侧面开放腔体简单声模型及其应用

当边界条件方程 14 应用到方程 10 中时有：
∂p (1) (2) = ∑∑ [(−km) AnHn (krr) + BnHn (krr) sin(kmz)]einφ = iρ ω v a δ (r − a )δ (φ − 0)δ ( z − L0 ) 18 ∂z n m
从方程 16，17，18 我们可以获得三个参数 An , Bn 和 Cp 。
9
这里波数 k r =
k 2 − k z2 ,
k=
ω
c
， k r 是垂直方向的波数。
3．边界条件 在图 1(b)所示的模型中，一个点声源产生声波，当声波传到柱面时，一部分声波继续传 向远场，而另一部分则由于柱面阻抗的不连续性，被反射回柱面腔体。由于在声场中有声源 的存在，波动方程 1 将变为非齐次 Helmholtz 方程，其解与方程 1 的解将产生不同。意味着 要寻找一个新的 Green 以满足上述方程。但实事上是声场的稳态解更被人们关心。因此，在 本文中，齐次方程的解依然被采用。柱内声场解将如方程 3，同样，柱外声场解将如方程 5 或 6 所示。由于柱体的上下两面为刚性板，因此，方程 3 的解可一些为：
3
在上述方程中系数 An ( k z , ω ) 和 Bn ( k z , ω ) 是取决于边界条件的常数
(1) ( 2) Hn (k r r ) 和 H n (k r r ) 是第一阶和第二阶 Hankel 函数。 r , z 和 φ 是柱坐标。
在方程 3 中的第二部分被称为腔体内部解， 它表明所有的声源都在腔体边界之外， 因此我们 可以设方程的第一部分为零 An ( k z , ω ) = 0 .
& ( a, k ) = 1 W n z 2π
∫
2π
0
& (a, φ ′, z ′)e −inφ ′ e −ik z z′ dz ′ dφ ′∫ w
−∞
∞
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7
& (a, k ) 是柱表面速度的 Fourier 变换。 W z
从方程 3 可知柱表面垂直方向 v Z 和径向 v r 的速度为：
r 1 v z (r , φ , z ) = iρω r 1 v r (r , φ , z ) = iρω
2
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p(r , φ , z , ω ) =
n = −∞
∑e
∞
inφ
1 ∞ ( 2) Bn (k z , ω )e ik z z H n (k r r )dk z 2π ∫−∞
这里还要进行一些数学运算来解得上述参数，由于腔体表面的谐调性，因此有 n = p , m = q . 对方程 16 进行正交化处理有：
′ (1) (k r R) + Bn H n ′ ( 2 ) (k r R)] cos(k m z ) = iρω sin( k m z )C n k r [ An H n
4
同样在方程 3 中第一部分被称为腔体外部解， 它表明所有的声源都在腔体边界之内， 因此我 们可以设方程的第二部分为零 Bn ( k z , ω ) = 0 .
p (r , φ , z , ω ) =
n = −∞
∑e
∞
inφ
1 ∞ (1) An (k z , ω )e ik z z H n (k r r )dk z ∫ − ∞ 2π
2 kr = k 2 − km
在这里， 对称解法将被应用到无限大半空间刚性障板声场求解中。 在柱面腔体外声场求 解过程中， 将采用镜像假象柱面方法进行求解。 所以， 柱面腔体在无限大半空间声场的解为：
ˆ, φ , z ˆ, ω ) = jρck ∑ e inφ p (r
n = −∞
∞
(1) ˆ) Hn (k rt r 1 ∞ & ˆ ik t z ( , ) dk t W a k e n t ∫ (1) ′ 2π −∞ k rt H n (k rt a )
1
式中 Laplace 算子：
∇2 =
2
对于无限长柱体的声辐射，一般解为[6 ]:
p(r , φ , z , ω ) =
n = −∞
∑e
∞
inφ
1 ∞ (1) [ An (k z , ω )e ik z z H n (k r r ) + 2π ∫−∞
( 2) + Bn (k z , ω )e ik z z H n (k r r )]dk z
在垂直方向 z 波数 k q 被约束在长度 2L 内。
kq =
qπ L
q = 0, 1, 2 …...
柱面辐射阻抗：
(1) ˆ) iρckH p (k rt r ~ zp = (1) k rt H ′ p ( k rt R )
ˆ = R, 当r
(1) iρckH p (k rt R) ~ ~ z p = z pR = (1) k rt H ′ p ( k rt R )
11
其中： k rt =
k 2 − k t2
在方程 10 和 11 中有三个未知参数，必须利用边界条件来解得它们。对于柱体表面，内外空 间的耦合条件可以写为：
r r v ri ( R, φ , Z ) = v ro ( R, φ , Z )
12 13
p i ( R, φ , Z ) = p o ( R, φ , Z )
(1) (k r r ) Hn 1 ∞ & ik Z z ( , ) W a k e dk z n z (1) ′ 2π ∫−∞ k r H n (k r a)
5
如果柱表面的速度是已知的，方程 5 可以被写为：
p (r , φ , z , ω ) = jρck ∑ e inφ
n = −∞
∞
6
其中：
(1) ′ (1) Hn (k r a) 是函数 H n ( k r r ) 在点 a 处的微分值。
14
其中： v a 是声源的体积速度， ( a, φ 0 Lo ) 是声源的坐标。 4．参数 An , Bn 和 C p 对于图 1(c)所示的模型，柱体表面速度可以写为[7]：
w & =∑ p & = 0, w
1
∑
q
C p sin(k q z )e ipφ ,
z ≤L z ≥L
15
n = −∞
∑e
∞
∞
inφ
1 2π 1 2π
∫ ∫
∞
−∞
(1) ( 2) [ An H n ( k r r ) + Bn H n (k r r )]e ik z z (ik z )dk z .
