矩阵相似对角化

σ ( kα + l β ) = kσ (α ) + lσ ( β ) = k λα + l λβ = λ ( kα + l β )
故
kα + l β ∈ Vλ
Vλ 是V的子空间，其维数等于属于 λ 的线性无关的特
征向量的个数。
第七章 线性变换
定理7.5.3 设V是n维线性空间，如果 λ1 , λ2 , 中线性变换 σ 的全部不同特征值，而 α i 1 , α i 2 ,
σ 理7.5.1知， 不能对角化。
第七章 线性变换
三、矩阵对角化的方法
若矩阵A可以对角化，则存在可逆矩阵T，使
⎛ λ1 ⎜ λ2 −1 ⎜ T AT = ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ λn ⎠
⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ 或 AT = ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟T ⎟ ⎟ λn ⎠
把T按列分块写成 T = (T1 , T2 ,
用 λm 乘（7.5.1）式两边得： k1λmξ1 + k2λmξ 2 + + km −1λmξ m −1 + km λmξ m = 0 （7.5.3） 把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1 (λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ 2 +
由假设知， ξ1 , ξ 2 ,
+ km −1 (λm −1 − λm )ξ m −1 = 0 ,m −1 。
⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎧ x1 − x3 = 0 η1 = ⎜ 0 ⎟ ,η2 = ⎜ 1 ⎟ 把 λ = 1 代入得方程组⎨ , 其基础解系 ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎩ − x1 + x3 = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ ⎧ − x1 − x3 = 0 ⎪ η3 = ⎜ 0 ⎟ 把 λ = −1 代入得方程组 ⎨ −2 x2 = 0 , 其基础解系 ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎪− x − x = 0 ⎝ ⎠ 3 ⎩ 1
第七章 线性变换
二、特征子空间与矩阵的对角化
定义2 设 σ ∈ L(V ), λ ∈ F 是 σ 的一个特征值，则集合
Vλ = {ξ ξ ∈ V , λ ∈ F , σ (ξ ) = λξ }
称为 σ 的属于特征值 λ 的特征子空间。 因为， Vλ 非空，它包含了属于 λ 的全部特征向量和零向
量。 ∀α , β ∈ Vλ , ∀k , l ∈ F , 有
ks1α s1 + + ksts α sts = 0 因此得 又 α s1 , , α sts 线性无关，故 ks1 = = ksts = 0, 因此当 k = s 时， α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 线性无关，故结论成立。
第七章 线性变换
在定理7.5.3的条件上，令 t i = dimVλ i , i = 1, 2, 结论（1） 若 dimV = t1 + t 2 + （2）若 t1 + t 2 + 因为 若 t1 + t 2 +
§7.5 线性变换的对角化
§7.5 线性变换的对角化
一、线性变换可对角化 的条件 二、特征子空间与矩阵的对角化 三、矩阵对角化的方法
第七章 线性变换
究竟哪一些线性变换的矩阵在一个适当的基下可以是对角 矩阵，或者说，n阶矩阵在什么时候可以与一个对角矩阵相似， 本节就来讨论这个问题。
一、线性变换可对角化的条件
第七章 线性变换
⎛ 0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 例7.5.2 R上矩阵 A = ⎜ 0 1 0 ⎟ 能否对角化？若能对角化， ⎜ 1 0 0⎟ ⎝ ⎠ 求出可逆方阵T，使 T −1 AT 为对角形。 λ 0 −1 λ E − A = 0 λ − 1 0 = (λ − 1)2 (λ + 1) 解： −1 0 λ
定义1 设 σ 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如 果存在V的一个基，使在这个基下的矩阵是对角形矩阵，则称线 性变换可对角化。 本定义用矩阵语言可叙述为： 定义 1′ 设A是数域F上的一个n阶矩阵，如果A与F上的对角 矩阵相似，即存在可逆阵T，使 T −1 AT 为对角阵，则称A在F上 可对角化。
第七章 线性变换
k
+ ks1α s1 +
ksts α sts = 0 （7.5.4）
