 1,有 p , 发散， p 发散 n n n n 1 1 若p 1，由n - 1 x n,有 p p , 故有 n x n n 1 1 1 1 1 1 p dx p dx ( p-1 ) p p -1 n n x 1- p n (n - 1) n -1 n -1 1 1 1 [ - p-1 ](n 2,3,) p -1 p - 1 (n - 1) n 1 1 再考察级数 [ - p-1 ] p -1 n n (n - 1) 1 1 1 Sn (1- p-1 ) ( p-1 )0 p -1 2 n (n - 1)
92
正向级数及其审敛法
一 比较审敛法1
a , b 是两个正向级数 (1)若 b 收敛，且a b ，则 a 收敛。 (2)若 b 发散，且a b ，则 a 发散。
n n n n n n n n n n
1 1 1 例1 讨论p-级数 p 1 p p n 2 n 的敛散性。
¥
性质3. 若两级数邋a n， b n 分别收敛Biblioteka Baidu和S, s ，则级数 收敛于S ± s 。
(a n ± b n )
n= 1
性质4.对收敛级数 a n的项任意加括号后所得 的新级数仍然收敛，其和不变。 推论1.收敛级数去括号后所成 之新级数不一定 收敛。 如： - 1) (1- 1) 收敛，去括号后，发散 (1 推论2.如果加括号后所成级数 发散，则原级数必 发散。 性质5. （收敛级数之必要条件 ）若 a n收敛，则有：

例2 判别下列级数的敛散性。 （1） 邋
n= 1 ¥ ゥ
2 n4 + 4
(2)
n= 2
4 n 2 -3
(3)
n= 1
3 n(n 2 + 1)
n2 + 1 (4)å n = 1 (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2. 比较敛审法2 an 设邋a n , b n 是两个正向级数，若 lim = k n b n= 1 n= 1 n 当0 < k < 时，两个级数具有相同的敛散性。
n n 1
若 lim Sn 不存在 称 a n 发散
n n 1

例1 判别几何级数å aq n = a + aq + L + aq n-1 + L
n= 0
¥
的敛散性。 解 当q ? 1,Sn a (1-q 2 ) 1-q
¥
a , q < 1收敛于 1-q
其余均发散。 1 例2 证明级数å 收敛。 n = 1 n(n + 1) 1 1 1 ［提示］a n = = n(n + 1) n n + 1 ¥ 1 1 1 例3 证明调和级数å 1 + + + L + + L 发散。 2 3 n n= 1
S2n 1 S2n a 2n 1 故 lim Sn S
n
可得S a 1
rn a n 1 - a n 2 rn a n 1
1 例1 判别级数 - 1 (p 0)的敛散性。 p n n 1 二 绝对收敛与条件收敛
n -1

设 a n 正向级数 | a n |
n 1 n 1


(1)若 | a n |收敛，称 a n 绝对收敛
n 1 n 1


(2)若 | a n |发散，而 a n收敛，称 a n 条件收敛。
n 1 n 1 n 1

例如： - 1
n 1

n -1
1 绝对收敛 2 n n
- 1n -1 1条件收敛
而a n 2bn - a n ,由性质可知， a n收敛
n 1

sinn 例2 证明级数 4 绝对收敛 n n 1

sinn 1 1 证明： 4 ， 4 收敛，故证之 4 n n n 1 n
9 4 幂级数 一 幂级数及其收敛性
a x-x
n 0 n 0 n 0
¥ n
二 幂级数的运算与性质 1. 运算（代数性质）：加，减，乘，除 2.性质（分析性质）：在幂级数展式中及其他研 究中均有用。 （1）连续性： a n x n = S(x),S(x) 在(-R,R) 内连续。 å
n= 0 ¥
若端点收敛，则在该端点处亦连续. （2）可积性：收敛半径为R,S(x) 在(-R,R) 内可积，
当r x < 1时 ?
¥
x
n-1
1 = R, 绝对收敛，其余类似证之。 r
(-1) 例1 求幂级数å x n 收敛区间（注意区间两个 n n= 1 端点的收敛性） ( x + 4) 例2 求幂级数å 收敛区间（变量代换t = x + 4） n 2 ×n n= 1 ¥ (2n ) ! 2n 例3求幂级数å 2 x （只含偶次幂项）的收敛半径。 n = 1 (n!)
ゥ
例3 判别下列级数的敛散性 . 1 1 (1) , (2) n n 2 3 -2 n n 1 二 比较审敛法（达朗贝尔 ） a n 1 设 a n是正向级数，若lim n a n 则：当 1时，收敛； 1时，发散；
1,不能判定。 证明：当 1时，取适当小的正数 ，使得＋＝r 1
n 1
定理 : 绝对收敛级数必收敛单收敛级数未必绝对收 . , 敛 证明 : 只需证前半部分 后半部分举反例即可 , 1 设 a n 收敛，令b n a n a n , b n 0, 2 n 1 且b n a n ，知 b n为正项级数收敛 2bn收敛
n 1 n 1