8
n = −∞
∑e
inφ
∞
−∞
′ (1) (k r r ) + Bn H n ′ ( 2 ) (k r r )]e ik z z (k r )dk z [ An H n
其中：
pi ( R, φ , z ) 是内柱腔体表面声压值。 p o ( R, φ , z ) 是外柱空间表面声压值。
r v ri ( R, φ , z ) 是内柱腔体表面速度。 r v ro ( R, φ , z ) 是外柱空间表面速度。
在柱腔体顶部有一个声源，因此，它可以表达为：
∂p = iρ ω vaδ (r − a )δ (φ − φ0 )δ ( z − L0 ) , ∂z
当方程 15 和边界条件应用到方程 10 和 11 时有：
∑ ∑[ A H ′ iρω
n n m
(1) n
′( 2) (kr R)]cos(km z)einφ kr = ∑ (kr R) + Bn Hn
p
∑C
q
p
sin(kq z )eipφ
16
4
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∑ ∑[A H
n n m
(1) n
(2) (kr R) + Bn Hn (kr R)]cos( km z)einφ =
C e φ∫ ∑ ∑ π
ip p p q
1
∞
−∞
~ f q cos( kt z)~ z pRdkt
17
其中：
~ 2ik q (−1) q sin( k t L) k q ≠ kt fq = 2 − k t2 kq ~ k q = kt f q = −iL
同样，对方程 18 两边乘以 e 分有：
(1) ( 2) (−k m )[ An H n (k r r ) + Bn H n (k r r )] = iρε n ω vaδ (r − a) sin(k m L0 ) / πL
*
教育部博士点研究基金项目(No.20020286017) 1
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矩形刚性板 声源
无限大刚性障板
圆形刚性板 腔体 无限大刚性障板
声源
(a). 侧面开放矩形腔体
腔体
(b). 柱体模型
(c).轿车地板下声场
图 1. 侧面开放腔体的简单声场模型
2. 柱体声模型 柱体波动方程可以写为：
(∇ 2 −
1 ∂2 )p = 0 c 2 ∂t 2 1 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ + + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2
p(r , φ , z , ω ) =
n = −∞
∑ e inφ ∑ [ An (k m ,ω ) cos(k m z ) H n(1) (k r r ) +
m =0
∞
∞
( 2) + Bn (k m , ω ) cos(k m z ) H n (k r r )]
10
3
_______________________________________________________________________________ 中国科技论文在线 www.paper.edu.cn mπ 其中 k m = m =0,1,2… L
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侧面开放腔体简单声模型及其应用*
张建润，孙庆鸿 陈南 中国，南京市，东南大学机械工程系 210096
摘 要 在空间声场中，一个常见的形式是部分面开放的腔体。相对于全封闭刚性壁 腔体，由于部分面开放腔体中声场特征值的计算将显得非常困难，甚至在数学上没有 解。然而，从另一个方面来说，由于这些开放的面，使得腔体的形状对声场的影响将 减弱，其原因是由于一部分声波通过开放的面传出到另外空间。因此，采用部分开放 的简单形状腔体声场模型来仿真部分开放的复杂形状腔体声场将变得可行。在本文 中，首先将侧面开放的柱状结构腔体声场模型用来仿真特征值计算困难的侧面开放的 矩形结构腔体声场。最后，该方法将用于汽车下部与地面间腔体的声场建模和仿真。 计算结果与测试结果非常吻合。同时，该形式的腔体声场传递阻抗特性在本文中得到 讨论。 关键词 声模型 腔体 传递阻抗 1． 前言 在现实中，空间声场是由机器、设备以及家用装置等中复杂的面和边所形成的。在设计阶 段需要一个模型， 对他们进行声学设计和评价。 目前有许多方法可以计算空间声的发射和传 播，例如：有限元(FEM)、边界元(BEM)以及统计能量法(SEA)等。这些方法有一个共同的 缺点就是复杂、低效率。常常计算机在计算过程中会出现无法知道的错误， 导致结果完全 错误。 在设计阶段，人们需要的是一种高效、简单同时更重要的是能揭示声场物理特性的方法。 目前，采用解析法对侧面开放腔体进行的研究不是很多。例如：V.Schroter 和 F.J.Fahy 研究了矩形板放置在无限大障板上形成的腔体声场辐射效率问题[1]。Harold Levine 建立了 受激励软壁腔体声场的解析解形式[2]。K.Gosel 计算了腔体体积阻尼对双层墙间的空气层刚 度的影响[3]。Veheij 研究了结构声通过船用柴油下面腔体的传递特性 [4]。E.J.M.Nijman 和 B.A.T.Petersson 提出了空间界面声阻抗概念[5]。 如大家所知，图 1(a)所示的矩形结构很容易在实验室中制造。它常常被用来描述侧面开放的 腔体。但是要解得这种结构的声场特征值在数学上是一件困难的事。在这里，本文提出了一 种可以解决上述问题的简单模型—如图 1(b)所示的圆柱结构模型。随后，此方法被用于轿车 底板下腔体声场的仿真（见图 1(c)） 。