k11λ1α11 + + k1t1 λ1α1t + + ks1λsα s1 + 把（7.5.4）式两边同乘以 λs 得： k11λsα11 + + k1t1 λsα1t + + ks1λsα s1 + （7.5.5）-（7.5.6）得 k11 (λ1 − λs )α11 + + k1t1 (λ1 − λs )α1t1 +
λ1 = λ2 = 2，λ3 = −4
⎛ −1 −2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 把 λ = 2 代入得方程组 ⎜ 2 4 −2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , ⎜ − 3 −6 3 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0 ⎟ 第七章 线性变换 ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ 其基础解系为 η1 = ⎜ 1 ⎟ , η2 ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −7 ⎜ 把 λ = −4 代入得方程组 ⎜ 2 ⎜ −3 ⎝
A(T1 , T2 , , Tn ) = (T1 , T2 ,
, Tn ), 则
⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ , Tn ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
于是得 ATi = λiTi , i = 1, 2,
第七章 线性变换
, n, 即 λi 是A的特征值。而矩阵T
的第i列就是A的属于特征根 λi 的一个特征向量，于是，数域F
,m −1
, ξ m −1 线性无关，故得 , m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,
又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2, 因此 ξ1 , ξ 2 ,
第七章 线性变换
代入（7.5.1）得 kmξ m = 0, 又 ξ m ≠ 0, 故 km = 0 。
k1ξ1 + k2ξ 2 +
k1σξ1 + k2σξ 2 +
第七章 线性变换
+ km −1ξ m −1 + kmξ m = 0
+ km −1σξ m −1 + kmσξ m = 0
（7.5.1）
对（7.5.1）式两边同时施行变换 σ 得
于是得： k1λ1ξ1 + k2λ2ξ 2 +
+ km −1λm −1ξ m −1 + km λmξ m = 0 （7.5.2）
ksts λsα sts = 0 （7.5.5） kst s λsα sts = 0 （7.5.6）
+ k( s −1)1 (λs −1 − λs )α ( s −1)1 +
由归纳假设知 α11 , 故
k( s −1) ts−1 (λs −1 − λs )α ( s −1) t s−1 = 0
, α1t1 ,
, α ( s −1)1 ,
kij (λi − λs ) = 0, i = 1, 2,
, α ( s −1) ts−1 线性无关， , s − 1, j = 1, 2, , ti
, ti
由于 λi ≠ λs , i = 1, 2, , s − 1, 于是 kij = 0, i = 1, 2, , s − 1, j = 1, 2,
⎛ −2 1 1 ⎞ ⎛2 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 故A可对角化，令 T = ⎜ 1 0 −2 ⎟ , 则 T ′AT = ⎜ 0 2 0 ⎟ 。 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 3⎟ ⎜ 0 0 −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, λs 是 L(V )
, α iti 是属于特
征值 λi 的线性无关的特征向量，i = 1, 2, , s, 则向量组 α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 线性无关。 α 证明：（1）当 k = 1时， 11 , , α1t1 是属于特征值 λ1 的线性
无关的特征向量，结论显然成立。 假设当 k = s − 1 时，结论成立。 即分别属于特征值 λ1 , , λs −1 线性无关的特征向量 α11 , , α1t1 ; ;α ( s −1)1 , , α ( s −1) ts−1 也线性无关。 则当 k = s 时，α k 1 , , α ktk 是属于特征值 λ 的线性无关的特 征向量， k = 1, 2, , s 。 设有 k11α11 + + k1t1α1t1 + 两边同时施行线性变换 σ 得
, ξ m 线性无关。
⎛3 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 例7.5.1 判断C上的矩阵 A = ⎜ 0 2 −5 ⎟ 能否对角化。 ⎜ 0 1 −2 ⎟ ⎝ ⎠
