材料力学弯曲应力

最大正应力计算
（中性轴不是对称轴的情况 ）
maxMmIazxymax[ ]
x
M
应注意最大拉应力与最大压应力可能不在同一个横 截面上。
q = 10 kN/m P = 10kN
例 在如图的结构中，求最大拉 应力和最大压应力。
4m 15kN
2m 35kN
y1 = 45 Iz = 8.84106 mm4
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
2.5kN
0.5kN
25 25
25 100
57.5
100
FS
2.5 kN
2 kN
I5.6 4160m4m 梁中最大正应力出现在 A 截面 A 截面偏右
t 1.7 5 160 (10 50.5 7 )13.2MPa
5.6 4 160 A 截面偏左
t 1.251605.7512.7MPa
(2)根据材料性质考虑截面
塑性材料： 宜采用中性轴是对称轴的截面
脆性材料： 宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面
q
合理的梁截面，应使
yc yt
t max
[t
]
yt
c max
[c]
yc
应力分布
(3)等强度梁的概念
maxM Wmz(ax(xx))[]
Wz(x)
Mmax(x)
[]
由此即可确定截面的尺寸。
y
x
mC 0
0.5 kNm 3 R B 1 ( 4 0 . 5 ) ( 0 . 5 2 ) 0
M
1.25 kNm
RB 2.5kN
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
2.5kN 25
100
0.5kN 25
25
例 画出结构的剪力弯矩图，并求梁中 横截面上的最大拉应力和最大切应力。 先求支反力
I5.6 4160m4m
m t ax12 .7MPa
2.5kN
0.5kN
最大切应力出现在 BC 区段中性层上
25 25
25 100
57.5
100
FS
2.5 kN 2 kN
FSS bI z
S 2 5 5 .5 7 5 .5 2 7 2 8.27 140m3m
1.75 kNm
ma x2.25 5 12 30 58 .6.2 4 1 716040
分析和讨论 如何选配梁的形状？
哪些措施可以提高梁的强度和经济性？
在一般实体形截面的细长梁中，弯曲正应力是引 起破坏的主要原因。
在薄壁杆件、短粗梁、层合梁、抗剪能力较弱的 复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏的值得重视的 因素。
6.3.2 根据强度合理设计梁的截面
(1)根据荷载方向考虑截面
maxMWmz ax[]
Mma x[ ]W z
F F
不合理
合理
合理的梁截面，应使 W z 较大。 A
校核梁的强度的一般流程 计算横截面形心位置以确定中性轴 计算横截面关于中性轴的惯性矩
确定可能产生最大拉应力和 确定可能产生最大切 最大压应力的截面及其弯矩 应力的截面及其剪力
用公式计算最大正应力
或 maxMmIazxymax
max
Mmax Wz
ma x[]?
用公式计算最大切应力
或 max
FSmaxS Izb
一般max发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，
则max所在点处于纯剪切应力状态。
q E mG C
mH D l/2
l
FS
E max
F max
F
梁的切应力强度条件为
max
对等直梁，有
F S* Smax zmax
Izb
M
材料在横力弯曲时的许用切应力
ql/2 ql2/8 ql/2
切应力引起的破坏
max
k
FS A
max[] ?
