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二次函数

、基础知识

1・定义：一般地，如JU y = ax2 +bx + c{a,b,c是常数，d H 0）,那么y叫做兀的二

次函数.

2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.

3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

②y = ax1 +k； (a H 0)

③ y = a(x - /?)2 (a H 0)顶点式)；

® y = a(x - + k ； ( a 工0)

⑤y = 加+ c.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线.

1.抛物线= ax2 +加+ c中的系数a,b,c

（1） Q决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数G相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当。＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当。＜0吋，抛物线开口向下，顶点为其最高点.

（2）b和。共同决定抛物线对称轴的位置：当b = 0时，对称轴为y轴；当°、

b同号吋，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.

(3)c决定抛物线与y轴交点位置：当c = 0时，抛物线经过原点；当c〉0时,

相交于y轴的正半轴；当c < 0吋,则相交于y轴的负半轴.

2.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：y = 加+ c = °L + _L[+4dc —庆,顶点是(丄,4心"),

I 2d 丿4a 2a 4a

对称轴是直线X = ~—・

2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线y = ax2^bx^c的解析式化为

y = a(x-h)2^k的形式，得到顶点为(h, k),对称轴是宜线x = h•其中“丄，“如土.

2a 4a

(3)运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点・・

3.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y = ax2 +bx-\-c . B知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一

般式.

(2)顶点式：y = a(x-l^^k. L1知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)两点式：已知图像与x轴的交点坐标坷、x2 ,通常选用交点式:

y = a（x - x, X兀—兀2）・

4.抛物线与兀轴的交点

设二次函数y = ax2 +bx + c的图像与兀轴的两个交点的横坐标州、x2,是对

应一元二次方程ax2-^bx + c = 0的两个实数根•抛物线与兀轴的交点情况可以由

对应的一元二次方程的根的判别式来判定：

(1)b2-4ac>0 o抛物线与兀轴有两个交点；

(2)h2-4ac = 0 o抛物线与兀轴冇一个交点(顶点在兀轴上);

(3)b2-4ac<0 o抛物线与x轴没有交点.

典型例题y = ax2 + bx + c的性质

例1.已知二次函数y = kx2 - lx-1与x轴有交点，则1＜的取值范围是---------

例2.二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图，则直线y = ax + be的图象不经过

第

例3.二次函数y = ax2 ^-bx + c的图象如图，试判断a、b、c和A的符

号。

巩固练习

4•二次函数y = ax2^bx + c的图象如图，下列结论(l)cVO； (2) b>0； (3) 4a+2b+c >0；

(4) (a+c) 2<0,其屮正确的是：( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5. 二次函数y m'+bx + c的图象如图，那么obc、2a+b、a+b卜c、a-b+c这四个

代数式屮，值为正数的有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

6.己知直线)处+ b的图象经过笫一、二、三象限，那么y = ax2 +bx +1的图象为()

7.

A. x< 1

x的取值范围是(

-x-4,当函数值y随x的增大而减小时,

B. x>l

C. x>—2

D. -2

典型例题——函数图象综合

1、（2011 ill 东德州6,3分）已知函数y = （x - a ）（x - b ）（其中a>b ）的图象如下面图所

示，则函数y = ax+ b 的图象可能正确的是

3、（2011山东聊城，9, 3分）下列四个函数图象中，当x 〈0吋，函数值y 随自变量x 的增

大而减小的是（）

巩固 练习

2>（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数y = ax 2

+/zx + c 的图象如图所示,则反比例函数y =—

典型例题--- ^答题

例1张大爷要围成i个矩形花1甫|.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.

（1）求S与xZ间的函数关系式（不要求写出白变量x的取值范围）.

（2）当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.

A

花圃

B -----------

巩固练习

1、用一个长为6分米的铁比丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分米，求①y关于x的函数关系式②当边长为多少时这个矩表面积最大?

2、.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）己知砖墙在地面上占地总长度160m,问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积授大？并求这个授大面积。

典型例题y = ax2 +bx + c的最值

例1：心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x （单位：分）之间大体满足函数关系式：y = -0.2+2.6兀+ 43 （0WxW30）。y的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：

（1）若提出概念用10分钟，学牛的接受能力是多少？

（2）概念提出多少时间时？学牛•的接受能力达到最强？