解：A的特征多项式是
λ −3
f (λ ) = λ E − A = 0 0
0
0 5 = (λ − 3)(λ 2 + 1) λ+2
λ −2
−1
由于 f (λ ) 在C上没有重根，故 σ 可以对角化。 当线性变换 σ 有n个不同特征根时，σ 可对角化的问题 已得到完满解决。但在线性变换没有n个不同特征根的情况， 要判别这个线性变换能不能对角化，这个问题如何解决呢？
其基础解系为
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 0⎟ 。 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ −2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 − 2 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ , ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 6 −3 ⎠ ⎝ x 3 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛ 1⎞ η 3 = ⎜ −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
, s 则有
+ t s , 则 σ 可对角化；
+ t s < dimV , 则 σ 不可对角化。
+ t s = n, 则取每个 Vλ i , i = 1, , s 的 基，它们合起来： α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 就是V的一个基。
σ 在此基下的矩阵为对角矩阵； 若 t1 + + t s < n, σ 没有n个线性无关的特征向量，由定
第七章 线性变换
得
λ1 = λ2 = 1, λ3 = −1
⎛1 故A可对角化。令 T = ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝ ⎛ 3 ⎜ 例7.5.3 设 A = ⎜ −2 ⎜ 3 ⎝ 求可逆矩阵T，使 T −1 AT λ −3 解： λ E − A = 2 −3
得
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 1 0 ⎟ , 则 T AT = ⎜ 1 ⎟。 ⎜ −1 ⎟ 0 −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 0 −1 ⎞ ⎟ −2 2 ⎟ , A能否对角化？若能对角化， 6 −1 ⎟ ⎠ 为对角形。 −2 1 令 2 λ + 2 −2 = (λ − 2) (λ + 4) = 0, −6 λ + 1 2
⎛ 1 1⎞ 不是任一个矩阵都可以对角化，例如 ⎜ ⎟ 就不能对角化。 ⎝ 0 1⎠
第七章 线性变换
若 σ 可对角化，则对角矩阵中对角线上的元素应是 σ 的特征根。请看以下定理 定理7.5.1 设 σ 是F上n维向量空间V的一个线性变换，则
σ 可对角化的充要条件是：σ 是有n个线性无关的特征向量。
,n
定理7.5.1用矩阵语言Байду номын сангаас以叙述为： 定理7.5. 1′ 数域F上一个n阶矩阵A可以对角化的充要条件是
n 矩阵A在 F线性变换 中有n个线性无关的特征向量。 第七章
属于不同特征值的特征向量之间是线性相关还是线性无关？ 定理7.5.2 属于不同特征值的特征向量必线性无关的。 证明：（对特征值的个数用归纳法证明）。 当 m = 1, 即特征值只有一个，由于特征向量不为零，而 单个非零特征向量必线性无关，所以结论成立。 现假设属于 m − 1 个不同特征值的特征向量 ξ1 , ξ 2 , , ξ m −1 线性无关。下面证明属于 m 个不同特征值 λ1 , , λm −1 , λm 的 特征向量 ξ1 , ξ 2 , , ξ m 也线性无关。假设有关系式：
证明：充分性显然。 必要性。设 σ 可对角化，则存在V的一个基 α1 , α 2 , 使得
σ ( α1 , α 2 ,
, α n ) = ( α1 , α 2 , ⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ ,α n ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
,αn ,
则
σα i = λiα i , 即 α i 是 σ 属于 λi 的特征向量，i = 1, 2,
上n阶矩阵对角化的方法如下： 1、求出矩阵A的全部特征根； 2、如果A的特征根全在F内，则对每一特征值 λ 求出齐次 线性方程组 (λ E − A)Χ = 0 的一个基础解系； 3、如果对于每一特征值 λ 来说，相应齐次线性方程组的基 础解系所含解向量的个数等于 λ 的重数，则A可对角化； 4、以这些解向量为列作成一个n阶矩阵T，则 T −1 AT 就是 对角形矩阵且对角线上元素就是相应的特征根。