输出安全或不安全的标志
q d
l
例 试计算如图悬臂梁中最大正 应力与最大切应力之比。
最大正应力产生在 左端截面中上下两点
max
M W
ql2 2 16ql2 πd3 32 πd3
最大切应力产生在 左端截面中性轴上
max
k
FS A
4 ql 16ql 3 πd2 4 3πd2
重要公式
FS S
b Iz
hy
(h 2 + y ) 2
b
S
b h2
y
1 2
h 2
y
1bh2 2 4
y2
FS 2Iz
h2 4
y2
6FS bh3
h2 4
y2
max
6FS bh3
h2 4
3 2
FS bh
3 FS 2A
2. 其它截面中的弯曲切应力
切应力公式使用注意点
FS S
0.5 kNm
0.7 MPa
M
1.25 kNm
q= 3.6kN/m A L= 3m Fs ql/ 2
M
例、矩形截面 (bh=0.12m0.18m）
木梁如图，[]=7 M Pa，[]=0. 9 M Pa，
B
试求最大正应力和最大切应力之比,
并校核梁的强度。
x -ql/ 2
ql2/ 8
解：、画内力图求危险面内力
2.5kN 25
100
0.5kN 25
25
例 画出结构的剪力弯矩图，并求梁中 横截面上的最大拉应力和最大切应力。 先求支反力
mB 0
3 R C 1 ( 4 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 2 ) 0
100
FS
2.5 kN
1.75 kNm
RC0.5kN C 处支反力实际方向向下
2 kN
两者之比
max 3 l max d
动脑又动笔 移动荷载可从简支梁左端移到右端，试计
算横截面上最大正应力与最大切应力之比。
P l
h b
max
Mmax W
Pl bh2
4 3Pl 6 2bh2
ma xkFS Am ax2 3P b2h4 3b Ph
ma xkFS Am ax2 3bPh 23bPh
截面尺寸主要取
x
决于弯矩，但在剪
力很大而弯矩较小
的区段也应考虑剪
力的影响。
工程中的变截面梁
鱼腹式吊车梁 增添盖板的钢板梁 厂房中的屋架大梁
分析和讨论
在下列不同的加载方 式中，哪一种强度最高？
Leabharlann Baiduq L
qL
L/ 2
L/ 2
qL
L/ 3 L/ 3 L/ 3
分析和讨论
梁的横截面如图。在下列不同的支承方式中，哪一 种强度最高？
y2 = 90
20kNm
B A
11.25kNm M
x
AA
B
CD
E
AB C
Ex
D
B
C D
M E
q = 10 kN/m P = 10kN
例 在如图的结构中，求最大拉 应力和最大压应力。
4m 15kN
y1 = 45 y2 = 90
2m 35kN
Iz = 8.84106 mm4 20kNm
在 D 截面
m t axMIDzy1 10.81MPa m c axMIDzy2 20.63MPa
mB 0
3 R C 1 ( 4 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 2 ) 0
100
FS
2.5 kN
1.75 kNm
RC0.5kN C 处支反力实际方向向下
2 kN
mC 0
0.5 kNm 3 R B 1 ( 4 0 . 5 ) ( 0 . 5 2 ) 0
M
1.25 kNm
RB 2.5kN
b Iz
梁的切应力公式应在弹性范围内使用。
在求实体形截面上某点处的切应
b
力时，过该点作中性轴的平行线，将
截面分为两部分，取其中一部分进行
S 的计算。b 是切分部分的总长度。
所求出的切应力方向与剪力方向
相同。
2. 其它截面中的弯曲切应力
圆形横截面中的弯曲切应力分布
b
切应力竖直分量计算
y
FS S
b Iz
q
q
q
如何移动支座，使梁 的强度为最高？
分析和讨论
截面形状 圆 形 矩 形 槽 钢 工字钢
Wz
0.125d 0.167h (0.27~0.3)1h (0.27~0.3)1h
A
简支梁承受均布荷载，在横截面积相同的条件下，
下列哪一种横截面的梁强度最高？
q
承受均布荷载的简支梁由混凝土材料制成，在横截 面积相同的条件下，下列哪一种横截面的梁强度最高？
F sma xq 2L 36 20 3 054(N 0)
x M maxq82L 36 80 320 40(N 5.m 0 )
求最大应力并校核强度
m axM W m zax6M bh m 2ax0.6 12 40 0.5 1 0 82 6 .2 5 M P a7 M P a
max
3Fsmax 1. 5 ×5400 0. 375MPa 0. 9 MPa
圆形横截面中性层上的弯曲切应力
c
yc
yc
2d 3π
Sπd22dd3 8 3π 12
Iz
π d4 64
FSS bI z
FS d 3 12 d π d 4 64
16 F S 3π d 2
max
4 3
FS A
3. 常用截面最大切应力公式
最大切应力一般出现在中性轴上。
FSS bI z
max
k
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
例 画出结构的剪力弯矩图，并求梁中 横截面上的最大拉应力和最大切应力。
25 100
25 25
最大弯矩
最大拉应力 次大弯矩 横截面惯性矩
100
弯矩图
横截面<形心
分析
最大切应力
最大剪力
横截面中性层处面积矩
剪力图
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
FS A
k = 3/2
k = 4/3
k=2
k=1
6.3 梁的强度及破坏
6.3.1 梁的强度校核
正应力
My
I
最大正应力
max
Mmax W
切应力 最大切应力
FSS bI z
max
k
FS A
正应力引起的破坏
脆性材料
断裂（fracture）
塑性材料
塑性铰（plastic hinge）
切应力引起的破坏
x x
x x
M
5 kNm
10 kNm
M
10 kNm
8 kNm M
10 kNm M
30 kNm
6.2 弯曲切应力
1. 矩形截面中的弯曲切应力 ( bending shear stress )
矩形横截面上的弯曲切应力是 如何分布的？
假定
方向： 矩形横截面中弯曲切应力方 向与剪力方向相同。
大小： 高宽比较大的矩形截面中的 弯曲切应力沿宽度均匀分布。
切应力公式推导
N1
y
前面正应力合力
N2
(MdM)S Iz
M
M + dMy
z
N2
前后面的轴向力 N1 和 N2 不平衡。
后面正应dx力
dx b dx
前面正应力
Mx y Iz
(MdM)y
Iz
轴线方向上的力平衡还 需要考虑什么因素？
后面正应力合力
N1
dA
A
M Iz
ydA
A
M Iz
S
切应力公式推导
N1
dx Fb
N2
后面正应力 M y Iz
前面正应力 (MdM)y
Iz 后面正应力合力
N1
dA
A
M Iz
ydA
A
M Iz
S
前面正应力合力
N2
(MdM)S Iz
下面切应力合力 Fbdx
平衡方程
N1FN2
MSbdxMdMS
Iz
Iz
S dM
bIz dx
重要公式
FS S
b Iz
h 2–y
M
158.4kNm
FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN
x 97.5kN
x
2、按正应力确定截面型号
max
M max WZ
W Z
M max
158 .4 10 6 170
930 10 3 ( mm 3 )
查表选36c型号 3、切应力校核 4、结论：选36c型号
Iz1 m7 axc F 3sIm zm 4 d1 ;aSd xz0 21(7M m 4P ;) S m Iaz z 2.9cm
t 1.7 5 160 (10 50.5 7 )13.2MPa
5.6 4 160 A 截面偏左
t 1.251605.7512.7MPa
5.64160
1.75 kNm
最大拉应力在 A 截面偏右上侧 ， 0.5 kNm 其值为 13.2 MPa
M
1.25 kNm
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
在 B 截面
AB CD
M 11.25kNm
Ex
m t axMIBzy2 11.54MPa
最大拉应力在 B 截面下边缘， 数值为 114.5 MPa。最大压应力在 D 截面下边缘，数值为203.6 MPa。
分析和讨论
下列哪些情况下会出现最大拉应力和 最大压应力不在同一横截面上的现象？
12 kNm
y1 = 50 y2 = 100
5.64160
1.75 kNm
最大拉应力在 A 截面偏右上侧 ， 0.5 kNm 其值为 13.2 MPa
M
1.25 kNm
3kNm 4kN/m
B
C
A
500 500 500
2.5kN
0.5kN
25 25
25 100
57.5
100
FS
2.5 kN
2 kN
I5.6 4160m4m 梁中最大正应力出现在 A 截面 A 截面偏右
2A
.0.12×0. 18
应力之比
m maa xx M W m z a32 xF A s L h1.67
60kN
q= 30kN/m
例：图示梁为工字型截面，已知
〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa
试选择工字型梁的型号。
A
B
1m
5m
解：1、画Fs、M图
Fs
112.5kN
52.5kN
112.5kNm
max max
l h
max
Mmax W
～
FL W
～ FL h3
max
k
FS A
～
F h2
max ～ L
max
h
结论 一般实体形截面的细长梁的横截面上弯曲正应力几乎
总比弯曲切应力高出一个数量级。
脆性材料
材料的承受能力 塑性材料
[ c]
[ t]
[ ]
[ t] [ c] [ ]
结论
构件的最大应力